CÅ HC KÃÚT CÁÚU 1 Page 99
ds
ds+eds
H.4.1.b
ds
y ds
O
2
ds
g
H.4.1.a
ds
H.4.1.c
2
ds
g
1
2 3
H.4.2
P
CHỈÅNG 4
XẠC ÂËNH CUØN VË TRONG HÃÛ THANH PHÀĨNG ÂN HÄƯI
TUÚN TÊNH.
§ 1. KHẠI NIÃÛM VÃƯ BIÃÚN DẢNG & CHUØN VË.
I. Biãún dảng:
1. Khại niãûm: Biãún dảng l sỉû thay âäøi hçnh dảng ca phán täú dỉåïi tạc dủng
ca cạc ngun nhán nhỉ ti trng, biãún thiãn nhiãût âäü, chuøn vë cỉåỵng bỉïc ca cạc
gäúi tỉûa...
2. Cạc thnh pháưn biãún dảng:
Biãún dảng ca mäüt phán täú thanh trong hãû thanh phàóng cọ chiãưu di ds gäưm 3
thnh pháưn:

theo hai phỉång khạc nhau v mäüt chuøn vë
gọc xoay.
Tháût váûy, trong hãû trủc Oxy, xẹt 1 tiãút
diãûn k (H.4.3) âỉåüc xạc âënh båíi cạc ta âäü
(x
k
, y
k
, a
k
). Sau khi hãû bë biãún dảng, tiãút diãûn
k cọ vë trê måïi l k’ âỉåüc xạc âënh båíi cạc ta
âäü (
'''
,,
kkk
yx
a
).
Nhỉ váûy chuøn vë tải tiãút diãûn k gäưm
ba thnh pháưn:
+ Chuøn vë thàóng theo phỉång x: Dx =
kk
xx -
'

+ Chuøn vë thàóng theo phỉång y: Dy =
kk
yy -
'

tn theo gi thiãút 1 (H.4.4.b).
Theo ngun l bo ton nàng lỉåüng, âäưng thåìi b qua nh
hỉåíng ca pháưn nàng lỉåüng do cạc hiãûn tỉåüng tỉì, nhiãût, âiãûn... thç
U
P
= U. Nghéa l: Thãú nàng ca ngoải lỉûc U
P
chuøn họa thnh
thãú nàng biãún dảng U têch lu trong hãû nãúu sỉû biãún dảng khäng
lm phạ våỵ sỉû cán bàòng ca hãû.
Màûc khạc, nàng lỉåüng âỉåüc âo bàòng cäng:
dP
H.4.4.a
D
P
O
H.4.4.b
x
y
O
x
k
x'
k

Da
a
k

a'

ca näüi lỉûc sinh ra trãn nhỉỵng biãún
dảng ân häưi nhỉng trại dáúu.
II. Cäng ca ngoải lỉûc (T):
Cäng l têch säú ca lỉûc våïi trë säú chuøn vë ca âiãøm âàût lỉûc theo phỉång lỉûc tạc
dủng.
Nhỉ â nọi åí trãn, quan hãû giỉỵa lỉûc tạc dủng v
chuøn l tuún tênh (H.4.5). Xẹt åí thåìi âiãøm lỉûc tạc dủng P
= X v chuøn vë D = d, tàng thãm ti trng tạc dủng dP lm
cho chuøn vë tàng thãm mäüt lỉåüng dd. Lỉûc X s sinh mäüt
cäng phán täú:
dT = X.dd
Suy ra T =
ò
D
0
.
d
dX
= D..
2
1
P (chênh l diãûn têch tam giạc OAB)
Trong trỉåìng håüp cọ nhiãưu lỉûc tạc dủng P
1
, P
2
,..., P
n
. Nãúu gi D
1* Chụ :
- Cäng täøng cäüng khäng phủ thüc vo thỉï tỉû tạc dủng ca ngoải lỉûc.
- Cäng ca ngoải lỉûc khäng tn theo ngun l cäüng tạc dủng.

H.4.5
O
D
P
A
B
X
d
P
1

P
2

M
D
1

D


* Cạc nháûn xẹt:
- Do xẹt cán bàòng riãng cho phán täú nãn cọ thãø xem M, Q, N, M + dM, Q + dQ,
N + dN l cạc ngoải lỉûc. Vç thãú, cọ thãø sỉí dủng biãøu thỉïc cäng ca ngoải lỉûc âãø xạc
âënh, sau âọ suy ra cäng ca näüi lỉûc theo mäúi quan hãû: A
*
= -T
- Vç chè phán têch cho mäüt phán täú thanh nãn cäng âỉåüc gi l cäng phán täú.
Khi âọ ta thay A
*
= dA
*
, T = dT. Suy ra dA
*
= -dT.
- Phán täú ds cọ chiãưu di l ráút bẹ nãn cho phẹp b qua cạc âải lỉåüng vä cng bẹ
q(z).ds, dM, dQ, dN khi tênh cäng (H.4.7.b).
- Cạc lỉûc M, Q, N sinh cäng trãn nhỉỵng biãún dảng âäüc láûp nãn cho phẹp tênh
cäng riãng r do tỉìng thnh pháưn räưi cäüng kãút qu lải våïi nhau.
II. Xạc âënh cạc thnh pháưn biãún dảng:
- Thnh pháưn biãún dảng gọc xoay yds (H.4.8.a):
ds
H.4.8.a
O
y ds

ds + eds
H.4.8.b
ds
H.4.8.c

N + dN
M + dM
ds
Q
H.4.7.b
M
Q
M
N
Þ
N
CÅ HC KÃÚT CÁÚU 1 Page 103
Theo SBVL y =
JE
M
.
1
=
r

- Thnh pháưn biãún dảng dc trủc eds (H.4.8.b):
Theo SBVL e =
FE
N
.

- Thnh pháưn biãún dảng trỉåüt g
tb
ds (H.4.8.c):
Theo SBVL g

2
1
2
==
÷
ø
ư
ç
è
ỉ
+
yyy

- Do lỉûc dc N gáy ra: dT
N
=
FE
dsNdsNds
N
ds
N
..2
.
2
..
2
.
.
2
.

.
.
2
.
..
2
1
2
u
ggg
==
÷
ø
ư
ç
è
ỉ
+

Suy ra dT = dT
M
+ dT
N
+ dT
Q
=
FG
dsQ
FE
dsN

dsM
..2
.
.
..2
.
..2
.
222
u

A
*
=
ò
å
ò
å
ò
å
ò
ú
û
ù
ê
ë
é
++-=
FG
dsQ

FG
dsQ
FE
dsN
JE
dsM
..2
.
.
..2
.
..2
.
222
u
(4 - 3)
*Cạc chụ :
- Thãú nàng ca hãû ln dỉång.
- Biãøu thỉïc thãú nàng (4 - 3) chè ạp dủng cho hãû gäưm
nhỉỵng thanh thàóng hồûc cong våïi âäü cong bẹ (
5
1
£
r
h
) (H.4.9).


ò
å
ò
FG
dsQ
FE
dsN
JE
dsM
P ..2
.
.
..2
.
..2
.
.
2
222
u
(4 - 4)
Vê dủ: Xạc âënh chuøn vë thàóng âỉïng tải A. Cho biãút E.J = const. B qua nh
hỉåíng ca lỉûc dc v lỉûc càõt.(H.4.10)
Biãøu thỉïc mämen ún dc trủc thanh:
M(z) = -P.z
Thay vo: D =
JE
lP
JE
dzzP

Thay biãøu thỉïc (4 -3) vo
D
k
=
ú
û
ù
ê
ë
é
++
¶
¶
å
ò
å
ò
å
ò
FG
dsQ
FE
dsN
JE
dsM
P
U
k
..2
.

ò
ds
P
Q
FG
Q
ds
P
N
FE
N
ds
P
M
JE
M
kkk
.
.
..
.
.
.
u
(4 - 5)
Xẹt tråí lải vê dủ trãn
D
k
=
JE

> 0 thç chuøn vë cng chiãưu våïi P
k
v ngỉåüc lải
- Nãúu ti trng tạc dủng l phán bäú cọ thãø thay thãø bàòng nhiãưu lỉûc táûp trung âãø
tênh.
- Trỉåìng håüp P
k
l mämen táûp trung thç chuøn vë tỉång ỉïng l gọc xoay.
- Nãúu cáưn tçm chuøn vë tải vë trê v theo phỉång báút k thç cọ thãø âàût thãm lỉûc
P
k
tỉång ỉïng våïi vë trê v phỉång cáưn tçm chuøn vë. Sau khi xạc âënh âỉåüc D
k
, cho P
k

= 0 s âỉåüc kãút qu cáưn tçm.

H.4.10
A
B
P
z
l

CÅ HC KÃÚT CÁÚU 1 Page 105
§ 5. CÄNG KH DÉ CA NÄÜI LỈÛC V NGOẢI LỈÛC -
CẠC BIÃØU THỈÏC CÄNG KH DÉ

I. Cäng kh dé:

l cäng kh dé ca lỉûc P
k
trãn chuøn vë kh
dé tỉång ỉïng åí trảng thại “m”. K hiãûu: T
km
.
Váûy T
km
= P
k
.D
km

II. Cäng kh dé ca ngoải lỉûc (T
km
):
Tỉì vê dủ minh ha åí trãn, cọ thãø âënh nghéa cäng kh dé ca ngoải lỉûc nhỉ sau:
Cäng kh dé ca cạc ngoải lỉûc åí trảng thại “k” trãn nhỉỵng chuøn vë kh dé åí
trảng thại “m” bàòng täøng cạc têch säú giỉỵa cạc lỉûc tạc dủng åí trảng thại “k” våïi nhỉỵng
chuøn vë kh dé tỉång ỉïng åí trảng thại “m”.
T
km
=
å
D
i
ikmik
P .
(4 - 6)
III. Cäng kh dé ca näüi lỉûc


Q
k

Q
k

N
k

M
k

C HOĩC KT CU 1 Page 106
caùc thanh phỏửn M
k
, N
k
, Q
k
ồớ hai õỏửu phỏn tọỳ vaỡ xem laỡ caùc ngoaỷi lổỷc nhổ trong trổồỡng
hồỹp cọng cuớa nọỹi lổỷc (H.4.12.a).
- traỷng thaùi m: Chố quan tỏm caùc thaỡnh phỏửn bióỳn daỷng nhổ sau:


Caùc thaỡnh phỏửn bióỳn daỷng
y
m
,
e

m
.
.
u


Caùc thaỡnh phỏửn bióỳn daỷng do sổỷ bióỳn thión nhióỷt õọỹ gỏy ra (H.4.13.a&b)
Goỹi t
2m
, t
1m
laỡ sổỷ bióỳn thión nhióỷt õọỹ cuớa thồù dổồùi vaỡ thồù trón cuớa phỏn tọỳ. Cho
rũng sổỷ bióỳn thión nhióỷt õọỹ doỹc theo chióửu cao cuớa phỏn tọỳ tuỏn theo quy luỏỷt õổồỡng
thúng (bỏỷc nhỏỳt). Bióỳn thión nhióỷt õọỹ doỹc truỷc thanh (H.4.13.a):
t
cm
=
ba
btat
mm
+

dstdst
mm
mm
)..(
....
12
12
-=
-
a
aa

ds
H.4.12.b
O
y
m
ds

ds + e
m
ds
H.4.12.c
ds
H.4.12.d
2
ds
tbm
g
2

tbm

ds
t
1mt
2m

t
cm

b
a

h

H.4.13.a
1
2
1 2
at
2m
ds

at
cm
ds
m


dsNdsMdsQdsQ
tmktmktbmktbmk
.......
2
1
...
2
1
eygg
++++
Hay dT
km
= +++ dsQdsNdsM
tbmkmkmk
......
2
1
gey
dsNdsM
tmktmk
....
ey
+
Thay táút c cạc biãún dảng â tênh âỉåüc vo:
dT
km
= +++ dsQmQ
FG
dsNN

dsNN
FE
dsMM
JE
mkmkmk
...
.
...
.
1
...
.
1
[
u

]...).(.
12
dstNdstt
h
M
cmkmmk
a
a
+-+
Suy ra
*
km
A =
ò

å
ò
å
ò
+-+ dsNtdsMtt
h
kcmkmm
a
a
(4 - 7)
IV. Ngun l cäng kh dé ạp dủng cho hãû ân häưi (S. D. Poisson 1833):
1. Ngun l cäng kh dé cho váût ràõn: Nãúu mäüt hãû cháút âiãøm no âọ ca váût
ràõn cán bàòng dỉåïi tạc dủng ca cạc lỉûc thç täøng cäng kh dé ca cạc lỉûc trãn nhỉỵng
chuøn vë kh dé tỉång ỉïng bàòng khäng
T
km
= 0
2. Ngun l cäng kh dé cho hãû ân häưi:
Nãúu mäüt hãû biãún dảng ân häưi cä láûp cán bàòng dỉåïi tạc dủng ca cạc lỉûc thç
täøng cäng kh dé ca cạc ngoải lỉûc T
km
trãn nhỉỵng chuøn vë kh dé tỉång ỉïng v cäng
kh dé ca näüi lỉûc
*
km
A trãn nhỉỵng biãún dảng ân häưi kh dé tỉång ỉïng phi bàòng khäng
T
km
+
*

.
uå
ò
å
ò
+-+ dsNtdsMtt
h
kcmkmm
.)(
12
a
a
(4 - 8)

§ 6. CẠC ÂËNH L TỈÅNG HÄÙ TRONG HÃÛ ÂN HÄƯI

I. Âënh l tỉång häù vãư cäng kh dé ca ngoải lỉûc (Âënh l E.Betti 1872):
Xẹt mäüt hãû ân häưi tuún tênh åí hai trảng thại:
- Trảng thại “m”: chëu cạc lỉûc tạc dủng P
im
(i = 1... n)