http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Trang 1

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

DÃY SỐ................................................................................................................................................................ 3
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT..............................................................................................................................3
B – BÀI TẬP........................................................................................................................................................3
DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ...............................................................................................................3
DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN....................................................................................7
C – HƯỚNG DẪN GIẢI...................................................................................................................................13
DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ.............................................................................................................13
DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN...................................................................................20
CẤP SỐ CỘNG..................................................................................................................................................33
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT............................................................................................................................33
B – BÀI TẬP......................................................................................................................................................33
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG...................................33
DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG................................................39
C– HƯỚNG DẪN GIẢI....................................................................................................................................41
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG...................................41
DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG................................................53
CẤP SỐ NHÂN..................................................................................................................................................58
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT............................................................................................................................58
B – BÀI TẬP......................................................................................................................................................58
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN....................................58

3. Dãy số tăng, dãy số giảm
 (un) là dãy số tăng  un+1 > un với  n  N*.
un 1
 1 với n  N* ( un > 0).
 un+1 – un > 0 với  n  N* 
un
 (un) là dãy số giảm  un+1 < un với n  N*.
un 1
 1 với n  N* (un > 0).
 un+1 – un< 0 với  n  N* 
un
4. Dãy số bị chặn
 (un) là dãy số bị chặn trên  M  R: un  M, n  N*.
 (un) là dãy số bị chặn dưới  m  R: un  m, n  N*.
 (un) là dãy số bị chặn  m, M  R: m  un  M, n  N*.

B – BÀI TẬP
DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ
Câu 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: 1,3,19,53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số
hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
A. u10  97
B. u10  71
C. u10  1414
D. u10  971

an 2
(a: hằng số). un 1 là số hạng nào sau đây?
n 1
2
2


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word
C. un  7.n  1 .

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

D. un : Không viết được dưới dạng công thức.

1 2 3 4
Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0; ; ; ; ;... .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
2 3 4 5
n 1
n
n 1
n2  n
u

u

u

A. n
.
B. n
.
C. n
.
D. un 
.
n

A. un  2n .
B. un   2   n .
C. un   2  (n  1) .

D. un   2   2  n  1 .
1 1 1 1 1
Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là: ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ….Số hạng tổng quát của dãy số này là?
3 3 3 3 3
1 1
1
1
1
A. un  n 1 .
B. un  n 1 .
C. un  n .
D. un  n 1 .
33
3
3
3
u

5
�1
Câu 10: Cho dãy số  un  với �
.Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
un 1  un  n
�
( n  1) n
(n  1) n

�
Câu 12: Cho dãy số  un  với �
2 n 1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào
un 1  u n   1
�
dưới đây?
A. un  2  n .
B. un không xác định.
C. un  1  n .
D. un   n với mọi n .
u1  1
�
Câu 13: Cho dãy số  un  với �
. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới
un 1  un  n 2
�
đây?
n  n  1  2n  1
n  n  1  2n  2 
A. un  1 
.
B. un  1 
.
6
6
n  n  1  2n  1
n  n  1  2n  2 
C. un  1 
.
D. un  1 


u1  2
�
�
1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
Câu 15: Cho dãy số  un  với �
u


2

n

1
�
un
�
n 1
n 1
n 1
n
A. un  
.
B. un 
.
C. un  
.
D. un  
.
n

�
2
n 1

n

�1 �
A. un   1 . � �.
�2 �
.

�1 �
B. un   1 . � � .
�2 �

n 1

�1 �
C. un  � � .
�2 �

n 1

�1 �
D. un   1 . � �
�2 �

u1  2
�
Câu 18: Cho dãy số  un  với �

2
2
n 2  3n  7
Câu 20: Cho dãy số (un ) được xác định bởi un 
. Viết năm số hạng đầu của dãy;
n 1
11 17 25 47
13 17 25 47
11 14 25 47
11 17 25 47
A. ; ; ; 7;
B. ; ; ;7;
C. ; ; ;7;
D. ; ; ;8;
2 3 4
6
2 3 4
6
2 3 4
6
2 3 4
6
Câu 21: Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.
A. 2
B. 4
C. 1
D. Không có
u1  1
�
Câu 22: Cho dãy số (un ) xác định bởi: �


Trang 5

C. 1;5;17;29;61


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

Tìm công thức tổng quát của hai dãy (un ) và (vn ) .



 



2
2
�
u

2

1

2

1

2n

�
�
�

2n
2n �
� 1�
u

2

1

2

1
�n 2 �
�
�
�
�
C. �
n
2
2n �
1 �
�
vn 

 

2 1

2n
� 1�
u

2

1

�n 4 �
�
�
B. �
2n
1�
�
vn  � 2  1 
�
� 2�
2n
� 1�
u

2

1


�



2 1

2n

�
�
�


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN
Câu 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un 
A. Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng không giảm

3n 2  2n  1
n 1
B. Dãy số giảm
D. Cả A, B, C đều sai

Câu 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un  n  n 2  1
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm

D. Cả A, B, C đều sai
1
Câu 7: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un 
1  n  n2
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn
D. Cả A, B, C đều sai
2n
Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un 
n!
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai
1 1
1
Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un  1  2  2  ...  2 .
2 3
n
A. Dãy số tăng, bị chặn
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai
2n  1
Câu 10: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un 
n2
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên

B. Không bị chặn

Câu 15: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un 

n2  n  1
n2  n  1
C. Bị chặn trên
n 1

n2  1
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
1
1
1

 ... 
Câu 16: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un 
1.3 2.4
n.(n  2)
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
1
1
1
Câu 17: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u 

 ... 

�
Câu 20: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: �
un2  1
un 1 
n �1
�
�
4
A. Tăng
B. Giảm
C. Không tăng, không giảm
D. A, B, C đều sai

D. Bị chặn dưới

D. Bị chặn dưới

D. Bị chặn dưới

D. Bị chặn dưới

D. Bị chặn dưới

D. Bị chặn dưới

Câu 21: dãy số (un ) xác định bởi un  2010  2010  ...  2010 (n dấu căn)Khẳng định nào sau
đây là đúng?
A. Tăng
B. Giảm
C. Không tăng, không giảm

3
5
7
9

Trang 8


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

1
1
18
22
C. u1  6, u2  , u3  , u4  , u5 
3
5
7
9
10
4
8
22
D. u1  6, u2  , u3  , u4  , u5 
3
5
7
9

u1  2
�
�
�
�
A. �
B. �
n
n
n
n
un 1  un  a �
1 a  1 a �
un 1  un  2a �
1 a   1 a  �


�
�
�
�
�
�
�
�
u1  2
u1  2
�
�
�

1
Câu 28: Cho dãy số (un ) được xác định như sau: �
.
un  3un 1 
 2, n �2
�
2un 1
�
Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng un  0, n
3
47
227
3
17
227
A. u1  1, u2  , u3  , u4 
B. u1  1, u2  , u3  , u4 
2
6
34
2
6
34
3
19
227
3
17
2127
C. u1  1, u2  , u3  , u4 


Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

D. A, B, C đều sai
C.  un   2013  n

D.  un   2012  n

u1  2, u2  6
�
Câu 30: Cho dãy số (un ) được xác định bởi: �
un  2  un  2un 1 , n  1, 2,...
�
n
n
a) Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình x 2  2 x  1  0 . Chứng minh rằng: un  a  b
2
n 1
b) Chứng minh rằng: un 1  un  2un  (1) .8 .

n 1
n2
C. Tăng, chặn dưới

Câu 31: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) : un 
A. Tăng, bị chặn

B. Giảm, bị chặn

D. Giảm, chặn trên

C. Tăng, chặn dưới
D. Giảm, chặn trên
�x0  1
�
Câu 35: Cho dãy số ( xn ) : �
2n n 1
. Xét dãy số yn  xn 1  xn . Khẳng định nào
x

�n ( n  1) 2 �xi , n  2, 3,...
i 1
�
đúng về dãy ( yn )
A. Tăng, bị chặn
B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới
D. Giảm, chặn trên
n
Câu 36: Cho dãy số  Un  với Un 
.Khẳng định nào sau đây là đúng?
n 1
1 2 3 5 5
A. Năm số hạng đầu của dãy là : ; ; ; ; .
2 3 4 5 6
B. 5 số số hạng đầu của dãy là : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5
2 3 4 5 6 .
C. Là dãy số tăng.
D. Bị chặn trên bởi số 1.
1
Câu 37: Cho dãy số  un  với un  2

B. Hiệu số un 1  un  3.a .
D. Với a  0 thì dãy số giảm.

n 1
A. Dãy số có un 1  a.3 .
C. Với a  0 thì dãy số tăng

Câu 40: Cho dãy số  un  với un 
A. Dãy số có un 1 

a 1
.
n2  1

B. Dãy số có : un 1 

C. Là dãy số tăng.

a 1
.
(n  1) 2

C. Hiệu un 1  un   a  1 .

a 1

 n  1

2


D. Dãy số tăng khi a  1 .

an 2 a
( : hằng số). Kết quả nào sau đây là sai?
n 1
2
a.  n 2  3n  1
a.  n  1
A. un 1 
.
B. un 1  un 
.
(n  2)(n  1)
n2
C. Là dãy số luôn tăng với mọi a .
D. Là dãy số tăng với a  0 .
k
Câu 43: Cho dãy số  un  với un  n ( k : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?
3
k
k
A. Số hạng thứ 5 của dãy số là 5 .
B. Số hạng thứ n của dãy số là n 1 .
3
3
C. Là dãy số giảm khi k  0 .
D. Là dãy số tăng khi k  0 .
n 1
(1)
Câu 44: Cho dãy số  un  với un 

D. Là một dãy số giảm.
Câu 46: Cho dãy số  un  với un 
A. un 1 

1

 n  1

2

1

.

C. Đây là một dãy số tăng.

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

1
. Khẳng định nào sau đây là sai?
n 1
2

B. un  un 1 .

D. Bị chặn dưới.

Câu 47: Cho dãy số  un  với un  sin
. Khẳng định nào sau đây là sai?
n 1

8a  4b  2c  d  3
�
Ta có hệ: �
27a  9b  3c  d  19
�
�
64a  16b  4c  d  53
�
Giải hệ trên ta tìm được: a  1, b  0, c  3, d  1

� un  n3  3n  1 là một quy luật.
Số hạng thứ 10: u10  971 .
an 2
(a: hằng số). un 1 là số hạng nào sau đây?
n 1
2
a.n 2  1
an 2
a.  n  1
B. un 1 
.
C. un 1 
.
D. un 1 
.
n 1
n2
n 1

Câu 2: Cho dãy số  un  với un 

15  5.3
20  5.4
25  5.5
Suy ra số hạng tổng quát un  5n .
Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8,15, 22, 29,36,... .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. un  7n  7 .
B. un  7.n
.
C. un  7.n  1 .
D. un : Không viết được dưới dạng công thức.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
Trang 13


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

8  7.1  1
15  7.2  1
22  7.3  1
29  7.4  1
36  7.5  1
Suy ra số hạng tổng quát un  7n  1 .

1 2 3 4
Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0; ; ; ; ;... .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
2 3 4 5

3
3

4 3 1
4
4

5 4 1
n
Suy ra un 
.
n 1
Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0,1;0, 01;0, 001; 0, 0001;... . Số hạng tổng quát của dãy số này
có dạng?
u  0,
u 
0,
1
1
1400...01
2 43
1400...01
2 43
A. n
. B. n
. C. un  n 1 .
D. un  n1 .
10
10
n chöõ soá 0


Trang 14


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

C. un   2  ( n  1) .
D. un   2   2  n  1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là  2  nên un   2   2.  n  1 .
1 1 1 1 1
Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là: ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ….Số hạng tổng quát của dãy số này là?
3 3 3 3 3
1 1
1
1
1
A. un  n 1 .
B. un  n 1 .
C. un  n .
D. un  n 1 .
33
3
3
3
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

A. un 

Ta có un  5  1  2  3  ...  n  1  5 

B. un  5 

n  n  1
2

.

u1  1
�
�
Câu 11: Cho dãy số  un  với �
2 n . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới
un 1  un   1
�
đây?
2n
A. un  1  n .
B. un  1  n .
C. un  1   1 .
D. un  n .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
2n
Ta có: un 1  un   1  un  1 � u2  2; u3  3; u4  4;... Dễ dàng dự đoán được un  n .
Thật vậy, ta chứng minh được un  n  * bằng phương pháp quy nạp như sau:
+ Với n  1 � u1  1 . Vậy  * đúng với n  1

B. un không xác định.
C. un  1  n .
D. un  n với mọi n .
Hướng dẫn giải:
Trang 15


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

Chọn A.
Ta có: u2  0; u3  1; u4  2 ,.. Dễ dàng dự đoán được un  2  n .
u1  1
�
un của dãy số là số hạng nào dưới
Câu 13: Cho dãy số  un  với �
2 . Số hạng tổng quát
u

u

n
n
�n 1
đây?
n  n  1  2n  1
n  n  1  2n  2 
A. un  1 
.

�
un  un 1   n  1
�
Câu 14: Cho dãy số  un 

u1  2
�
�
với �
un 1  un  2n  1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới

đây?
2
2
2
2
A. un  2   n  1 .
B. un  2  n .
C. un  2   n  1 .
D. un  2   n  1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
u1  2
�
�
u2  u1  1
�
�
2
u3  u2  3

n
n
n 1
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
3
4
5
n 1
Ta có: u1   ; u2   ; u3   ;... Dễ dàng dự đoán được un  
.
2
3
4
n
� 1
u1 
�
Câu 16: Cho dãy số  un  với � 2
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
�
un 1  un  2
�

Trang 16


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

...
�
un  un 1  2
�
�
�
u1  1
�
�
Câu 17: Cho dãy số  un  với �
u . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
un 1  n
�
�
2
A. un 

n 1

n

�1 �
A. un   1 . � �.
�2 �
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

Ta


n 1

n 1

�1 �
C. un  � � .
�2 �

hai

�1 �
D. un   1 . � �
�2 �

vế

ta

n 1

u .u .u ...u
1
�1 �
u1.u2 .u3 ...un   1 . 1 2 3 n 1 � un   1 . n 1   1 . � �
2.2.2...2
2
�2 �
14 2 43
n 1 lan


Trang 17

được


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word
Câu19 : Cho dãy số  un 
n 1
A. un  2 .

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

� 1
u1 
�
với � 2
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:
�
un 1  2un
�
1
1
n2
B. un  n 1 .
C. un  n .
D. un  2 .
2
2

Hướng dẫn giải:

C. ; ; ;7;
D. ; ; ;8;
2 3 4
6
2 3 4
6
2 3 4
6
2 3 4
6
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có năm số hạng đầu của dãy
17
25
47
12  3.1  7 11
u1 
 , u2  , u3  , u4  7, u5 
3
4
6
11
2
Câu 21: Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.
A. 2
B. 4
C. 1
D. Không có
Hướng dẫn giải:

vn 1  2un .vn
�

Trang 18


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

Tìm công thức tổng quát của hai dãy (un ) và (vn ) .



 



2
2
�
u

2

1

2

1

�



2n
2n �
� 1�
u

2

1

2

1
�n 2 �
�
�
�
�
C. �
2n
2n �
1 �
�
vn 
� 2 1  2 1 �
�
�

2k





2 1

2



 


 

 


2
2
�
2
u

2

1


2n �
1 �
�
vn 
� 2  1  2 1 �
�
�
� 2 2�
n

 

Trang 19



 

2 1



2

, ta có:

Theo kết quả bài trên và đề bài ta có: un  2vn 






2n
� 1�
u

2

1

�n 4 �
�
�
B. �
2n
1�
�
vn  � 2  1 
�
� 2�
2n
� 1�
u

2

1

�n 2 �
�




2 1

2k 1



2 1

2n



 



2n

�
�
�



2 1

2n

C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
1
1

0
Ta có: un 1  un 
2
2
n

n

1
n

1

n

1

1

 

Chọn B.
Nên dãy (un ) giảm.


u3  u2
2
9
�
n

2n  13
3n  2
B. Dãy số giảm, bị chặn
D. Cả A, B, C đều sai

Câu 5: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un 
A. Dãy số tăng, bị chặn
C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Trang 20


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

2n  11 2n  13
34


 0 với mọi n �1 .
3n  1 3n  2 (3n  1)(3n  2)
Suy ra un1  un n �1 � dãy (un ) là dãy tăng.


n2
n 1
2
(n  5n  5)(n  1)  ( n 2  3n  1)( n  2)

(n  1)(n  2)

n 2  3n  3

 0 n �1
(n  1)(n  2)
� un 1  un n �1 � dãy (un ) là dãy số tăng.
un 

n 2  2n  1
 n  1 �2 � dãy (un ) bị chặn dưới.
n 1

Câu 7: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un 
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
C. Dãy số giảm, bị chặn
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: un  0 n �1

1

1  n  n2
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới

 1 n �1
Ta có: n 1 
un
(n  1)! n ! ( n  1)! 2
n 1
Trang 21


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

Mà un  0 n � un 1  un n �1 � dãy (un ) là dãy số giảm.
Vì 0  un �u1  2 n �1 � dãy (un ) là dãy bị chặn.
1 1
1
 2  ...  2 .
2
2 3
n
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
D. Cả A, B, C đều sai

Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un  1 
A. Dãy số tăng, bị chặn
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

1

Câu 10: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un 
A. Bị chặn

B. Không bị chặn

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có 0  un  2 n nên dãy (un ) bị chặn

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: 1 �un �1 � (un ) là dãy bị chặn
Câu 12: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  3n  1
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
Hướng dẫn giải:
Ta có: un �2 n � (un ) bị chặn dưới; dãy (un ) không bị chặn trên.
2
Câu 13: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  4  3n  n
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

D. Bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

A. Bị chặn

B. Không bị chặn

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

n 1
n2  1
C. Bị chặn trên

1
1
1

 ... 
1.3 2.4
n.(n  2)
C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

D. Bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1
1
1
1


un 1  1
�
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
D. Bị chặn dưới
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Bằng quy nạp ta chứng minh được 1  un  2 nên dãy (un ) bị chặn.
�
�
Câu 19: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: �
un 1 
�
A. Tăng
C. Không tăng, không giảm
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

u1  1
3

un3  1, n �1

B. Giảm
D. A, B, C đều sai

Ta có: un 1  3 un3  1 � un 1  3 un3  un n � dãy số tăng
u1  2
�

đây là đúng?
A. Tăng
B. Giảm
C. Không tăng, không giảm
D. A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
2
2
Ta có un 1  2010  un � un 1  un  un 1  un 1  2010

1  8041
n
2
Suy ra un 1  un  0 � dãy (un ) là dãy tăng.
u1  1, u2  2
�
�
Câu 22: Cho dãy số (un ) : � 3
. Khẳng định nào sau đây đúng?
un  un 1  3 un  2 , n �3
�
A. Tăng, bị chặn
B. Giảm, bị chặn
C. Không tăng, không giảm
D. A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Chứng minh bằng quy nạp : uk 1  3 uk  3 uk 2  3 uk 1  3 uk 2  uk
Bằng quy nạp ta chứng minh được un 

5
7
9
10
4
8
22
D. u1  6, u2  , u3  , u4  , u5 
3
5
7
9
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
4n  2
Với a  4 ta có: un 
. Ta có: 5 số hạng đầu của dãy là
2n  1
10
14
18
22
u1  6, u2  , u3  , u4  , u5 
.
3
5
7
9
Câu 24: Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng.
A. a  2

Chọn D.
Ta có: u1  2, u2  4, u3  10, u4  28, u5  82, u6  244
n 1
n
Câu 26: Cho dãy số un  5.2  3  n  2 , n  1, 2,... Viết 5 số hạng đầu của dãy
A. u1  1, u2  3, u3  12, u4  49, u5  170
B. u1  1, u2  3, u3  12, u4  47, u5  170
C. u1  1, u2  3, u3  24, u4  47, u5  170
D. u1  1, u2  3, u3  12, u4  47, u5  178
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: u1  1, u2  3, u3  12, u4  47, u5  170
Câu 27:
n
n
1. Cho dãy số (un ) : un  (1  a )  (1  a ) ,trong đó a �(0;1) và n là số nguyên dương.
a)Viết công thức truy hồi của dãy số
u1  2
u1  2
�
�
�
�
A. �
B. �
n
n
n
n
un 1  un  a �

�
�
�
�
�
�
�
b)Xét tính đơn điệu của dãy số
A. Dãy (un ) là dãy số tăng.
B. Dãy (un ) là dãy số giảm.
C. Dãy (un ) là dãy số không tăng, không giảm
D. A, B, C đều sai.
Hướng dẫn giải:
u1  2
�
�
a) Ta có: �
n
n
un 1  un  a �
1 a   1 a �

�
�
�
�
b) Dãy (un ) là dãy số tăng.
u1  1
�
�