ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN 8
Ngày thi: 12/04/2014

Câu 1. (4 điểm)

2
2  x 1
 x  1
.
 x  1  :
Cho biểu thức : A   
 x
 3x x  1  3x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Câu 2. (4 điểm)
2
a) Chứng minh rằng: A   n3  n2  7   36n  7 n 


b) Cho P  n4  4. Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố.
Câu 3. (4 điểm)
1
1
1
1
a) Giải phương trình: 2



ĐÁP ÁN
Câu 1.

2
2  x 1
 x  1
.
 x  1  :
a) A   
 x
 3x x  1  3x
2
2  x  1  3x  x  1  x  1
A 
.
:
3
x
x

1
3
x

 x
 2 2 1  3 x   x
A 
.


 n  n  1  n 2  n  6   n  1  n 2  n  6   n  n  1 n  2  n  3 n  1 n  2  n  3

Do đó A là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên A 7
b)

n 

P  n 4  4  n 4  4n 2  4  4n 2   n 2  2    2n 

2

2
2
  n 2  2n  2  n 2  2n  2    n  1  1 .  n  1  1




Vì n là số tự nhiên nên  n  1  1  2 . Như vậy muốn P là số nguyên tố thì phải
2

có  n  1  1  1 hay  n  1  0  n  1
2

2

Khi đó P  5 là số nguyên tố.



1
1



x  4 x  7 18
 18  x  7   18  x  4    x  7  x  4 


 x  13
  x  13 x  2   0  
x  2
S  13;2

b) Đặt b  c  a  x  0; c  a  b  y  0; a  b  c  z  0. Ta có x, y, z  0
Từ đó suy ra a 

yz
xz
x y
;b 
;c 
;
2
2
2

Thay vào ta được A 

y  z x  z x  y 1  y x   x

C

M

D

N
A

O

B

a) Xét ACO và BOD có: A  B  900 ; COA  ODB (cùng phụ với DOB)
AO BD

 AO.BO  AC.BD
AC BO
Mà AO  BO nên AO2  AC.BD

Nên ACO BOD  g.g  

b) Xét CMO và OMD có: CMO  OMD  900 ; OCM  DOM (cùng phụ với
CO OM
COM )  CMO OMD( g.g ) 

(1)
OD MD
CO AO
CO OB


Tương tự có: b  ca   b  a  b  c 
Do đó VT 

; c  ab   c  a  c  b 

 a  b  a  c    b  a b  c    c  a  c  b 

bc
ca
ab
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:
 a  b  a  c    b  a  b  c   2 a  b


bc
ca
 a  b  a  c    c  a  c  b   2 a  c


bc
ab
 b  a  b  c    c  a  c  b   2 b  c


ac
ab
(dfcm)
Vậy 2.VT  4  a  b  c   4 hay VT  2
Đẳng thức xảy ra khi a  b  c 