BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ QUỲNH

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC
DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC”
Ở LỚP 11 TRƢỜNG THPT THEO
ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

Hà Nội - 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ QUỲNH

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC
DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC”
Ở LỚP 11 TRƢỜNG THPT THEO
ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên nghành: Phƣơng pháp dạy học Toán
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng em
dưới sự chỉ đạo của giáo viên hướng dẫn. Và nó không trùng với kết quả của
bất cứ tác giả nào khác.

Hà Nội, ngày tháng năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Thị Quỳnh


MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1
NỘI DUNG.......................................................................................................... 4
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn ................................................................. 4
1.1 Năng lực và năng lực Toán học ................................................................... 4
1.1.1 Năng lực .............................................................................................. 4
1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh........................................................ 6
1.2 Dạy học bài tập Toán học ở trường phổ thông............................................ 7
1.2.1 Bài toán và lời giải của bài toán ....................................................... 7
1.2.2. Ý nghĩa của việc giải toán ............................................................... 11
1.2.3. Phân loại bài toán ........................................................................... 15
1.2.4 Phương pháp tìm lời giải bài toán (Bốn bước giải toán của
G.POLIA) ................................................................................................... 18
1.3 Định hướng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trường
phổ thông ........................................................................................................... 24
1.3.1 Dạy học theo hướng tiếp cận nội dung và hướng tiếp cận năng lực
..................................................................................................................... 24
1.3.2 Dạy học môn toán theo định hướng phát triển năng lực học sinh . 25
Tiểu kết chương 1 ............................................................................................. 29

rộng đã và đang đặt ra cho ngành giáo dục và đào tạo nhiệm vụ to lớn và hết
sức nặng nề là đào tạo nguồn nhân lực chất lượng cao. Để thực hiện được
nhiệm vụ đó, sự nghiệp giáo dục cần được đổi mới về cả mục tiêu, nội dung
chương trình và phương pháp dạy học. Phương pháp dạy học phải phát huy
tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng cho
người học năng lực tự học, kĩ năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí
vươn lên. Do đó, phương pháp dạy học cần xây dựng theo định hướng phát
triển năng lực cho học sinh.
Trong đó, phương pháp dạy học môn toán giữ một vị trí quan trọng vì
toán học là công cụ để học những môn học khác, là công cụ của nhiều ngành
khoa học khác nhau và là công cụ để hoạt đông trong thực tế. Tuy nhiên, đối
với học sinh đây là môn học có tính trừu tượng cao và là môn học khó, các
khái niệm là nguồn gốc của những khó khăn trở ngại đó. Trong việc dạy học
Toán, điều quan trọng bậc nhất là hình thành cho học sinh thông hiểu một hệ
thống khái niệm. Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức Toán học của học sinh, là
tiền đề quan trọng để xây dựng khả năng vận dụng những kiến thức đã học.
Phần phương trình lượng giác được phân bố trong chương trình lớp 11
trung học phổ thông. Những kiến thức về lượng giác đã được đề cập sơ bộ ở
chương trình trung học cơ sở và chương trình lớp 10. Đây là một phần khá
phức tạp và học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập về Phương
trình lượng giác.
Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: Xây dựng hệ thống
bài tập Toán học dạy học chủ đề “Phương trình lượng giác” ở lớp 11 trường
THPT theo định hướng phát triển năng lực học sinh

2. Mục đích nghiên cứu

1



Phần 1: Lời mở đầu

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phần 2: Nội dung
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận chung
1.1 Năng lực và năng lực Toán học của học sinh
1.2 Dạy học bài tập Toán học ở phổ thông
1.3 Định hướng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán
ở trường phổ thông
Chƣơng 2. Ứng dụng trong dạy học ở trƣờng THPT
2.1 Phân tích nội dung dạy học chủ đề phương trình lượng giác ở
lớp 11 trường THPT
2.2 Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề
phương trình lượng giác theo định hướng phát triển năng lực học sinh
Phần 3: Kết luận.

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NỘI DUNG
Chƣơng 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1 Năng lực và năng lực Toán học
1.1.1 Năng lực
Theo quan điểm của những nhà tâm lý học năng lực là tổng hợp các

quả và hiệu quả cao thì mỗi người đều phải có năng lực chung phát triển ở
trình độ cần thiết và có một vài năng lực chuyên môn tương ứng với lĩnh vực
công việc của mình.
Năng lực còn được hiểu theo một cách khác, năng lực là tính chất tâm
sinh lý của con người chi phối quá trình tiếp thu kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo
tối thiểu là cái mà người đó có thể dùng khi hoạt động.
Để nắm được cơ bản các dấu hiệu khi nghiên cứu bản chất của năng lực
ta cần phải xem xét trên một số khía cạnh sau:
- Năng lực là sự khác biệt tâm lý của cá nhân người này khác người kia,
nếu một sự việc thể hiện rõ tính chất mà ai cũng như ai thì không thể nói về
năng lực.
- Năng lực chỉ là những khác biệt có liên quan đến hiệu quả việc thực
hiện một hoạt động nào đó chứ không phải bất kỳ những sự khác nhau cá biệt
chung chung nào.
- Năng lực con người bao giờ cũng có mầm mống bẩm sinh tuỳ thuộc
vào sự tổ chức của hệ thống thần kinh trung ương, nhưng nó chỉ được phát
triển trong quá trình hoạt động, phát triển của con người. Trong xã hội có bao
nhiêu hình thức hoạt động của con người thì cũng có bấy nhiêu loại năng lực,
có người có năng lực về quản lý kinh tế, có người có năng lực về Toán học,
có người có năng lực về kỹ thuật, có người có năng lực về thể thao ...
- Cần phân biệt năng lực với tri thức, kỹ năng, kỹ xảo: Tri thức là
những hiểu biết thu nhận được từ sách vở, từ học hỏi và từ kinh nghiệm cuộc
sống của mình. Kỹ năng là sự vận dụng bước đầu những kiến thức thu lượm
vào thực tế để tiến hành một hoạt động nào đó. Kỹ xảo là những kỹ năng
được lắp đi lặp lại nhiều lần đến mức thuần thục cho phép con người không
phải tập trung nhiều ý thức vào việc mình đang làm. Còn năng lực là một tổ
hợp phầm chất tương đối ổn đinh, cơ bản của cá nhân, cho phép nó thực hiện
có kết quả một hoạt động. Như vậy năng lực chỉ làm cho việc tiếp thu các
kiến thức kỹ năng, kỹ xảo trở nên dễ dàng hơn.


+ Năng lực sáng tạo Toán học

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2 Dạy học bài tập Toán học ở trƣờng phổ thông
1.2.1 Bài toán và lời giải của bài toán
a) Bài toán
Theo G.POLYA. Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách
có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông
thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay.
Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng. Bài
toán là sự đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó. Như vậy, bài toán có thể đồng
nhất với một số quan niệm khác nhau về bài toán như đề toán, bài tập.....
Trong định nghĩa về bài toán ở trên ta thấy có hai yếu tố chính hợp
thành của một bài toán.
- Bài toán luôn có mục đích xác định.
- Sự đòi hỏi người khác thực hiện mục đích của bài toán (giao nhiệm vụ
hoặc yêu cầu người khác thực hiện mục đích của bài toán)
Ví dụ 1
“Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm A,
B. Từ một điểm M bất kỳ trên d và nằm ở ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến
MP và MN (P, N là các tiếp điểm). Chứng minh rằng khi M di động trên
đường thẳng d thì đường tròn ngoại tiếp MNP luôn đi qua hai điểm cố
định.”
Đây là bài toán vì trong đó bao gồm hai yếu tố cơ bản hợp thành sau
đây.
- Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ "Chứng minh rằng".

- Giải được một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất
một lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lý giải
được bài toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải.
Ví dụ 4: Tìm các lời giải số học của bài toán cổ sau.
“Vừa gà vừa chó,
Bó lại cho tròn,

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ba mươi sáu con,
Một trăm chân chẵn.
Tính số gà, số chó?”
Cách 1. Giả thiết tạm
Giả sử tất cả 36 con vật đều là gà.
Vậy số chân của 36 con vật là
2  36 = 72 (chân)
Tổng số chân hụt đi so với điều kiện thực tế của bài toán là
100 – 72 = 28 (chân)
Ta thấy 28 chân thiếu hụt so với điều kiện thực của bài toán là do ta giả
sử tất cả 36 con vật đều là gà cả. Như vậy, ta đã bỏ đi ở mỗi con chó là 2
chân.
Vậy số con chó là
28 : 2 = 14 (con chó)
Số con gà là
36 – 14 = 22 (con gà)
Trả lời. Số gà là 22 con ; số chó là 14 con.
Cách 2. Giả thiết tạm

8 : 1 = 8 (con)
Số con chó là
(36 – 8) : 2 = 14 (con chó)
Số con gà là
14 + 8 = 22 (con chó)
Trả lời. Số gà là 22 con, số chó là 14 con.
Cách 4. Giả thiết tạm
Giả sử số gà bằng số chó và đều bằng 18 con.
Do đó tổng số chân của 36 con vật là
(2  18) + (4  18) = 108 (chân).

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Số chân dư ra so với điều kiện thực tế của bài toán là
108 – 100 = 8 (chân).
Ta thấy 8 chân dư ra là do điều giả sử số gà bằng số chó và bằng 18
con. Như vậy, ta đã chuyển một số con chó thành bằng ấy con gà hoặc ngược
lại.
Nếu chuyển một số con chó thành một số con gà thì tổng số chân phải
thiếu hụt. Ở đây tổng số chân tăng thêm 8 chân, nghĩa là ta đã chuyển một số
con gà thành con chó. Mà ta biết rằng khi chuyển một con gà thành một con
chó thì số chân tăng thêm là 2 chân.Vậy số con gà được chuyển thành số con
chó là
8 : 2  4 (con) .

Số gà nhiều hơn số chó là
4  2  8 (con)

O

A

D

C




Hình 1.1

B

Cách 1. Lớp 10
1
2

1
3

Từ giả thiết ta thấy tan   , tan   .
Dễ thấy tan     

tan  tan
 1 . Do đó suy ra ˆ  ˆ  450 .
1  tan .tan

Với cách giải này củng cố cho học sinh những kiến thức sau.



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Với cách giải này củng cố cho học sinh các kiến thức sau.
- Hai góc kề nhau
- Cách chứng minh hai tam giác bằng nhau, các tính chất của hai tam
giác bằng nhau. Cách chứng minh một tam giác là tam giác vuông cân.
Cách 3. Lớp 8, 9
O

A

B

C






D

Hình 1.3

Ta có BOC, DOB đồng dạng vì chung nhau góc O và hai cạnh kề
góc đó tỉ lệ với nhau. Từ đây suy ra β  CBO và dễ dàng có điều cần chứng
minh. (Hình 1.3)
Với cách giải này củng cố cho học sinh các kiến thức sau.

tình huống điển hình của quá trình dạy học môn toán.
- Trong giảng dạy khái niệm Toán học
Bài toán có thể được sử dụng để tổ chức gây tình huống, để dẫn dắt cho
học sinh tiếp cạn đến định nghĩa khái niệm; bài toán được sử dụng làm các ví
dụ hoặc phản ví dụ minh hoạ cho khái niệm (hoạt động nhận dạng và thể hiện
khái niệm); bài toán được sử dụng để luyện tập củng cố và vận dụng khái
niệm.
- Trong giảng dạy định lý Toán học
Bài toán có thể được sử dụng để tổ chức gây tình huống dẫn dắt học sinh
phát hiện ra nội dung định lý toán học; bài toán có thể được sử dụng trong
hoạt động nhận dạng và thể hiện định lý ; bài toán có thể được sử dụng để cho
học sinh tập vận dụng định lý; đặc biệt là việc tổ chức hướng dẫn học sinh tìm
ra đường lối chứng minh định lý chính là việc dạy cho học sinh cách phân
tích tìm ra chứng minh toán học của bài toán không có angorit giải.
- Trong luyện tập Toán học
Bài toán là phương tiện chủ yếu trong các tiết luyện tập Toán học. Trong
đó người giáo viên phải xây dựng được một hệ thống các bài tập có liên quan
chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng cố vững chắc các kiến thức cơ
bản và hình thành một số kỹ năng cơ bản nào đó.
d) Tƣ tƣởng

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đặc điểm cơ bản trong tính cách của con người là mọi hoạt động đều
có mục đích rõ ràng. Khi giải một bài toán ta luôn có định hướng mục đích cụ
thể, rõ ràng. Vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện
năng lực hoạt động của con người.


B

15

1
diện tích
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ta ký hiệu diện tích của các tam giác ∆ABC, ∆AMN, ∆ABN lần lượt là
SABC, SAMN và SABN. (Hình 1.4)
Ta thấy. SABC  2  SABN (Hai tam giác này chung chiều cao hạ từ B tới
AC và đáy AC = 2 × AN);
SABN  2  SAMN (Hai tam giác này chung chiều cao hạ từ N tới

AB và đáy AB = 2 × AM
Do đó suy ra SABC  4  SAMN . Vậy ta có điều cần chứng minh.
- Bài toán tìm tòi.
Những bài toán mà trong kết luận của nó chưa thể hiện rõ ràng kết quả
cuối cùng của mục đích bài toán.
Ví dụ 7:
Cho tứ giác lồi ABCD và các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, BC, CD và DA. Tính diện tích của tứ giác ABCD biết rằng
diện tích của MNPQ là 100 cm2 ?
Hướng dẫn

A

4

1
4

Tương tự ta có SAMQ  SCNP   SABD  SCBD    SABCD

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Do đó suy ra SBMN  SDPQ  SAMQ  SCNP  1  SABCD
2

Theo hình vẽ ta có SBMN  SDPQ  SAMQ  SCNP  SABCD  SMNPQ nên ta suy ra
1
2

đẳng thức sau. SABCD  SMNPQ   SABCD
Thay số vào đẳng thức trên ta có SABCD  100  1  SABCD .
2

Vậy ta suy ra S ABCD = 200 cm2.
b) Phân loại theo phƣơng pháp giải toán
Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán để phân loại bài toán:
Bài toán này có thuật toán chung giải hay chưa để chia các bài toán thành hai
loại
- Bài toán có angorit giải: Những bài toán mà phương pháp giải của nó
theo một thuật toán chung nào đó cho một lớp các bài toán chứa nó.

+ Bài toán hình học.
d) Phân loại theo ý nghĩa giải toán
Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán.
Bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kỹ năng nào
đó, hay là bài toán nhằm phát triển tư duy. Ta có hai loại bài toán như sau:
Bài toán cơ bản: Những bài bài toán sử dụng trực tiếp, đơn giản từng
kiến thức, kỹ năng mới vào việc giải quyết các tình huống phổ biến điển hình
trong thực tiễn
Bài toán nâng cao: Những bài toán sử dụng nhiều kiến thức, kỹ năng
nào đó vào việc giải quyết các tình huống mới lạ hoặc đòi hỏi phải có một khả
năng tư duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.
1.2.4 Phƣơng pháp tìm lời giải bài toán (Bốn bƣớc giải toán của
G.POLIA)
Bƣớc 1.Tìm hiểu đề
Trước khi giải một bài toán ta phải phân tích nội dung của bài toán, rồi
tìm hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau:
Những cái gì đã biết? Cái gì chưa biết của bài toán?
Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố thay
đổi và biến thiên của bài toán.

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Xác định các ẩn và các giá trị hằng của bài toán.
Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chưa biết hay không?
Bƣớc 2. Xây dựng chƣơng trình giải
Để tìm được lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì bước xây
dựng chương trình giải là bước quyết định, đồng thời đây cũng là bước khó