1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Đảng và nhà nước ta xác định giáo dục là quốc sách hàng đầu và xem giáo
dục là công cụ mạnh nhất tiến vào tương lai. Hội nghị lần thứ IV Ban chấp
hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam (khóa VII) đã chỉ ra: “Giáo dục
đào tạo phải hướng vào đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo có
năng lực giải quyết các vấn đề thường gặp, qua đó góp phần tích cực thực hiện
các mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh xã hội công bằng, dân
chủ văn minh”.
Trong quá trình học tập bộ môn toán, mục tiêu chính của người học bộ môn
này là việc học tập những kiến thức về lý thuyết, hiểu và vận dụng được các lý
thuyết chung của toán học vào những lĩnh vực cụ thể, một trong những lĩnh vực
đó là việc giải bài tập toán.
Bài tập toán học có vai trò đặc biệt quan trọng trong quá trình nhận thức và
phát triển năng lực tư duy của người học, giúp cho người học ôn tập, đào sâu,
mở rộng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn,
phát triển tư duy sáng tạo. Phần lớn các giáo viên đã nhận thức được điều này,
đã đánh giá đúng vai trò của bài tập toán học và coi trọng hoạt động giải bài tập
trong dạy học toán. Tuy nhiên vẫn rất nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải bài
tập. Điều này không chỉ do tính phức tạp, đa dạng, phong phú của công việc
này mà còn do chính nhược điểm mắc phải khi soạn thảo hệ thống bài tập, phân
dạng và hướng dẫn học sinh giải bài tập của giáo viên.
Phần phương trình lượng giác được phân bố trong chương trình đại số 11
trung học phổ thông. Những kiến thức về lượng giác đã được đề cập sơ bộ ở
chương trình THCS và chương trình lớp 10. Đây là một phần khá rộng, phức
tạp và học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập về Phương trình
lượng giác.
Với các lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu “Xây dựng hệ thống bài tập
chương "Phương trình lượng giác" theo định hướng phát huy tính tích cực,

Soạn thảo hệ thống bài tập đảm bảo tính hệ thống, khoa học theo các mức
độ nhận thức: nhận biết, hiểu, vận dụng.
Xây dựng kế hoạch sử dụng hệ thống bài tập đã soạn thảo khi dạy học phần
Phương trình lượng giác ở THPT.

3
Thực nghiệm sư phạm để đánh giá hệ thống bài tập đã soạn thảo về tính
khả thi và tác dụng phát huy tính tích cực, chủ động, nâng cao năng lực học tập
của học sinh.
7. Phương pháp nghiên cứu
- Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu.
- Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Hỏi ý kiến chuyên gia.
8. Đóng góp mới của đề tài
- Về mặt khoa học:
Xây dựng và lựa chọn được hệ thống bài tập chương "Phương trình lượng
giác" lớp 11 ở trường THPT.
Bước đầu nghiên cứu phương pháp sử dụng có hiệu quả hệ thống bài tập
nhằm phục vụ việc dạy và học chương "phương trình lượng giác" ở lớp 11 ở
trường THPT.
- Về mặt thực tiễn:
Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập này trong hoạt động dạy học giúp
giờ học trở nên sinh động, tạo ra sự hứng thú trong học tập và thu được những
kết quả học tập tốt hơn.
9. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập và hướng dẫn hoạt động giải bài tập
chương phương trình lượng giác trong chương trình toán trung học phổ thông
theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

hai chủ thể đó là giáo viên và học sinh. Dạy và học là hai hoạt động được thực
hiện đồng thời với cùng một nội dung và hướng tới cùng một mục đích. Phải
khẳng định rằng, nếu hai hoạt động này bị tách rời sẽ lập tức phá vỡ hoạt động
dạy học. Học tập không có giáo viên trở thành tự học, giảng dạy không có học
sinh trở thành độc thoại.
1.2.2. Bản chất của hoạt động dạy
Vậy theo lý thuyết hoạt động ta nhận thấy: Chủ thể của hoạt động dạy là
giáo viên, người tổ chức mọi hoạt động học tập của học sinh, người quyết định
chất lượng giáo dục.

5
Dạy học có nội dung hiện đại, nội dung được chọn lọc từ kết quả nhận thức
của nhân loại và xây dựng theo một lôgic phù hợp với lôgic khoa học và qui luật
nhận thức của học sinh. Nội dung dạy học hoàn thiện tạo nên kết quả giáo dục
toàn diện.
1.2.3. Bản chất của hoạt động học tập
Học sinh là chủ thể của hoạt động học tập, chủ thể có ý thức, chủ động, tích
cực và sáng tạo trong nhận thức và rèn luyện nhân cách.
Mặc dù học sinh là chủ thể của hoạt động học là chủ thể tích cực trong
nhận thức, rèn luyện và tu dưỡng bản thân, tuy nhiên học sinh còn là đối tượng
giảng dạy và giáo dục của giáo viên, là người phải tiếp thu sự chỉ dẫn dạy bảo từ
phía giáo viên. Người học quyết định chất lượng học tập của mình.
1.2.4. Mối quan hệ giữa hoạt động dạy và hoạt động học
Hoạt động dạy và hoạt động học là hai mặt của một quá trình luôn gắn
bó không tách rời nhau, tác động qua lại bổ sung cho nhau, thống nhất biện
chứng với nhau, quyết định lẫn nhau, thâm nhập vào nhau tạo thành một hoạt
động chung nhằm giúp cho người học phát triển trí tuệ, góp phần hoàn thiện
nhân cách.
1.2.5. Bản chất của quá trình dạy học
- Bản chất của quá trình dạy học là một chỉnh thể toàn vẹn thống nhất được

không thể dừng lại ở yêu cầu tái hiện các kiến thức, lặp lại các kĩ năng đã học
mà phải khuyến khích trí thông minh, óc sáng tạo trong việc giải quyết những
tình huống thực tế.
1.4. Thực trạng dạy và học phương trình lượng giác ở trường THPT
1.4.1. Thực trạng học phương trình lượng giác ở trường THPT
Trong quá trình thực tập giảng dạy của mình với những kinh nghiệm và qua
sự trao đổi với giáo viên và học sinh cho thấy lượng giác là một chủ đề khá khó
trong chương trình toán học trung học phổ thông. Mặc dù, sách giáo khoa mới
đã có nhiều giảm tải về nội dung và yêu cầu đối với học sinh nhưng để học tốt
phần lượng giác không đơn giản do:
Học lý thuyết:
- Công thức lượng giác khá nhiều nên học sinh hay quên và bị nhầm lẫn.

7
- Tuy công thức lượng giác học ở cuối lớp 10 nhưng sang đầu lớp 11 học
giải phương trình lượng giác thì học sinh phải ôn lại nhiều. Do đó đà học bị ngắt
quãng.
- Để vận dụng được công thức lượng giác đúng và linh hoạt thì phải dành
khá nhiều thời gian cho việc làm bài tập.
Khi làm bài tập:
- Việc tính toán, tư duy đối với phần lượng giác khác khá nhiều so với đại
số nên học sinh phần lớn là gặp khó khăn khi bắt đầu học dễ gây chán nản cho
học sinh.
- Do lượng giác là lĩnh vực khác nhiều so với đại số nên học sinh khó diễn
đạt và trình bày nhất là đối với bài toán lượng giác có điều kiện.
- Khi làm bài tập học sinh thường vận dụng một cách máy móc theo những
dạng phương trình lượng giác cơ bản nên khi gặp những dạng bài toán không
phải dạng đã gặp thì học sinh không giải quyết được.
- Để nắm được phương pháp giải các phương trình cơ bản một cách vững
chắc, nhuần nhuyễn phải mất một thời gian dài. Trong khi đó thời lượng ở lớp

chỉ dẫn về phương pháp và tài liệu tra cứu mà tự học sinh có thể không có được,
như vậy tiết kiệm thời gian cho học sinh rất nhiều và tạo điều kiện tối đa cho họ
dùng số thời gian còn lại để tự trau dồi thêm kiến thức.
9
Chương 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN
HOẠT ĐỘNG GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
THEO HƯỚNG TÍCH CỰC HÓA HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP

2.1. Phương pháp giải phương trình lượng giác
Để giải một số bài tập “Phương trình lượng giác” toán học 11, tôi nhận thấy
khi tổ chức hoạt động giải bài tập cho học sinh thường trải qua các bước sau:
Bước 1: Yêu cầu học sinh đọc kỹ đề bài để:
- Nêu được hiện tượng toán học cho trong đề bài.
- Phát hiện được các dạng bài đã cho và các yêu cầu phải tìm trong bài.
- Xác định được bài tập liên quan đến nội dung kiến thức nào.
Bước 2: Hướng dẫn học sinh chỉ ra các mối liên hệ cần xác lập.
Bước 3: Hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức nào để giải bài tập.
Buớc 4: Xác nhận kết quả làm bài của học sinh.
Để có thể giải tốt được các phương trình lượng giác thì vấn đề quan trọng
nhất là phải nhớ được các công thức lượng giác và từ đó sử dụng chúng vào biến
đổi lượng giác để đưa các phương trình lượng giác trở về các dạng quen thuộc.
2.2. Cơ sở phân loại và soạn thảo bài tập toán học chương “Phương
trình lượng giác”
2.2.1. Cơ sở phân loại
Dựa trên nội dung kiến thức khoa học và mục tiêu dạy học của chương
“Phương trình lượng giác” toán học 10, tôi dự kiến trước tiên là phân loại bài tập

2.3.1.1. Kiến thức chuẩn bị
1) Phương trình
sin sin
x



a)
 

  

 
  

  


2
sin sin ( )
2
x k
x k
x k

b)
   
sin . : 1 1.
x a Ñieàu kieän a


sin cos sin sin
2
u v u v

e)

 
    
 
 
sin cos sin sin
2
u v u v

* Các trường hợp đặc biệt:







   
    
      
           





     

cos arccos 2 ( )
x a x a k k

c)

    
cos cos cos cos( )
u v u v

d)

 
   
 
 
cos sin cos cos
2
u v u v

e)

 
    
 
 

tan tan
x



a)
  
    

tan tan ( )
x x k k

b)

    

tan arctan ( )
x a x a k k

c)
    
tan tan tan tan( )
u v u v 12

d)

 

x x k k
4) Phương trình
cot cot
x



  

    
    


cot cot ( )
cot arccot ( )
x x k k
x a x a k k

* Các trường hợp đặc biệt:


    

cot 0 ( )
2
x x k k


      


và
cot
x
thì điều kiện:

 

( )
2
x k k .
* Phương trình có mẫu số: (Mẫu số khác 0)


   

sin 0 ( )
x x k k

    

cos 0 ( )
2
x x k k


   


     

2cos9 .cos 1 cos 2cos .cos9
cos 1 2 , .
x x x x x
x x k k

   
    ¢

Vậy phương trình có một họ nghiệm
2 , .
x k k

 

.
Ví dụ 2. Giải phương trình:
2 2
2sin .sin cos 2 sin 2 (0 )
2
x x x x x


 
    
 
 
(2)
Giải



    
¢

Vậy phương trình có nghiệm là:
5 3
; ;
12 12 4
x
  
 

 
 
.
Ví dụ 3. Tìm


0;14
x nghiệm đúng phương trình:

cos3 4cos2 3cos 4 0
x x x
   
(3)
Giải
Ta có:
(3)




¢

Ta có:
 
1 14 1
0;14 0 14 3,9
2 2 2
x k k



          
Mà:
 
3 5 7
0;1;2;3 ; ; ;
2 2 2 2
k k x
   
 
    
 
 
¢

Ví dụ 4. Giải phương trình



 
1
2
2
cos
3
.
32
sin cos tan 1
4
x k
x k
x
k
x x x
x k







  



  




 
      
 
 3cos4 sin4 2cos2
x x x
  
3 1
cos4 sin4 cos2
2 2
x x x
  

cos 4 cos2 4 2 2
6 6
x x x x k
 
 
        
 
 

, ,
12 36 3
x k x k k
  
        


 
2
(6) 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin
cos 2sin cos 3 1 sin 2sin
cos 3sin sin2 3cos2
x x x x
x x x x x
x x x x
    
    
   

1 3 1 3
cos sin sin2 cos2 cos cos 2
2 2 2 2 3 6
x x x x x x
 
   
       
   
   

2 2
2 ( )
3 6 2
2
( )
2 2
18 3

   
¢
.
Ví dụ 7. Giải phương trình:
sin2 2cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
  


(7)
Giải
Điều kiện :
tan 3;cos 0.
x x
  

(7)
sin2 2cos sin 1 0 2sin cos 2cos (sin 1) 0
x x x x x x x
         2cos (sin 1) (sin 1) 0 (2cos 1)(sin 1) 0
x x x x x
        


Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình:
2 ( )
3
x k k


  
Z
.

16

2.3.2 Một số phương trình lượng giác thường gặp
Dạng 1: Phương trình bậc nhất đối với sin x, cos x
Tổng quát:
.sin .cos 0
a x b x c
  
(1) trong đó
, ,
a b c


và
2 2
0
a b
 

b

thì chia 2 vế phương trình cho
2 2
a b

ta được:

2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
 
  

Do
2 2
2 2 2 2
1
a b
a b a b
   
 
   
 
   
nên đặt

2 2

 

Ta được phương trình bậc nhất theo một hệ số lượng giác.
 Lưu ý điều kiện có nghiệm phương trình: c
2


a
2
+ b
2

 Nếu
. 0, 0
a b c
 
thì: sin cos 0 tan
b
a x b x x
a
    

 Chú ý trường hợp đặc biệt:
2sin( )
4
sin cos
2cos( )
4
x
x x




Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
1)
3sin cos 1
x x
 
4)
sin5 cos5 2
x x
  

17

2)
cos2 3sin 2 0
x x
  
5)
3sin cos 2
x x 
3)
2
2sin 3sin2 3
x x
 
6)
3sin cos 2
x x 

x k
x k
  
 



 
 


       

  


 
 

     

 

 


   





 






    






 



.
3) Ta có:
2 2
2sin 3sin2 3 3sin2 (1 2sin ) 2 3sin2 cos2 2
x x x x x x
        
Chia hai vế của phương trình cho
 
 
2
2

   

5 2
4 2
x k
 

   

18


3 2
, .
20 5
k
x k
 
   


5)
3sin cos 2
x x 
3 1 2
sin cos
2 2 2
x x  
2
sin cos cos sin

 


 




    






6)
3sin cos 2
x x 
3 1 2
sin cos
2 2 2
x x  
2
sin cos cos sin
6 6 2
x x
 
  
sin( ) sin
6 4


    





.
Ví dụ 2. Giải phương trình:
1
3sin 2cos 3(1 tan )
cos
x x x
x
    (1)
Giải
Điều kiện:
cos 0 ,( ).
2
x x k k


    

Ta có:
(1)
cos (3sin 2cos ) 3sin 3cos 1
x x x x x
    




2x k k
 
  

không phải là nghiệm của phương trình (2).
19

Đặt
tan
2
x
t  . Từ (2) suy ra:
2
3 2 3
3
3 6 1 0
3 2 3
3
t
t t
t





   


, .
2 2
tan tan
2
x
x k
k
x x k

 
 




 

  


 







Tóm lại, nghiệm của phương trình (1) là


Ta có:
cos 2sin 3
(2 1)cos ( 2)sin 3 4
2cos sin 4
x x
y y x y x y
x x
 
       
 
(2)
y thuộc miền giá trị của f(x)

(2) có nghiệm x

2 2 2
(2 1) ( 2) (3 4 )
y y y
     

2
2
11 24 4 0 2
11
y y y
        

Vậy, GTLN của y là
2
11

    


Vậy miền xác định của y
k
là
D



Ta có:
 
2 cos 1
2 cos sin 1 2
cos sin 2
k k k k
k x k
y y k x y x k y
x x
 
      
 
(1)
y
k
thuộc miền giá trị của hàm số y
k
= f(x) khi và chỉ khi:
(1) có nghiệm
 

2
2 6 4 2
2
k k
  

GTNN của y
k
là
2
2 6 4 2
2
k k
  

1) Khi
1
k

ta có : GTLN của y
1
là 2
GTNN của y
1
là 0.
2) Ta có:
GTLN của y
k
là
2

x + bcosx + c = 0 (a

0)
c) atan
2
x + btanx + c = 0
21

d) acot
2
x + bcotx + c = 0
Phương pháp giải:
Đặt ẩn số phụ cho hàm số lượng giác để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
Tổng quát: at
2
+ bt + c = 0 (a

0).
Trong đó t là một hàm số lượng giác.
* Cần nhớ
D
ạng
Ñaët

Ñieàu kieän

  
2
sin 0
asin x b x c




  

( )
2
x k k

  
2
cot cot 0
a x b x c

cot
t x



 

( )
x k kVí dụ 1. Giải phương trình sau:
cos3 sin3
5(sin ) 3 cos2
1 2sin2
x x


Ta có:
cos3 sin3 sin 2sin2 sin cos3 sin3
5(sin ) 5
1 2sin2 1 2sin2
x x x x x x x
x
x x
   
 
 

sin cos cos3 cos3 sin3
5
1 2sin2
x x x x x
x
   



(sin3 sin ) cos 2sin2 cos cos (2sin 1)cos
5 5 5 5cos
1 2sin2 1 2sin2 1 2sin2
x x x x x x x x
x
x x x
   
   
  

x x x
   (2)
Giải
Điều kiện:
cos 0
2
x x k


   

2
2
sin
(2) 5sin 2 3(1 sin )
cos
x
x x
x
   
2
2
sin
5sin 2 3(1 sin )
1 sin
x
x x
x
   


k
x k





 

 


 




Ví dụ 3. Giải phương trình :
1 1
2sin3 2cos3
sin cos
x x
x x
   (3)
Giải
Điều kiện:
sin2 0 , .
2
x x k k


2(sin cos )( 1 4sin cos ) 0
sin cos
x x
x x x x
x x

     1
(sin cos )( 2 8sin cos ) 0
sin cos
x x x x
x x
     2
(sin cos )(4sin 2 2) 0
sin2
x x x
x
    2
(sin cos )(4sin 2 2sin2 2) 0
x x x x
    


7
12
x k
x k k
x k







  



    



 




23

Ví dụ 4. Giải phương trình:
2
cos (2sin 3 2) 2cos 1

2
x 
, .
4
x k k


    


Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm: ,
4
x k k


  

.
Ví dụ 5. Giải phương trình:
2 2
3cot 2 2sin (2 3 2)cos
x x x
  
(5)
Giải
Điều kiện:
sin 0 , .
x x k k

   







2
2 cos 2
:
3 sin 3
x
t
x
 

2
3cos 2(1 cos )
x x
  

2
2cos 3cos 2 0
x x
   1
cos
2
x

cos
2
x 
2 , .
4
x k k


    


Vậy, phương trình có nghiệm:
2 , 2 , .
3 4
x k x k k
 
 
      


Ví dụ 6. Giải phương trình:
2 2
4sin 2 6sin 9 3cos2
0
cos
x x x
x
  

(6)

x
 




 


2
, .
3
x k
k
x k





 

 


  





k k
 
 
   
không thỏa mãn với mọi k.
Do đó
cos
2
x
không là nghiệm của phương trình nên:
5
3
(7) sin cos 5cos sin cos
2 2 2 2
x x x x
x 

1 5
3
(sin3 sin2 ) cos sin
2 2
x x x x
  

3 3
3sin 4sin 2sin cos 5cos sin 0
x x x x x x
    


 





 



2
1 21
, .
arccos 2
10
1 21
arccos 2
10
x k
x k
k
x k
x k







1 21
arccos 2 , .
10
x k k

 
   


Ví dụ 8. Giải phương trình sau:
6 8
2
2cos 1 3cos
5 5
x x
  (8)
Giải
Ta có: (8)
2
12 4
(1 cos ) 1 2(2cos 1)
5 5
x x
    4 4 4
3 2
2 4cos 3cos 2(2cos 1)




4 5
cos 1 , .
5 2
x
x k k

   



4 1 21 5 1 21 5
cos arccos , .
5 4 4 4 2
x
x k k

 
     


Vậy, phương trình có nghiệm:

5
2
x k

 ,