SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN VỀ QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Lê Thị Lam
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2019


MỤC LỤC
Trang
I.
Mở đầu…………………………………………………..
3
1.1 Lý do chọn đề tài ……………………………………...
3
1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………………
3
1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………..
4
1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………….
4
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm ………….
4

hình phẳng. Mỗi hình đều có thể biểu diễn một cách tường minh, phản ánh trung
thành hình dạng và có thể cả về kích thước trên mặt giấy. Mọi quan hệ giữa các
đối tượng đều được biểu diễn một cách trực quan. Từ chương II hình học lớp 11
trở đi, hình vẽ là những hình phẳng không thể phản ánh trung thành các quan hệ
như quan hệ vuông góc, quan hệ cắt nhau,... của các đối tượng. Đó là một khó
khăn rất lớn của học sinh.
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất e ngại học môn hình
học không gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tế khách
quan. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo
viên củng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương
pháp giải các dạng bài tập hình hoc không gian. Qua nhiều năm giảng dạy môn
học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến
thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh
ngày được nâng lên. Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh
còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó,nên tôi nghiên cứu nội dung này
nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng
nhằm tháo gỡ những vướng mắc khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với
mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học sinh nói chung và môn hình học
không gian nói riêng.
Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống,
không áp đặt hoặc dập khuôn máy móc do dó mà học sinh dễ dàng áp dụng được
vào việc giải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó.
Từ lí do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức và tổng hợp thành
một chuyên đề: ‘Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ
song song trong không gian’.
Qua nội dung này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh lớp 11 có thêm
một số kĩ năng cơ bản, phương pháp chứng minh của một số dạng bài toán liên
quan đến quan hệ song song trong không gian. Học sinh thông hiểu và trình bày
bài toán đúng trình tự, đúng lôgic, không mắc sai lầm khi làm bài tập. Hy vọng đề
tài nhỏ này sẽ giúp các em học sinh có cơ sở cũng như phương pháp giải một số

2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm ra quy luật, phương pháp chung để
giải quyết một vấn đề là việc vô cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định
hướng tìm lời giải của một lớp các bài toán tương tự nhau. Trong dạy học, giáo
viên có vai trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập
những hoạt động tương thích với nội dung dạy học trong điều kiện được gợi động
cơ , hướng có đích, có kiến thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệm
thành công .Do vậy trang bị về phương pháp cho học sinh là một nhiệm vụ quan
trọng của người giáo viên.
Trong chương II ‘ Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song
song’ sách giáo khoa có giới thiệu một số khái niệm, trong đó có khái niệm về
giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng, thiết diện
cắt bởi một mặt phẳng với một hình đa diện. Do đó nếu có được hệ thống phương
pháp giải các bài toán:
Bài toán 1: Tìm giao điểm của đường d và mặt phẳng( α ).
Bài toán 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) .
Bài toán 3: Tìm thiết diện cắt bởi một mặt phẳng với một hình đa diện.
Bài toán 4: Đưa bài toán tỉ số trong không gian về các bài toán trong mặt
phẳng
Thì học sinh có thể nắm vững được kiến thức để vận dụng làm các bài tập, gây
hứng thú trong học tập cho học sinh. Mặt khác đây lại là chương kiến thức nền
tảng cho cả phần hình học không gian nên rất cần thiết.
Vì vậy tôi thấy việc đưa ra : ‘Phân loại và phương pháp giải một số
toán về quan hệ song song trong không gian’ là một việc rất bổ ích cho việc dạy
của giáo viên cũng như việc học hình học không gian của học sinh.
2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Trong quá trình giảng dạy của mình tôi nhận thấy phần lớn học sinh thường rất
lơ mơ và ngại học môn hình học không gian. Khi gặp các bài toán thì không phân
loại và định hình được cách giải, lúng túng khi làm bài tập. Trong khi đó sách giáo
khoa hình học 11 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành

đường thẳng EF sẽ cắt đường nào của mặt (ACD).

Hình 1

Bài toán 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi O’ là tâm của hình bình hành
A’B’C’D’; K là trung điểm của CD, E là trung điểm của BO’.
a) Chứng minh rằng E nằm trên mặt phẳng (ACB’)
b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua K và song
song với mặt phẳng (ACE).
*Học sinh thường lúng túng không biết cách chứng minh cho E thuộc một đường
thẳng khác nằm trên mặt phẳng (ACB’). Do đó đến câu b) học sinh sẽ không
nhận ra được mặt phẳng (ACE) chính là mặt phẳng (ACB’) nên rất khó khăn
trong việc xác định thiết diện.
Lúc này vai trò của giáo
viên là phải định hướng
cho học sinh chứng minh
được E là giao điểm của
BO’ với OB’ nằm trong mặt
phẳng (ACB’).

Hình 2

6


Bài toán 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm
của hai đường chéo AC và BD, M là trung điểm của cạnh SA.
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P) qua M song song
với SO và BC.
b) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (Q) chứa O song

điểm J đó.

Lúc này mô hình mà tôi sử dụng là hình tứ
diện với khung được làm bằng các que các mặt
ngoài không gắn bìa, tôi sẽ chỉ cho các em thấy
đường thẳng EF là đường nào. Sau đó cho các em
nhận xét quan hệ giữa đường thẳng EF với các cạnh
của tứ diện. Tiếp đó tôi sẽ gọi một học sinh lên
bảng vẽ hình biểu diễn.
Để tìm giao điểm J tôi sẽ định hướng cho học sinh đường thẳng EF nằm trên
mặt phẳng (BEF) và bằng tấm bìa cho các em quan sát mặt phẳng (BEF) không
phải chỉ là phần chứa tam giác BEF.
Khi dạy bài toán thiết diện trước hết cần cho học sinh nhìn thấy trực quan thiết
diện của một hình đa diện cắt bởi một mặt phẳng. Tôi sẽ sử dụng mô hình là một
khung chóp và một tấm bìa, tùy vào vị trí của tấm bìa tôi sẽ chỉ cho học sinh thấy
thiết diện

2. Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ song song trong
không gian.
Bài toán 1: Tìm giao điểm của đường d và mặt phẳng( α ).

Hình 5

Hình

6

8



cho AJ= AD . Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp(BCD).
Nhận xét: Với bài toán này thì học sinh dễ dàng phát hiện được đường thẳng a
cần tìm chính là đường thẳng BD. Nhiệm vụ của giáo viên là cần lưu ý cho học
sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng đó phải cùng nằm
trên một mặt phẳng và không song song.
A

A
I
J

I
J

K

B
B

D

D

C

Hình

7

C

I

I

J

M

J
P

M

A

A

B

D

B

O

D

C

C

B
F

B

O

D

D

C

O
C

E

Hình 11
Hình 12
Tượng tự câu a) để tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM) ta phải
chọn mặt phẳng phụ chứa SC và đi tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ đó với
mp(IJM). Với bài toán này thì có nhiều mặt phẳng chứa đường thẳng SC như
mp(SAC), mp(SCD) và mp(SBC). Vấn đề là chọn mặt phẳng nào sao cho việc tìm
giao tuyến được thuận lợi là tùy thuộc vào khả năng của mỗi học sinh, giáo viên
không nên gò học sinh đi theo lời giải của mình.

10



M
A

C

O

D

C

E

E

Hình 13

Hình 14

* Lời giải:
a) Ta có BM ⊂ (SBD)
Xét 2 mp( SAC) và (SBD) có
S là điểm chung thức nhất.(1)
Gọi O = AC ∩ BD ⇒ O là điểm chung thứ hai (2)
Từ (1) và (2) ⇒ SO = ( SAC ) ∩ ( SBD)
Gọi P=BM ∩ SO
Kết luận: P=BM ∩ (SAC)
b) Ta có IM ⊂ (SAD)
Xét hai mp(SAD) và (SBC) có:
S là điểm chung thứ nhất

* Đlý 2 ( SGK trang 57) : Nếu ( β ) ∩ (γ )=b thì a // b // c hoặc a, b, c đồng quy.
(α ) ∩ (β )= c

 a // b

* Hệ quả: Nếu a ⊂ (α ), b ⊂ (β ) thì d // a // b hoặc d trùng a hoặc d trùng với b
(α ) ∩ (β )= d


Hình 16

Hình 17

Hình 18

 a //(α )

* Đlý 2:(SGK trang 61) Nếu a ⊂ (β )
thì a//b ( hình 19)
(α ) ∩ (β )= b

(α ) // d

* Hệ quả: Nếu (β ) // d
thì a // d. ( hình 20)
(α ) ∩ (β )= a


Hình 19


và mp(SBD) thì học sinh cũng phát hiện được giao tuyến là đường thẳng SF. (hình
23)
S
S

B

E

A

B
A

E

F

C

C

D

D

Hình 22

Hình 23


Xét hai mp(SAD) và (SEF) có:
S ∈ ( SAD) ∩ ( SEF)
N ∈ ( SAD ) ∩ ( SEF)
Kết luận : SN = ( SAD) ∩ ( SEF)
Tương tự: SM = ( SBC ) ∩ ( SEF)

Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’
và CC’, P là một điểm thuộc đoạn BB’. Tìm giao điểm Q của đường thẳng DD’
với mp(MNP) .
Nhận xét: Để tìm giao điểm Q của đường thẳng DD’ với mp(MNP) thì giáo viên
phải gợi ý cho học sinh tìm giao tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng DD’ với
mp(MNP). Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết đường thẳng DD’ nắm trên những
mặt phẳng nào và cho biết số điểm chung của các mặt phẳng đó với mp(MNP)?
A

B

D
x

C

C
M

Q

Q

A'

Hình 26
Lời giải:
Ta có DD’ ⊂ (CC’D’D)
Xét 2 mp(MNP) và mp(CC’D’D) ta có:
N là một điểm chung (1)
MP //( mp(CC’D’D) (2)
MP ⊂ mp(MNP)
(3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒ (MNP) ∩ ( CC’D’D) = Nx // MP
Gọi Q = DD’ ∩ Nx ⇒ Q = DD’ ∩ (MNP) ( hình 25)
• Chú ý: Ta có thể chọn mp(AA’D’D) chứa DD’ và tìm được giao tuyến của 2
mp(MNP) và mp(AA’D’D) là My song song với đường thẳng NP ( hình
26).
Bài tập tự luyện.
Cho bốn điểm không đồng phẳng A,B, C, D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AD và BC .
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (NDA).
b) Cho I, J là 2 điểm lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng AB và AC. Xác định
giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (IJD).
Bài toán 3: Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) với một hình đa diện.
a) Định nghĩa. Thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P) là phần
chung của hình (H) và mp(P).
b) Phương pháp: Để tìm thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) và hình (H) ta đi tìm
các đoạn giao tuyến của mp(P) với các mặt của hình (H)
14


c) Các ví dụ
Ví dụ 1 : Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BC, BD lần lượt lấy các điểm
M, N, P sao cho MN không song song với AB, NP không song song với CD. Tìm

MN ∩ CB = I
⇒ mp( MNE ) ∩ mp( ABCD) = IJ
mp( MNE ) ∩ mp( SAB ) = JQ
mp( MNE ) ∩ mp( SBC ) = IQ

Có JQ cắt SA tại H, IQ cắt SC tại P.
Hình 28
Mặt phẳng (MNE) cắt các mặt của hình chóp theo các đoạn giao tuyến là MN,NP,
PQ, QH, HM. Thiết diện cắt bởi mp(MNE) với hình chóp là MNPQH.
15


Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD với M,N là 2 điểm lần lượt lấy trên các cạnh AB
và CD. Gọi (α ) là mặt phẳng qua MN và song song với SA. Tìm thiết diện cắt bởi
mặt phẳng (α ) với hình chóp.
Lời giải .
Ta có M∈ (α ) , (α ) // SA

⇒ mp (α ) ∩ ( SAB ) = MQ ( MQ // SA)
⇒ mp (α ) ≡ mp ( MNQ ) // SA
mp( SAC ) ∩ mp ( MNE ) = OP // SA (O = AC ∩ MN )

Do đó thiết diện là tứ giác MNEF.
Nhận xét: Với 2 đoạn giao tuyến MN và ME thì học sinh dễ dàng xác định được.
Nhưng để xác định giao tuyến với 2 mặt phẳng (SBC) và (SDC) thì học sinh sẽ bị
bế tắc. Lúc này nhiệm vụ của giáo viên là hướng dẫn học sinh tìm được điểm F là
giao của SC với mặt phẳng (α ) .
Ví dụ 4. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có AA’//BB’//CC’. Gọi H là trung điểm của
A’B’. Gọi (α ) là mặt phẳng đi qua trung điểm của CC’ và song song với AH và
CB’. Hãy xác định thiết diện cắt bởi (α ) với lăng trụ.

ABC

=

MA'
.
SA

c) Chứng minh rằng
Hướng dẫn.
- Để chứng minh 3 điểm A, M , N thẳng hàng thì học sinh cần chỉ ra
được nó là điểm chung của 2 mặt phẳng phân biệt ( ABC ) , ( SA, MA') .Từ
đó suy ra N = AM ∩ BC .
- Nếu xét trong mặt phẳng (SAN) thì được kết quả nào.

Lời giải:
a) Vì A' M // SA nên có mp ( MA' , SA) .Mặt phẳng này và mp(ABC) có 3 điểm
chung là A, M , N . Do đó nó phải nằm trên giao tuyến của 2 mp nói trên .
Vậy 3 điểm đó phải thẳng hàng.
Kéo dài AM cắt BC tại N. Trong mp(SAN) kẻ MA' song song với SA cắt
SN tại A' .
S MBC MN
=
S ABC
AN
MN MA'
=
Trong mp ( SAN ) có
.
AN

cắt các cạnh SA, SB, SC tại A' , B' , C ' . Gọi O là giao điểm của AC và DB , I là giao
điểm của A'C ' và SO .
a) Tìm giao điểm D' của mp ( P ) với cạnh SD.
SA SC 2SO
+
=
.
SA' SC '
SI
SA SC SB SD
+
=
+
c) Chứng minh rằng
.
SA' SC ' SB ' SD'

b) Chứng minh rằng

Nhận xét :
Với câu a) thì học sinh có thể dễ ràng làm được vì ở loại bài tập 3 học
sinh đã học và làm.
Với câu b) thì giáo viên cần hướng dẫn học sinh đưa hình không gian
về xét trong một mặt phẳng, đó là mặt phẳng (SAC ) . Khi đó học sinh sẽ vẽ tam
giác SAC trong mặt phẳng như hình phẳng bình thường, từ đó tìm ra được lời giải.
Từ câu b) học sinh sẽ làm được câu c).
Lời giải:

a) Trong mp (SAC ) nối A' với C ' cắt SO tại I . Trong mp (SBD) nối B' với I cắt
SD tại D' . Khi đó D' chính là giao điểm của mp (P ) với SD .

c) Chứng minh tương tự như câu b), ta có
SB SD 2 SO
+
=
(4)
SB ' SD'
SI
SA SC SB SD
+
=
+
Từ (3) và (4) suy ra
.
SA' SC ' SB' SD'

Bài tập tự luyện .
1.

Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ . Trên đường thẳng BA lấy một điểm
1
2

M sao cho A nằm giữa B và M , MA= AB .
a) Xác định thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua M, B’
và trung điểm E của AC.
b) Tính tỉ số

BD
CD


Sĩ số

43
41
40

Điểm 8 trở lên

Điểm từ 5 đến 7

Số Tỷ lệ
lượng

Số Tỷ lệ
lượng

10
11
9

28
24
25

23,3%
26,8%
22,5%

65,1%
58,5%

Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu, song chắc chắn còn nhiều thiếu sót và
hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và
góp ý cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
3.2. NHỮNG KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có
nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu
học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ.
- Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ
sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để
làm cơ sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.
- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng
học tập.

20


TÔI XIN CAM ĐOAN ĐÂY HOÀN TOÀN LÀ SẢN PHẨM CỦA MÌNH
Xác nhận của BGH nhà trường

Thiệu Hóa ngày 25 tháng 5 năm 2019
Giáo viên

LÊ THỊ LAM

DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO.
1. Sách giáo khoa hình học 11
Nhà xuất bản giáo dục
2. Sách hướng dẫn giảng dạy
Nhà xuất bản giáo dục