KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2019 – 2020

SỞ GIÁO DỤC PHÚ YÊN
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ

MÔN: TOÁN

(Đề thi có 01 trang)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

U

U

Câu 1. (2,0 điểm) Giải phương trình x3 =
+1 2 3 2x −1 .
Câu 2. (2, 0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm
B′ và C ′ sao cho AB. AB′ = AC. AC ′. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM ⊥ B′C ′.

Câu 3. (3,0 điểm) Cho phương trình cos 2 x + sin x + m − 3 =
0.
a. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
b. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thuộc khoảng
(0; π ).
Câu 4. (4,0 điểm) Cho f ( x)= mx 2 + 4(m − 1) x + m − 1 ( m là tham số).
a. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để f ( x) > 0 với mọi x ∈ .
b. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để f ( x) < 0 với mọi x ∈ ( 0; 2 ) .
 x + 1 + y + 2 =m
Câu 5. (4,0 điểm) Cho hệ phương trình 
( m là tham số).


TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ

Môn Toán – Thời gian: 150 phút
Đáp án

Câu
Câu1
(2,0 điểm)

Đặt:=
y

3

Điểm

2 x − 1.

1,0

3
3
3
=
=
 x + 1 2 y =
 x + 1 2 y
 x + 1 2 y
Ta có:  3

0,5

⇒ x3 + 1= 2 x ⇔ ( x − 1)( x 2 + x − 1)= 0


x = 1

−1 + 5
⇔  x =
2

 x = −1 − 5

2

Câu 2
(2,0 điểm)

0,25

Vì M là trung điểm của BC nên
 1  
=
AM
AB + AC
2

(

B

1,5
0,25

(3,0 điểm) Đặt:
=
t sin x, t ∈ [ −1;1]
Phương trình trở thành 2t 2 − t = m − 2

0,5

Xét hàm số =
y 2t 2 − t với t ∈ [ −1;1]
Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m − 2 =1 ⇔ m = 3

0,75


b. (1,5 điểm) x ∈ ( 0; π ) ⇒ t ∈ ( 0;1]
Xét hàm số =
y 2t 2 − t trên nửa khoảng ( 0;1]

1,0
1
8

Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt ⇔ − < m − 2 < 0 ⇔
Câu 4
(4,0 điểm)

15

m < 0

1
(thỏa mãn)
4

0,5

m < 0

+
⇔
⇒ VN
 ∆′ < 0
(m − 1)(3m − 4) < 0

0,5

+ Khi m > 0 đề f ( x) < 0∀x ∈ (0; 2) thì f ( x) = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa
 x ≤ 0 < x2 (1)
x1 ≤ 0 < 2 ≤ x2 ⇔  1
 x1 < 2 ≤ x2 (2)

0,5

m −1
≤ 0 ⇔ 0 < m ≤1
m

0,5


( −1 ≤ x ≤ 14; −2 ≤ y ≤ 13)

1,0



13 + 4 14
x =
2
⇒ 2 ( x + 1)(14 − x) = 1 ⇔ −4 x 2 + 52 x + 55 = 0 ⇔ 

13 − 4 14
x =
2



11 − 4 14
y =
2


11 + 4 14
y =

2

0,5


m có điểm chung với
Để hệ có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng a + b =
2
2
đường tròn a + b = 3m + 3 trong đó a ≥ 0 và b ≥ 0
 m 2 − 6m − 6 ≤ 0

3 + 21
≤ m ≤ 3 + 15
3m + 3 ≤ m ≤ 6m + 6 ⇔ m 2 − 3m − 3 ≥ 0 ⇔
2
m ≥ 0


Vậy:
Câu 6
(2,0 điểm)

0,5
1,0

1,0

3 + 21
≤ m ≤ 3 + 15
2

Theo BĐT Bunhiacopski, ta có
 BC


2
(do S ABC = pr )
⇔
+
+
+
+
≥
 .2 S ABC ≥ 4 p ⇔
OM ON OP
r
 OM ON OP 

0,5


Dấu bằng xảy ra OM = ON + OP ⇔ O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC

Câu 7
(3,0 điểm)

Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với
CD cắt BC tại E

0,5

E

Tứ giác ABDE nội tiếp


x2 −1

0,5

1,0

⇔ x( x 3 − 2) + 2( x 3 − 2) = 0 ⇔ ( x3 − 2)( x + 2) = 0 ⇔ x = 3 2

Vậy: AC = 3 2.

0,5