Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
LỜI NÓI ĐẦU:
Kính thưa các đồng nghiệp cùng bạn đọc:
Tôi viết chuyên đề giải PTLG này nhằm trao đổi cùng đồng nghiệp để tham khảo.
Bên cạnh đó giúp cho các em học sinh đã học xong chương trình THPT tự học để có thể
tự ôn luyện vào các trường đại học theo nguyện vọng của mình.
Nếu nói một chuyên đề PTLG thì phải giới thiệu tất cả các dạng phương trình và
cách giải hoặc thuật toán của từng dạng.Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy và nghiên
cứu cách cho đề của các đề thi đại học từ những năm gần đây bản thân tôi rút ra được
kinh nghiệm:
+Số chuyên đề của một học sinh phải học quá nhiều, do vậy vấn đề về thời gian
dành để ôn luyện cho mỗi chuyên đề phải được tính đến.
+Dạy và ôn như thế nào để phù hợp với xu thế ra đề của Bộ Giáo dục.
Do vậy tài liệu này tôi đã tích lũy từ nhiều năm, các bài tập được biên soạn chỉ
ngang tầm với các đề thi đại học đã diễn ra hoặc mức độ chênh lệch nhau không đáng
kể.Tài liệu này được viết theo các nội dung chính say đây:
A.Ôn lý thuyết:Không trình bày phần lý thuyết nhằm tránh tài liệu quá dài.
B.Sơ đồ hệ thống cách giải các phương trình lượng giác trong các đề thi đại học.
(Sau mỗi bài giải hoặc ví dụ,bạn hãy thử xem đối chiếu lại với sơ đồ !)
C.Ôn tập cách giải các phương trình thường gặp đã nâng cao.Trong phần này có ví
dụ và có lời giải hoặc hướng dẫn cách giải.Cuối của mỗi mục có phần bài tập hoàn toàn
tương tự , do vậy tôi không ghi cách giải. Riêng phần PTLG đẳng cấp bậc n tôi đã biên
soạn các ví dụ theo hai cách giải để bạn đọc thấy được ưu điểm của mỗi cách.Số bài tập
tương tự mục này nhiều hơn so với những nội dung khác.
D.Phần bài tập để rèn luyện chung cho chuyên đề-phần này tôi biên soạn tương ứng
với mức độ các đề thi đại học từ 2002-2009 . Các em học sinh có thể nghiên cứu đáp án
các đề thi đại học từ 2002-2009 để giải nó (nếu không giải được).(Nếu các em là học sinh
có yêu cầu bài giải phần này thì có thể liên hệ theo email:
hoặcsố điện thoại: 0984-003114.
E.Nội dung các đề thi đại học các khối từ 2003-2009 để dễ so sánh với các bài tập ở
phần D.

)
+ Giải phương trình at
2
+ bt + c = 0 và chọn t thoả mãn điều kiện.
+ Giải phương trình f(x) = t.
Ví d ụ 1 ) Giải phương trình :
2
2cos 4 6 s 1 3cos2
0
cos
x co x x
x
+ + +
=
(1)
Ví d ụ 2 ) Giải phương trình :
1
cos1
sin2)1cos2(cos1
=
−
−+−
x
xxx
(2)
Ví d ụ 3 ) Giải phương trình :
2
3 2 3(1 ).cotcosx cosx x− = − −
(3)
Ví d ụ 4 ) Giải phương trình :

π
của phương trình :

sin 3 cos3
7 4 cos2
2sin 2 1
x x
cosx x
x
−
 
− = −
 ÷
−
 
(5)
Ví d ụ 6 ) Cho phương trình :
cos2 (2 1)sin 1 0 (*)x m x m+ + − − =
.
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng
( )
;2
π π
.
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1) +Đk
π
π
mx

k
x
x
x
xx
6
2
2
1
2cos
12cos
012cos32cos2
2
Họ
2
π
k
x
=
thỏa ĐK khi k = 2h
π
hx
=⇒
Vậy (1) có 3 họ nghiệm là:
Zkhkxhx
∈+±==
,;
6
;
π







−=−=
π
π
π
π
π
2
4
5
2
4
4
sin
2
2
sin
kx
kx
x
Ví dụ 3) +ĐK :
π
mx
≠
(3)

x
x
x






+−±=
+±=
⇔






−=
=
⇔
π
π
π
2)
3
2
arccos(
2
3

=−=+−+=
=+=+
x
xxxxxxx
xxxx
DẠY ƠN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 3 Nguyễn Cơng Mậu
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
(4)
012cos42cos32cos
4
1
2cos
4
3
22
=+−⇔=+⇔
xxxx





+±=
=
⇔




=

π
π
π
π
2
12
2
12
5
2
1
mx
mx
+Ta có
)cossin1)(cos(sin4)cos(sin3cos3cos4sin4sin33cos3sin
33
xxxxxxxxxxxx
−+−+=+−−=−
)12sin2)(cos(sin)1cossin4)(cos(sin
−+=−+=
xxxxxxx
xx
x
xx
cossin
12sin2
3cos3sin
+=
−
−

2
6
2
1
sin
kx
kx
x
*Chọn nghiệm trên khoảng
( )
π
;0
ta được hai nghiệm của phương trình là:

6
5
;
6
ππ
==
xx
Ví dụ 6) (*)
01sin)12(sin21
2
=−−++−⇔
mxmx
0sin)12(sin2
2
=++−⇔
mxmx

5
2
6
2
1
sin
2
1
kx
kx
xt
b)Tìm m để PT (*) có nghiệm trên khoảng
( )
;2
π π
:
Khi
( )
012;
<≤−⇒∈
tx
ππ
.
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 4 Nguyễn Công Mậu
Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
Vậy ta phải có :



<≤−

0)1(;0)0(;0
01
01
01
21
21
21
m
m
fff
S
afaf
tt
tt
tt

[
)
0;1
−∈⇔
m
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :

1) Giải phương trình :
2 2
4sin 2 6sin 9 3cos2
0
cos
x x x
x

1 2sin 2
x x
sinx x
x
+
 
+ = +
 ÷
+
 
6) Cho phương trình :
cos 2 (2 1)cos 1 0 (*)x m x m− + + + =
.
a) Giải phương trình khi m = 3/2.
b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng
3
;
2 2
π π
 
 ÷
 
.
II. Phương trình bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung:

Phương trình dạng : asinx + bcosx = c , với a.b
≠
0
+ Điều kiện phương trình có nghiệm : a
2

c
a b
β
=
+
ta có phương
trình:

sin( ) sinx
α β
+ =

Ví dụ 1: Giải phương trình :
xxxx 2cos34cos26sin32cos4
3
+=+
(1)
DẠY ƠN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 5 Nguyễn Cơng Mậu
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
Ví duï 2: Giaûi phöông trình :
3 1
8sinx
cosx sinx
= +
(2)
Ví duï 3: Giaûi phöông trình :
0sincos2cos2sin
=−−−
xxxx
(3)

3
6cos
2
1
4cos26sin36cos
=+⇔=+⇔

xx 4cos
3
6cos
=






−⇔
π
.
Ví dụ 2: + ĐK :
( )
Zm
m
xx
x
x
∈≠⇔≠⇔



01coscos2)sincossin2(
2
=−+−−⇔
xxxxx
0)1cos)(sin1cos2(
0)1)(cos1cos2()1cos2(sin
=−−−⇔
=+−−−⇔
xxx
xxxx
1)
4
sin(2
2
1
cos
=−∨=⇔
π
xx
Ví dụ 4: (4)
( )
( )
09cos2cos3cossin6sin9
2
=−++−⇔
xxxxx

0)3)(cos3cos2()cos23(sin3
=+−+−⇔
xxxx




+=+⇔
ααα
π
α
x
Ví dụ 5: (5)
0)sin1()1(coscos20sin1cos2cos2
223
=−−+⇔=+−+⇔
xxxxxx

0)sin1()1)(cossin1)(sin1(2
=−−++−⇔
xxxx

[ ]
0)12sincos2sin2)(sin1(
01)cos1)(sin1(2)sin1(
=+++−⇔
=−++−⇔
xxxx
xxx

[ ]
0)cos(sin)cos(sin2)sin1(
2
=+++−⇔