Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh nghệ an môn toán lớp 10
(từ 1992-1993 đến 2005-2006)
Đề số 1 (Năm học 1992-1993)
Bài 1: Cho a, b, c, d nguyên, thoả mãn hệ thức:



=+
+=+
cd1ab
dcba
Chứng minh rằng: c = d.
Bài 2: Chứng minh:
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2
2
1x2dcxxbaxx
++++++
Với mọi a, b, c, d thoả mãn điều kiện
1dcba
2222
=+++
.
Bài 3: Cho
1021
a,..a,a
là các số thực dơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

b) Tìm các giá trị của k để phơng trình có nghiệm duy nhất.
Bài 2: Xác định các số thực a, b thoả mãn các điều kiện sau:
i) Hai phơng trình
01axx
2
=++
và
02bxx
2
=++
có một nghiệm chung.
ii) Tổng
ba
+
nhỏ nhất.
Bài 3: Tìm nghiệm hữu tỷ của phơng trình:
05x2x3y
22
=+
Bài 4: Cho tam giác ABC: A(-1; 2), B(2; 1), C(-3;-3).
a) Xác định toạ độ điểm M thỏa mãn:
0MC4MB3MA2
=+
.
b) Tìm tập hợp điểm N sao cho:
222
NC2NBNA
=+
.
Đề số 3 (Năm học 1994 1995)

1x68x1x2x)x(f
++=
a) Tìm tập xác định D của hàm số.
b) Tìm các giá trị xD sao cho f(x) là hằng số.
Bài 3: a) cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c. Tìm phơng tích của trọng tâm G của tam
giác đối với đờng tròn ngoại tiếp tam giác ấy.
b) Giả sử đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lợt
tại M, N, P thoả mãn
0CMBPAN
=++
. Chứng minh tam giác ABC đều.
Đề số 4 (Năm học 1995-1996)
Bài 1: Giải hệ phơng trình sau với các ẩn số x, y, z:





=++
=++
=++
8zyx
6zyx
2zyx
333
222
Bài 2: a) Cho
1cbaRc,b,a
=++
+

=+
.
b) Cho 2 điểm E và F di động trong mặt phẳng thoả mãn điều kiện:
EC2EBEA
3
1
EF
+=
.
Tìm bao hình của đờng thẳng EF.
Bài 4: Cho đờng tròn tâm O bán kính R và một điểm K cố định nằm trong đờng tròn với
OK = k 0. Qua điểm K dựng dây cung AB nào đó. Hãy xác định vị trí dây cung AB trong
mỗi trờng hợp sau:
a) Tổng
22
KBKA
+
đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó.
b) Tổng
22
KBKA
+
đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó.
Đề số 5 (Năm học 1996-1997)
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh nghệ an môn toán lớp 10
(từ 1992-1993 đến 2005-2006)
Bài 1: Giải hệ phơng trình:




1
n
n
n
n
><++ Z
.
Bài 3: Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC có thể tính theo công thức:
( )( ) ( )( )
BABCBCBA
yyxxyyxx
2
1
S
=
.
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn (O;R). M là điểm chuyển động trên O.
Tìm vị trí của điểm M để biểu thức:
222
MC3MB2MAT
+=
đạt giá trị bé nhất, đạt
giá trị lớn nhất. Tính các giá trị đó.
Đề số 6 (Năm học 1997 1998)
Bài 1: a) Cho
{ } { }
43x/RxB;32x/RxA
=<+=
.
Tìm

x
2
1
2
2
2
2
2
1
+
c).Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
53
)x2(x)x(f
=
trên [0; 2].
Bài 3: a) Cho ABC. Chứng minh:
Asin
Ccos
Csin
Bcos
Bsin
Acos
CgcotBgcotAgcot
3
3
3
3
3
3
333

thoả mãn điều kiện:
2)1(f
=
và
1n)n(fn)n(f...)2(f)1(f
2
>=+++
.
Hãy tìm công thức đơn giản của
)n(f
?
Bài 3: Giải phơng trình:
20xx1x59x14x5
22
++=++
.
Bài 4: a) Cho n véc tơ
n21
a,...,a,a
đôi một không cộng tuyến. Trong đó tổng (n-1) véc tơ
bất trong n véc tơ cộng tuyến với véc tơ còn lại.
Chứng minh rằng:
0a...aaa
n21
=+++=
.
(Hai véc tơ cộng tuyến là 2 véc tơ nằm trên hai đờng thẳng song song hoặc trùng
nhau).
b) Cho ABC, AM và BN là hai trung tuyến. Chứng minh rằng:
2 1 1

AOBAOCBOC
=++
b) Cho ABC (BC=a, CA=b, AB=c).
Chứng minh rằng: Nếu a+b <3c thì:
1
tan .tan
2 2 2
A B
<
.
Đề số 9 (Năm học 1999-2000)
Bài 1: Cho
)3,2,1i(,b,a
ii
=
R
.
a) Chứng minh rằng:
( )( )
( )
2
332211
2
3
2
2
2
1
2
3



=
+
=
+
=
+
3
zy
yz
2
zx
xz
1
yx
xy
b) Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thoả mãn phơng trình:
0z9y3x
333
=
Bài 3: a) Cho
0b,0a

.Chứng minh rằng:
( )
b,acos.b.ab.a
=
b) Chứng minh rằng trong tam giác ABC có các trung tuyến ứng với các cạnh AB và
BC vuông góc thì

c) Cho hệ phơng trình:









=++
=++
=++
=++

1n
2
n
n1n
2
1n
32
2
2
21
2
1
xcbxax
xcbxax
............................