BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Nguyễn Văn Long

PHÂN TÍCH TĨNH, ỔN ĐỊNH VÀ DAO ĐỘNG RIÊNG
CỦA TẤM CHỮ NHẬT FGM SỬ DỤNG LÝ THUYẾT
BIẾN DẠNG CẮT TÁM ẨN
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62520101

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ

Hà Nội - Năm 2018


Công trình được hoàn thành tại T ƣờng Đ i học X y dựng

Người hướng dẫn khoa học 1: PGS. TS T ần Minh Tú - Trường Đại học
Người hướng dẫn khoa học 2: PGS. TS T ần Hữu Quốc - Trường Đại học

d ng
d ng

Phản biện 1: ....................................................................................................
.....................................................................................................
Phản biện 2: ....................................................................................................
.....................................................................................................
Phản biện 3: ....................................................................................................
.....................................................................................................


theories. 3rd International Conference of Engineering Mechanics and Automation
(ICEMA3), University of Engineering and Technology - Vietnam National University
(15/08/2014).
4. Thinh, T. I., Tu, T. M., Quoc, T. H., & Long, N. V. (2016). Vibration and Buckling
Analysis of Functionally Graded Plates Using New Eight-Unknown Higher Order Shear
Deformation Theory. Latin American Journal of Solids and Structures, 13(3), 456-477,
DOI: />5. Van Long, N., Quoc, T. H., & Tu, T. M. (2016). Bending and free vibration analysis of
functionally graded plates using new eight-unknown shear deformation theory by finiteelement method. International Journal of Advanced Structural Engineering, 8(4), 391399, DOI: doi 10.1007/s40091-016-0140-y.
6. Ngu en Van Long, Tran Minh Tu, Tran Huu Quoc (2016). Ph n tích dao động riêng tấm
FGM theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất có xét ảnh hưởng của nhiệt độ. Hội nghị
Khoa học toàn quốc-Vật liệu và kết cấu composite: Cơ học, công nghệ và ứng dụng,
Đại học Nha Trang, TP. Nha Trang (28-29/7/2016).
7. Nguyen Van Long, Tran Minh Tu, Tran Huu Quoc (2016). Vibration analysis of
functionally graded plates using the eight-unknown higher order shear deformation
theory in thermal environments. Hội nghị Khoa học toàn quốc-Vật liệu và kết cấu
composite: Cơ học, công nghệ và ứng dụng, Đại học Nha Trang, TP. Nha Trang (2829/7/2016).
8. Tran Minh Tu, Nguyen Van Long, Tran Huu Quoc (2016). Thermoelastic bending
analysis of functionally graded sandwich plates using the eight-unknown higher order
shear deformation theory. The 4th International Conference on Engineering Mechanics
and Automation (ICEMA 4), University of Engineering and Technology - Vietnam
National University (25-26/08/2016).
9. Tran Minh Tu, Tran Huu Quoc and Nguyen Van Long (2017). Bending analysis of
functionally graded plates using new eight-unknown higher order shear deformation
theory. Structural Engineering and Mechanics, 62 (3), 311-324, DOI:
/>

1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material - FGM) là loại vật liệu composite tiên

 Đề xuất cải tiến lý thuyết biến dạng cắt bậc ba 12 ẩn chuyển vị thành lý thuyết bậc ba với tám ẩn số
chuyển vị cho kết cấu tấm, thỏa mãn điều kiện biên của ứng suất cắt ngang tại mặt trên và dưới của tấm
bằng 0; thể hiện được s biến đổi của biến dạng dài theo phương chiều dày, phù hợp với tấm dày. Thiết
lập các hệ thức và các phương trình chủ đạo cho bài toán phân tích tuyến tính tĩnh, ổn định và dao động
riêng của tấm chữ nhật FGM trên cơ sở lý thuyết đề xuất.
 Thiết lập lời giải giải tích cho tấm bốn biên t a khớp sử dụng dạng nghiệm Navier; xây d ng mô hình
phần tử hữu hạn để phân tích tuyến tính tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm FGM với lý thuyết đề
xuất.
 Viết chương trình tính bằng Matlab để kiểm chứng độ tin cậy của thuật toán và mô hình tính đề xuất;
khảo sát số đánh giá ảnh hưởng của các tham số vật liệu, kích thước hình học đến độ võng, các thành
phần ứng suất, tải trọng tới hạn và tần số dao động riêng của tấm chữ nhật FGM với các điều kiện biên
khác nhau.
6. Bố cục của luận án
Luận án gồm: Mở đầu, Bốn chương chính, Kết luận và kiến nghị, Tài liệu tham khảo và Phụ lục.
CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Chương nà giới thiệu tóm tắt về vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) - các tính chất cơ học của vật
liệu; kết cấu bằng vật liệu FGM và ứng dụng; tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về phân
tích tĩnh và động các kết cấu tấm FGM. Trên cơ sở phân tích các mô hình tính có thể thấy rằng, lý thu ết tấm
cổ điển trên cơ sở giả thiết Kirchhoff, bỏ qua biến dạng cắt ngang nên chỉ phù hợp với tấm mỏng. Lý thu ết


2
biến dạng cắt bậc nhất đã kể đến biến dạng cắt ngang nhưng không phản ánh qu luật ph n bố ứng suất cắt
ngang dạng parabol th c tế của tấm chịu uốn. Hệ số hiệu chỉnh cắt vì thế được đưa vào, tu nhiên việc xác
định chính xác hệ số nà là phức tạp. Các lý thu ết biến dạng cắt bậc cao đã khắc phục được nhược điểm của
lý thu ết tấm bậc nhất do không cần hệ số hiệu chỉnh cắt. Tu nhiên các lý thu ết bậc cao không thỏa mãn
điều kiện ứng suất tiếp theo phương chiều dà bằng không tại mặt trên và dưới khi tính toán. Kể đến điều
này Redd đã cải tiến lý thu ết biến dạng cắt bậc ba đơn giản 9 ẩn số chu ển vị về lý thu ết biến dạng cắt
bậc ba 5 ẩn số chu ển vị thỏa mãn điều kiện biên của ứng suất cắt ngang tại bề mặt trên và dưới của tấm.

Trường chu ển vị của lý thu ết biến dạng cắt bậc ba đầ đủ 12 ẩn chu ển vị [5]:
u ( x, y, z, t )  u0 ( x, y, t )  z x ( x, y, t )  z 2u0* ( x, y, t )  z 3 x* ( x, y, t );
v( x, y, z, t )  v0 ( x, y, t )  z y ( x, y, t )  z 2v0* ( x, y, t )  z 3 y* ( x, y, t );

(2.1)

w( x, y, z, t )  w0 ( x, y, t )  z z ( x, y, t )  z w ( x, y, t )  z  ( x, y, t )
Từ trường chu ển vị của lý thu ết biến dạng cắt bậc ba 12 ẩn, kết hợp với điều kiện các ứng suất cắt
h
h


ngang:  xz  z      zz  z     0 , ta nhận được trường chu ển vị mới với 8 ẩn chu ển vị:
2
2


2

*
0

3

*
z


3
u  u0  z x 

    L  +  NL 
Các thành phần biến dạng tu ến tính:
  xL   x0 L 
 1x L 
 x2 L 
 x3 L 
 L   0L 
 1L 
 2L 
 3L 
  y   y 
 y 
 y 
 y 
  z   z(0) 
 z(1)  2  z(2)  3  0 
 L    L    0 L   z  1L   z  2 L   z  3 L 
 xy   xy 
 xy 
 xy 
 xy 
(0)
(1)
(2)
 xz   xz 
 xz 
 xz 
 xz(3) 
   0 
 (1) 



0


(2.2)

trong đó: c1 

2.2.3. Trường ứng suất
 x   Q11 Q12
  
 y  Q21 Q22
  Q
Q
    z    31 32
0
 xy   0
 xz   0
0
  
0
 yz   0

Q13
Q23
Q33
0
0
0


(2.4)

2.2.4. Các thành phần nội lực
Với lý thu ết tấm biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị, ta định nghĩa các thành phần nội l c của
tấm như sau:
 N x M x N x* M x* 
 x 

 
*
* 
 Ny M y Ny M y 
 y
 N x* M x* N x**  h / 2  x 
 N z M z N z* M z*  h / 2  z 


  4 5 6



     1 z z 2 z 3  dz;  N *y M *y N **
(2.5.1)
y     y   z z z  dz
*
*
N
M


c2 *
c
c
M x , Pxy  M xy  2 M xy* , Py  M y  2 M y*
3
3
3
2.2.5. Các phương trình chuyển động
a. Nguyên lý năng lượng toàn phần cực tiểu
Nguyên lý năng lượng toàn phần c c tiểu được sử dụng để thiết lập các phương trình chu ển động
của tấm FGM [10], với dạng toán học như sau:
(2.6)
U  W  W *  0
*
trong đó:  U ,  W ,  W lần lượt là biến ph n của thế năng biến dạng đàn hồi, công ngoại l c và
công của l c quán tính.
Khai triển các biểu thức năng lượng, nhóm các thành phần biến ph n của chu ển vị
 u0 ,  v0 ,  w0 ,  x ,  y ,  z ,  w0* ,  z* , ta nhận được hệ phương trình Euler-Lagrange:
Px  M x 

N x N xy
I  
 *  I  w w* 

 I 0u0  J1 x  2  z  c1 z   3  c2 0  0  ;
x
y
2  x
x  3  x
x 


 N NL
 qz  I 0 w0  I1 z  I 2 w0*  I 3 z*

2
2 

3  x
xy
y  x
y
 y  c2 I 5 2
c I  u
v  c J  
I
c2 I
cI
 2 3  0  0  2 4  x 
  z  5  2 z*  2 6  2 w0  2 6  2 w0* ;

3  x
y 
3  x
y 
6
6
9
9
Px Pxy
J 3  z c1 J 3  z* c2 J 4 w0 J 4 w0*

3 y

 2 N xy*  2 N y* 
v 
I  u
1   2 N x*
h
(2)

2

 N z  N NL
 qz  I1w0  I 2 z  2  0  0 

2
2 

2  x
xy
y 
2
2  x
y 
 y 
J  
I 2 *
I 2
cI 2 * c I 2
*
 I3 w  3  x 


2
M

N

qz  I 2 w0  I 3 z  3  0  0 


z
NL
2
2 
3  x
xy
y 
4
3  x
y 
 y 
I 2
cI 2 * c I 2
I 2 *
J  
*
I4w  4  x 
  I 5 z  5   z  1 5   z  2 6  w0  6  w0 ;


3  x



N

qz

z
NL

x

y
8


c1 I 2  u0 v0  c1 J 3   x  y 
cI 2
(2.7.8)



  I 3 w0  I 4 z  1 4   z


2  x
y 
2  x
y 
4
I

thiên
2.3.1. Đặt vấn đề
Trong phần này, luận án sẽ tập trung ph n tích tu ến tính ba bài toán cơ bản bao gồm: bài toán tĩnh,
ổn định và dao động riêng của tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM bốn biên t a khớp bằng tiếp cận giải tích sử
dụng lời giải Navier. Các thành phần biến dạng phi tu ến hình học von Kármán trong quan hệ biến dạngchu ển vị như đã thành lập trong phần 2.2 được bỏ qua.
2.3.2. Các hệ thức cơ bản
a. Trường biến dạng
Trong các ph n tích tu ến tính, trường biến dạng của lý thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị trở
thành:
(2.8.1)
    L 
Các thành phần biến dạng tu ến tính có dạng như (2.3.2) và có thể viết dưới dạng:
    (0) + z  (1)  z 2  (2)  z3  (3)
(2.8.2)

   

 

 

Để thuận tiện, ta biểu diễn trường biến dạng theo hai thành phần:
- Biến dạng màng-uốn:
 mu    mu(0) + z  mu(1)  z 2  mu(2)  z3  mu(3)

   

 

 

 mu   Qmu  mu(0)  + z Qmu  mu(1)   z 2 Qmu  mu(2)   z3 Qmu  mu(3) 

(2.11.1)

- Ứng suất cắt ngang:

 c   Qc  c(0)  + z Qc  c(1)   z 2 Qc  c(2)   z3 Qc  c(3) 

(2.11.2)

c. Quan hệ nội lực-biến dạng
Từ biểu thức định nghĩa các thành phần nội l c theo (2.5), biểu diễn ứng suất qua biến dạng theo
(2.10), ta nhận được quan hệ giữa các thành phần nội l c và biến dạng:
(0)

 N   Au Bu Cu Du   mu
 M   B C D E   (1) 
 
  Dtmu εmu 0 
M mu    *    u u u u   mu
(2.12.1)
(2) 
 N  Cu Du Eu Fu  mu 
(3) 
 M *   Du Eu Fu Gu   mu
 
 Q   Ac Bc Cc Dc  γc(0) 
 S   B C D E   (1) 
γ
Qc    *    c c c c   c(2)    Dtc γc 0 

y
y
y
Tại y = 0 và y = b:
w
N y  0; u0  0; w0  0; M y*  0; 0  0; Py  0; x  0;
x
(2.13.2)

w*

 *
 z  0; N y*  0; z  0; w0*  0; 0  0; z*  0; z  0
x
x
x
Hệ phương trình c n bằng theo chu ển vị cho bài toán uốn được su ra từ hệ phương trình chu ển
(1)
(2)
(3)
(4)
động nhận được từ (2.7) khi bỏ qua các toán tử phi tu ến  NL
và các thành phần gia tốc.
,  NL
,  NL
,  NL
Chọn dạng nghiệm Navier để thoả mãn các điều kiện biên trong (2.13):

 z  0; N x*  0;




 y  x, y    ymn sin  x cos  y;  z  x, y    zmn sin  x sin  y;
m 1 n 1




(2.14)

m 1 n 1




*
w0*  x, y    w0*mn sin  x sin  y;  z*  x, y    zmn
sin  x sin  y
m 1 n 1

m 1 n 1

m
n
*
là các hệ số cần tìm; m, n là số
, 
; u0mn , v0 mn , w0 mn , xmn ,  ymn ,  zmn , w0*mn ,  zmn
a
b






suất, nội l c của bài toán ph n tích tĩnh.
b. Phân tích ổn định
ét tấm chữ nhật FGM liên kết khớp trên chu vi dưới tác dụng của tải trọng nén trong mặt trung
bình, ph n bố đều trên các cạnh theo hai phương x, y (xem Hình 2.4):
Trên các cạnh x = 0, a: N x0   1 N0 ; N xy0  0;
Trên các cạnh y = 0, b: N y0   2 N0 ; N yx0  0.

Hình 2.4. Mô hình tấm chữ nhật chịu nén đều theo hai phương x, y
Các điều kiện biên của bài toán ổn định bao gồm:
Tại x = 0 và x = a:
w
N x  Nˆ x ; v0  0; w0  0; M x*  Mˆ x* ; 0  0; Px  Pˆx ; y  0;
y

(2.17.1)
w0*
 z*
*  z
*
*
ˆ
 z  0; N  N x ;
 0; w0  0;
 0; z  0;
0

(2)
(3)
(4)
thời tha thế các toán tử phi tu ến  NL
bằng các thành phần tương ứng ở trạng thái màng
,  NL
,  NL
,  NL
(1)
(2)
(3)
(4)
 LL
,  LL
,  LL
,  LL
như chỉ ra trong luận án.

Các điều kiện biên của bài toán ổn định tu ến tính tương t như ph n tích tĩnh đã chỉ ra trong (2.13).
Chọn dạng nghiệm Navier để thoả mãn các điều kiện biên trong (2.13):
u0  x, y   u0 mn cos  x sin  y; v0  x, y   v0 mn sin  x cos  y;
w0  x, y   w0 mn sin  x sin  y;  x  x, y    xmn cos  x sin  y;

 y  x, y    ymn sin  x cos  y;  z  x, y    zmn sin  x sin  y;

(2.18)

*
w0*  x, y   w0*mn sin  x sin  y;  z*  x, y    zmn
sin  x sin  y

  N0  K mn
  0
det  Kmn

(2.19.2)

Tải trọng tới hạn được xác định bởi: Nth  min N mn .
c. Phân tích dao động riêng
ét tấm chữ nhật FGM liên kết khớp trên chu vi; bỏ qua toàn bộ các ếu tố tải trọng.
Các điều kiện biên của bài toán dao động riêng t như ph n tích tĩnh đã chỉ ra trong (2.13) sau khi bổ
sung biến thời gian t.
Trong ph n tích dao động riêng, hệ phương trình chu ển động theo chu ển vị nhận được từ (2.7) sau
(1)
(2)
(3)
(4)
khi bỏ qua tất cả các thành phần tải trọng và các toán tử phi tu ến  NL
,  NL
,  NL
,  NL
.
Chọn dạng nghiệm Navier để thoả mãn các điều kiện biên trong (2.13):
u0  x, y, t   u0 mn eimnt cos  x sin  y; v0  x, y, t   v0 mn eimnt sin  x cos  y;
w0  x, y, t   w0 mn eimnt sin  x sin  y;  x  x, y, t    xmn eimnt cos  x sin  y;

 y  x, y, t    ymn ei t sin  x cos  y;  z  x, y, t    zmn ei t sin  x sin  y;
mn

mn






kc
2
  mn
det  Kmn
 M mn   0

(2.21.2)

Tần số dao động riêng cơ bản được xác định bởi: cb  min mn .
2.3.4. ơ đ khối c a chương trình tính bằng phương pháp giải tích
Từ các biểu thức quan hệ và hệ phương trình chu ển động đã được thiết lập ở trên, chương trình tính
viết trên nền Matlab được viết nhằm kiểm chứng các bài toán tu ến tính cho tấm chữ nhật P-FGM điều kiện
biên khớp trên chu vi. Sơ đồ thuật toán để giải các bài toán sử dụng dạng nghiệm Navier được trình bà
trong Luận án.
2.4. Ví dụ kiểm chứng nghiệm giải tích
Để kiểm chứng mô hình tấm theo lý thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị đề xuất (HSDT8), tác giả đã viết code chương trình tính d a trên lời giải Navier cho tấm chữ nhật P-FGM bốn biên t a
khớp. Các bài toán kiển chứng được th c hiện trong luận án bao gồm:
2.4.1. Kiểm chứng bài toán uốn
Bài toán 1: Kiểm chứng độ võng, ứng suất pháp cho tấm đẳng hướng.
ét tấm vuông dà đẳng hướng (p = 0, ν = 0.3, h = 0.1m, a = b = 5h) dưới tác dụng của tải trọng
ph n bố đều q0  104 N/m2.
Bảng 2.1 trình bà một số kết quả kiểm chứng bài toán uốn cho tấm vuông đẳng hướng bao gồm độ
võng không thứ ngu ên w và ứng suất pháp không thứ ngu ên  x .
Các kết quả của luận án được so sánh với lời giải d a trên lý thu ết đàn hồi ba chiều (3D) sử dụng
phương pháp DSC và phương pháp HDQ của Civalek [3], lời giải 3D sử dụng phương pháp DQM của Liew
và cộng s [7]. Các kết quả số cho thấ nghiệm giải tích (GT) d a trên lý thu ết HSDT-8 có độ tin cậ và

*
Sai số (%)
-0.0547
0.0392
*
Sai số so với kết quả của Liew và cộng s [7].
Bài toán 2: Kiểm chứng ứng suất cắt ngang cho tấm đẳng hướng. Các kết quả của luận án được so
sánh với Werner [20].
Bài toán 3: Kiểm chứng độ võng, ứng suất cho tấm P-FGM (Al/Al2O3-1). Các kết quả của luận án
được so sánh với Zenkour [21], Thai và Choi [16].
2.4.2. Kiểm chứng bài toán ổn định
Bài toán 1: Kiểm chứng tải trọng tới hạn cho tấm đẳng hướng. Các kết quả của luận án được so sánh
Uymaz và Aydogdu [19], Swaminathan và Naveenkumar [12].
Bài toán 2: Kiểm chứng tải trọng tới hạn cho tấm P-FGM (Al/Al2O3-1). Các kết quả của luận án
được so sánh với Thai và Choi [13].
2.4.3. Kiểm chứng bài toán dao động riêng
Kiểm chứng quả tần số dao động riêng cơ bản không thứ ngu ên ˆ cho tấm P-FGM (Al/ZrO2-2).
Các kết quả của luận án được kiểm chứng với Uymaz và Aydogdu [18].
2.5. Kết luận chƣơng 2
Các kết quả chính mà chương 2 đã th c hiện bao gồm:
1.
d ng trường chu ển vị, các hệ thức và phương trình quan hệ của lý thu ết tấm biến dạng cắt
bậc cao tám ẩn chu ển vị. Đ là một lý thu ết cải tiến thuộc nhóm lý thu ết biến dạng cắt bậc cao t a 3D
đồng thời thỏa mãn điều kiện ứng suất cắt ngang bằng không tại mặt trên và dưới của tấm.
2. Sử dụng ngu ên lý năng lượng toàn phần c c tiểu, các phương trình chủ đạo và điều kiện biên của
tấm FGM theo lý thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị đã được thiết lập, làm cơ sở để giải các bài
toán ph n tích tu ến tính tĩnh, ổn định và dao động riêng.
3. Lời giải giải tích với dạng nghiệm Navier cho tấm chữ nhật FGM điều kiện biên khớp trên chu vi
đã được x d ng (các kết quả chính được thể hiện ở các bài báo số 4 và số 9 trong danh mục các công trình
khoa học đã công bố của tác giả).

Với các ph n tích trên đ , chu ển vị tại nút thứ i của phần tử bao gồm 16 bậc t do:
u0i ,v0i , xi , yi ,w0i ,w0, xi ,w0, yi , zi , z , xi , z , yi ,w0*i ,w0,* xi ,w0,* yi , zi* , z*, xi , z*, yi . Để phù hợp với các chương trình má tính
khi mà số bậc t do trên một nút là khá lớn mà vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết, luận án l a chọn sử dụng
phần tử chữ nhật 4 nút, mỗi nút 16 bậc t do (xem Hình 3.1).

(a) Hệ tọa độ th c
(b) Hệ tọa độ t nhiên
Hình 3.1. Phần tử chữ nhật 4 nút trong hệ tọa độ th c và hệ tọa t nhiên
Véc tơ chu ển vị nút phần tử được biểu diễn bởi:

qe   q1 , q2 , q3 , q4 
T
trong đó: qi   u0i ,v0i , xi , yi ,w0i ,w0, xi ,w0, yi , zi , z , xi , z , yi ,w0*i ,w0,* xi ,w0,* yi , zi* , z*, xi , z*, yi 
T

3.2.2. Các phương trình cơ bản
a. Trường chuyển vị
Véc tơ chu ển vị của một điểm bất kì trên mặt trung bình:
d0 16 x1   B 16 x 64 qe 64 x1
Như vậ , ta có thể viết lại trường chuyển vị ở dạng ma trận như sau:
d3x1   H  d0    H 3 x16  B16 x64 qe 64 x1  d 3 x64 qe 64 x1
b. Trường biến dạng
b1. Các thành phần biến dạng tuyến tính
(0)
(0)
 mu
  Bmu

 (1)   (1) 
   Bmu 

T
 yNL  qe   Bbl 2  hbl  hbl  Bbl 2 qe ;
2
T
T
T
NL
 xy  qe   Bbl 2  hbl  hbl  Bbl 2 qe 
c. Trường ứng suất
- Để khái quát hóa vấn đề, ứng suất toàn phần được định nghĩa [11]:
 tp    0    

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)


11



trong đó:  0    x0  y0


Hay:
T

  U e  We  Te  dt  0

(3.7.2)

0

trong đó: U e là thế năng biến dạng đàn hồi của phần tử; Te là động năng của của phần tử; We là
công ngoại l c đối với phần tử.
Từ đ ta nhận được phương trình Lagrange loại 2 theo chu ển vị [17]:
We
d  Te  U e

0

 
(3.8)
dt   qe    qe   qe 
a. Thế năng biến dạng đàn hồi của phần tử tấm được xác định bởi [11]:
U e  U eL  U eNL
Thế năng biến dạng đàn hồi do thành phần biến dạng tu ến tính:
1
1
1
T
T
T






Bằng phép ghép nối các ma trận thông thường, ta nhận được phương trình phần tử hữu hạn cho toàn
tấm:

 M Q   Kkc   N0  Khh Q  F
trong đó  K kc  ,  K hh  ,  M  , Q và F 

(3.13)

tương ứng là ma trận độ cứng kết cấu, ma trận độ cứng
hình học, ma trận khối lượng, véc tơ chu ển vị nút và véc tơ l c nút tổng thể.
Phương trình tổng quát (3.13) có thể sử dụng để giải chuỗi bài toán uốn, ph n tích dao động riêng,
ph n tích ổn định. Các phương trình đó có thể giải sau khi áp đặt điều kiện biên của hệ kết cấu.
3.2.5. Tích phân số
Trình bà cách th c hiện tích ph n số nhằm tính toán ma trận độ cứng kết cấu, ma trận độ cứng hình
học, ma trận khối lượng và véc tơ l c nút phần tử.
3.2.6. Điều kiện biên
Một số dạng điều kiện biên cho các cạnh của tấm chữ nhật FGM bao gồm:


12
- Biên ngàm (C): Tại x = 0; a và y = 0; b:
u0i  v0i   xi   yi  w0i  w0, xi  w0, yi   zi   z , xi
  z , yi  w0*i  w0,* xi  w0,* yi   zi*   z*, xi   z*, yi  0

- Biên khớp (S):

3.3.2. Kiểm chứng bài toán ổn định
Bài toán 1: Kiểm chứng tải trọng tới hạn cho tấm đẳng hướng điều kiện biên SSSS. Các kết quả tính
toán của luận án được so sánh với Uymaz và Aydogdu [19].
Bài toán 2: Kiểm chứng tải trọng tới hạn cho tấm P-FGM (Al/SiC). Các kết quả của luận án được so
sánh với Thai và Choi [13], Mohammadi và cộng s [8], Bodaghi và Saidi [2].
3.3.3. Kiểm chứng bài toán dao động riêng
Kiểm chứng tần số dao động riêng cơ bản không thứ ngu ên ˆ cho tấm P-FGM (Al/ZrO2-2) cho ba
trường hợp điều kiện biên: SSSS, SCSC, CCCC. Các kết quả của luận án được kiểm chứng với U maz và
Aydogdu [18].
3.4. Kết luận chƣơng 3
Các kết quả chính mà chương 3 đã th c hiện bao gồm:
1. Xây d ng mô hình phần tử hữu hạn sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị cho
tấm chữ nhật FGM, trên cơ sở đó thiết lập phương trình phần tử hữu hạn để giải các bài toán tuyến tính cho
phân tích ứng xử cơ học của tấm.
2. Viết chương trình tính toán số trên nền Matlab: Lời giải phần tử hữu hạn cho tấm chữ nhật FGM
với các dạng điều kiện biên đã được xây d ng (các kết quả chính được thể hiện ở bài báo số 5 trong danh
mục các công trình khoa học đã công bố của tác giả).
3. Đã th c hiện các ví dụ kiểm chứng cho ba bài toán phân tích tuyến tính: uốn, ổn định và dao động
riêng của tấm chữ nhật FGM.
Có thể thấy rằng việc xây dựng lời giải phần tử hữu hạn sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám
ẩn chuyển vị cho kết quả tốt và phù hợp với các kết quả 3D, các mô hình ESL cũng như với lời giải giải tích
trong trường hợp điều kiện biên khớp 4 cạnh (SSSS).
CHƢƠNG 4


13
KH O SÁT SỐ
4.1. Mở đầu
Trong chương nà , luận án sử dụng bộ chương trình t viết để khảo sát ảnh hưởng của các tham số
vật liệu (chỉ số tỷ lệ thể tích), tham số kích thước hình học, điều kiện biên đến độ võng, các thành phần ứng

q0

E a b 
1
h
1
h
1


w  c w  , ,0  , x   x  a0 , b0 ,  , xy   xy  a1 , b1 ,  , xz   xz  a1 , b0 ,0  .
q0 a  2 2 
q0 
2
q0 
2
q0
a
b
a
b
a0   25  0  , b0   25  0  ; a1  1  0  , b1  1  0  ;
48
48
48
48
trong đó: 0  0  0.3399810436 là tọa độ của điểm Gauss trong hệ tọa độ t nhiên.

(4.1)



 xz

 yz

Hình 4.1. Biến thiên độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên theo chiều dày của tấm chữ nhật
FGM
4.2.2. Khảo sát ảnh hưởng c a chỉ số tỷ lệ thể tích p
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM t a khớp trên chu vi với a = 1m, h/a = 0.2, b/a = 2.
Độ võng không thứ nguyên w và các thành phần ứng suất không thứ nguyên  x , xy , xz của tấm chữ
nhật FGM với các giá trị khác nhau của chỉ số tỷ lệ thể tích p tính toán bằng nghiệm giải tích và nghiệm
PTHH được thể hiện trên Bảng 4.1. Các kết quả số cho thấy lời giải phần tử hữu hạn cho kết quả sát với lời
giải giải tích (sai số lớn nhất là 1.7436%).
Bảng 4.1. Độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên của tấm chữ nhật FGM với các giá trị p
khác nhau
Phương pháp
p
0
1
2
5
10
GT
w
15.3946
30.5606
39.5501
48.5904
54.1601
PTHH

GT
 xy
4.4726
3.8815
3.4631
3.6729
3.7531
PTHH
4.4542
3.8726
3.4538
3.6613
3.7417
Sai số (%)
-0.4118
-0.2305
-0.2679
-0.3182
-0.3049
GT
 xz
3.3409
3.3248
3.0383
2.6771
2.9388
PTHH
3.3377
3.3140
3.0266

 xy

 xz

Hình 4.2. Biến thiên độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên của tấm chữ nhật FGM theo chỉ
số tỷ lệ thể tích p
4.2.3. Khảo sát ảnh hưởng c a tỷ số kích thước tấm h/a
Xét tấm vuông bằng vật liệu P-FGM t a khớp trên chu vi với p = 3, a = b = 1m.
Biến thiên của độ võng không thứ nguyên w và các thành phần ứng suất màng không thứ nguyên
 x , y , xy theo tỷ số h/a thể hiện qua đồ thị trên Hình 4.3. Quan sát các đồ thị này ta thấy: khi h/a tăng có
nghĩa là tấm càng dày, độ võng w và các thành phần ứng suất màng uốn  x , y , xy giảm khá nhiều và giảm
nhanh trong khoảng h/a = 0.05 ÷ 0.1, sau đó tốc độ giảm chậm dần khi tấm đã đạt độ dày nhất định.

w

x

 xy

 xz

Hình 4.3. Biến thiên độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên của tấm vuông FGM
theo tỷ số h/a


16
Biến thiên của các thành phần ứng suất cắt ngang không thứ nguyên  xz theo tỷ số h/a được thể hiện
qua đồ thị trên Hình 4.3. Quan sát đồ thị này ta thấy: khi h/a tăng (tấm càng dày), các thành phần ứng suất
cắt ngang giảm, tu nhiên lượng tha đổi không nhiều.
4.2.4. Khảo sát ảnh hưởng c a tỷ số kích thước cạnh b/a

17
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM, các tham số hình học và vật liệu được giữ ngu ên như các
bài toán đã trình bà ở phần 4.2.2-4.2.4. Bốn dạng điều kiện biên: CCCC, SCSC, SSSS, SFSC sẽ được khảo
sát.
Biến thiên độ võng không thứ nguyên w và các thành phần ứng suất không thứ nguyên  x , xy , xz với 4
dạng điều kiện biên khác nhau: CCCC, SCSC, SSSS, SFSC sử dụng lời giải phần tử hữu hạn, được tính toán
và thể hiện bằng các đồ thị trên Hình 4.5a-4.5c. Quan sát các đồ thị này ta thấy ảnh hưởng của điều kiện biên
đến các đại lượng nghiên cứu là rõ rệt, phản ánh đúng tư du kỹ thuật.

w

x

 xy

 xz

Hình 4.5b. Biến thiên độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên của tấm vuông FGM với các
điều kiện biên và tỷ số h/a khác nhau

w

 xy

x

 xz

Hình 4.5c. Biến thiên độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên của tấm chữ nhật FGM với các
điều kiện biên và tỷ số b/a khác nhau





[15]:
(4.2)

4.3.1. Khảo sát ảnh hưởng c a chỉ số tỷ lệ thể tích p
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM t a khớp trên chu vi với a = 1m, b/a = 2, h/a = 0.1. Tấm chịu
tác dụng của tải trọng nén đều trên các cạnh trong hai trường hợp: theo phương y (γ1 = 0, γ2 = 1); theo hai
phương x, y (γ1 = 1, γ2 = 1).
p  0,  1  0,  2  1

p  0,  1  1,  2  1

p  5,  1  0,  2  1

p  5,  1  1,  2  1

Hình 4.6a. Dạng mất ổn định của tấm chữ nhật FGM với các giá trị p khác nhau

 1  0,  2  1

N th

 1  1,  2  1

N th

Hình 4.6b. Biến thiên tải trọng tới hạn không thứ nguyên N th của chữ nhật FGM theo chỉ số tỷ lệ thể tích p

 Mode vồng cho cả hai trường hợp đặt tải trọng nén không đổi, điều này chứng tỏ dạng mất ổn
định không phụ thuộc vào tấm dày hay mỏng;
 Với cả hai trường hợp tải trọng nén, tải trọng tới hạn N th tăng, h/a càng lớn, tấm càng dà thì tải
trọng tới hạn N th tăng càng nhanh.
h/a  0.05,  1  0,  2  1

h/a  0.2,  1  0,  2  1

h/a  0.05,  1  1,  2  1

h/a  0.2,  1  1,  2  1

Hình 4.7b. Dạng mất ổn định của tấm vuông FGM với các tỷ số h/a khác nhau
4.3.3. Khảo sát ảnh hưởng c a tỷ số kích thước cạnh b/a
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM t a khớp trên chu vi với p = 3, a = 1m, h/a = 0.1. Tấm chịu
tác dụng của tải trọng nén đều trên các cạnh của tấm theo 1 phương và hai phương: theo phương y (γ1 = 0, γ2
= 1); theo hai phương x, y (γ1 = 1, γ2 = 1).


20

b/a  0.5,  1  0,  2  1

b/a  0.5,  1  1,  2  1

b/a  3,  1  0,  2  1

b/a  3,  1  1,  2  1

Hình 4.8a. Dạng mất ổn định của tấm chữ nhật FGM với các tỷ số b/a khác nhau


21
1) Tải trọng tới hạn N th giảm phi tu ến theo chỉ số tỷ lệ thể tích p và tăng phi tu ến theo tỉ số a/h với
các điều kiện biên và các dạng tải trọng nén khác nhau; điều kiện biên SCSC có tải trọng tới hạn N th lớn nhất, sau
đó đến điều kiện biên SSSC, tiếp đến là điều kiện biên SSSS, cuối cùng điều kiện biên SFSC;
2) Đối với tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM, khi b/a tăng: điều kiện biên SCSC có tải trọng tới hạn
N th lớn nhất, sau đó đến điều kiện biên SSSC, tiếp đến là điều kiện biên SSSS, cuối cùng điều kiện biên SFSC;
ngoài ra có s khác nhau giữa hai dạng tải trọng nén:
 Với trường hợp tấm chịu tác dụng của tải trọng nén đều trên các cạnh theo phương y: tải trọng
tới hạn N th của tấm tha đổi phức tạp với cả 4 dạng điều kiện biên, xuất hiện các mode vồng khác
nhau;
 Với trường hợp tấm chịu tác dụng của tải trọng nén đều trên các cạnh theo 2 phương x, y: tải
trọng tới hạn N th của tấm biến đổi phức tạp với trường hợp điều kiện biên SCSC, xuất hiện nhiều
dạng mode vồng khác nhau; tải trọng tới hạn N th giảm với 3 trường hợp điều kiện biên SSSC, SSSS
và SFSC;

 1  0,  2  1

N th

 1  1,  2  1

N th

Hình 4.9a. Biến thiên l c nén tới hạn không thứ nguyên N th của tấm chữ nhật FGM với các điều kiện biên
và chỉ số tỷ lệ thể tích p khác nhau

 1  0,  2  1

 1  1,  2  1

N th tăng với cả 2 trường hợp tải trọng nén và tất cả các dạng điều kiện biên;
Khi b/a tăng (tăng kích thước theo phương y của tấm chữ nhật), dạng mất ổn định có s tha đổi,
tải trọng tới hạn không thứ nguyên N th biến thiên với quy luật phức tạp với cả 2 trường hợp tải
trọng nén và phụ thuộc tr c tiếp vào điều kiện biên;
Điều kiện biên có ảnh hưởng tr c tiếp đến dạng mất ổn định; về giá trị của tải trọng N th , điều

kiện biên SCSC có kết quả tải trọng N th lớn nhất, tiếp theo đến các điều kiện biên SSSC, SSSS và
SFSC.
4.4. Ph n tích dao động iêng
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM với các vật liệu thành phần Al/Al2O3-1. Các dạng điều kiện
biên được tính toán khảo sát bao gồm: điều kiện biên SSSS sử dụng lời giải giải tích và 4 dạng điều kiện biên
khác nhau: SCSC, SSSC, SSSS, SFSC sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn.
Để thuận tiện, các kết quả khảo sát tần số dao động riêng cơ bản được thể hiện dưới dạng không thứ
ngu ên dưới đ [15]:

  cb a

c
Ec

.

(4.3)

4.4.1. Khảo sát ảnh hưởng chỉ số tỷ lệ thể tích p cho một số điều kiện biên
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM với a = 1m, h/a = 0.1, b/a = 2.



Hình 4.10a. Biến thiên tần số dao động riêng cơ bản không thứ nguyên  của tấm chữ nhật FGM