PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
CẨM THỦY

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN
DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH (LẦN 2)

Năm học 2018 - 2019
Môn: Toán - Lớp 9

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I. (4,0 điểm):
1. Hãy tính giá trị của biểu thức Q = (3x3 – x2 - 1)2020, biết:





3

26  15 3. 2  3

3

9  80  3 9  80

x

2. Tính tổng:

Câu IV. (6,0 điểm): Cho đường tròn (O; R) và dây cung AH < R. Qua H vẽ đường thẳng d
tiếp xúc với đường tròn (O; R). Vẽ đường tròn (A; R) cắt đường thẳng d tại B và C sao cho
H nằm giữa B và C. Vẽ HM vuông góc với OB (M  OB), vẽ HN vuông góc với OC
(N  OC).
1) Chứng minh: OM.OB = ON.OC và MN luôn đi qua một điểm cố định.
2) Chứng minh: OB.OC = 2R2.
3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi.
Câu V. (2,0 điểm): Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c  3.
Chứng minh rằng:

1
1
1


 1.
2
2
2  a b 2  b c 2  c2 a

-------------Hết-----------Chữ ký giám thị 1: ………………………………
Chữ ký giám thị 2: ………………………………


ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
(Đáp án gồm có 04 trang)
Bài

Đáp án


a  3
  a  3  a 2  3a  6   0   2
 a  3a  6  0

0,5đ

3

Mặt khác: 3 26  15 3  3  3  2   3  2



3

Suy ra: x 
1
(4đ)

3

26  15 3. 2  3

 



3 2 2 3
3



1

Ta có:

8.12  1
8.22  1
8.32  1
8.10092  1

1


1


...

1

12.32
32.52
52.7 2
2017 2.2019 2

8n2 1
2

 2n 1  2n 1





4n2
4n2 1

1 1
1 
 1  .


2  2n 1 2n 1 
Với  n ≥ 1, n  N Thay lần lượt n từ 1 đến 1009 ta được:
1 1 1 
1  1 1
1 1
1 
1 
1 
1009
S  1 .    1 .    ... 1 .

  1009  . 1 
  1009
2 1 2 
2  3 5
2  2017 2019 
2  2019 
2019
y

1
N
-1

O
C

1
-1
-2

2

3

4

5

6

x

0,5đ
0,5đ

0,5đ


Lời giải:

 Phương trình đường thẳng AB có dạng y 
5
2

3
xc
4

5 3
11
 .4  c => c=
2 4
2
3
11
 Phương trình đường thẳng AB là: y  x 
4
2
1
Tương tự : phương trình đường thẳng BC là: y  x  1
3
5
Phương trình đường thẳng AC là: y  x  1
2
3
11

 y  4 .x  2
x  2





2

 256

0,5đ

Áp dụng Bđt bunhicopxki cho 2 dãy số:
13 ; 3 3

0,5đ

 x 2 . 13 1  x 2  9 1  x 2

13(1  x ); 3 1  x
2



2



ta được:

13. 13 1  x 2   3 3. 3 1  x 2 

2


0,5đ

0,5đ

( x  3) 2  3 y 2  12
 y 2  4  y 2  1; y 2  4 vì y nguyên dương.
Nếu y 2  1  y  1 thì (1) có dạng:
2

3  x  3  5 z 2  72  5 z 2  72  z 2 
2

72
 z 2  9  z  3 (vì có(*))
5

0,5đ

2

Khi đó 3  x  3  27   x  3  9 , x nguyên dương nên tìm được x = 6
Nếu y 2  4  y  2 (vì y nguyên dương) thì (1) có dạng:
2
3 x  3 14z2 126 14z2  126  z2  9  z2  9  z  3 (vì z nguyên dương)
Suy ra ( x  3)2  0  x  3 (vì x nguyên dương)

0,5đ

x  3  x  6

b n
bn
an  bm b an  b
Suy ra: 
mà (a;b)=1; (m;n)=1 suy ra:

an  bm n bm n

Theo bài ra ta có:

n b
nb

b  n

a m x4  1 y 4  1
. 
.
 Z ( vì x4 - 1  x+1 và y4 - 1  y + 1)
b n
y 1 x 1
Suy ra a.m n mà (m;n) =1 suy ra a  n mà n = b nên a  b suy ra x4 - 1  y + 1
Do đó: x4y44 – 1= y44 (x4 - 1) + (y44 – 1) y + 1

0,5đ

Mặt khác:

Vì x4 - 1  y + 1 và y44 – 1  y + 1 (đpcm)


b) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định.
Vì OM.OB = OH2  OA2 = OM.OB 

OA OB

OM OA

0,25đ

Xét OMA và OAB có: AOB chung
OA OB

(chứng minh trên)
OM OA
 OMA

0,25đ

OAB (c.g.c)

 MAO  OBA mà AOB  OBA (vì OA = AB = R)
 MAO  MOA
 MOA cân tại M  MA = MO  M thuộc đường trung trực của AO

Chứng minh tương tự ta có N cũng thuộc đường trung trực của AO
 MN đi qua trung điểm D của OA cố định.
2) Chứng minh: OB.OC = 2R2.

0,25đ


2

0,5đ

0,5đ
0,5đ

Vậy OB.OC = 2R2.
3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi
2

S
OD 
R2
1
1
1
Ta có: OMN OCB  OMN  

  SOMN  SOCB  .OH .BC

2
SOCB  OH 
4R
4
4
8
1
1
R2


Áp dụng bất đẳng thức AM-GM,
ta có 1  1  a 2b  3 3 a 2b và 3 3 ab2  a  b  b  a  2b.
2
1
a 2b
1
1
2
Suy ra

1

a
b


1

 1   a  3 ab2  1   a  a  2b 
2
2
2a b
11 a b
3
9
3 3 a 2b
1
1 1
  ( a 2  2ab) (1)

1
3 1
2


   a  b  c   1. Điều phải chứng minh.
2
2
2
2  a b 2  b c 2  c a 2 18
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1.

Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Bài hình không vẽ
hình hoặc vẽ hình sai không chấm điểm.

0,5đ