ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
------------------------------

ĐINH NHƯ QUỲNH

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI
ÁNH XẠ GIÃN TRONG KHÔNG GIAN
G - METRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN-2019

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
------------------------------

ĐINH NHƯ QUỲNH

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI
ÁNH XẠ GIÃN TRONG KHÔNG GIAN
G - METRIC
Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 8.46.01.02


Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.Phạm Hiến Bằng
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2019
Tác giả

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




MỤC LỤC

TRANG BÌA PHỤ

i

LỜI CAM ĐOAN

ii

LỜI CẢM ƠN

TRONG KHÔNG GIAN G - METRIC
2.1. Điểm bất động đối với ánh xạ giãn trong không gian G-metric

10

2.2. Điểm bất động chung đối với các ánh xạ giãn trong không gian
G-metric
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN

19
34
35




MỞ ĐẦU
Nguyên lí điểm bất động (hay nguyên lí ánh xạ co) đã được Banach
chứng minh vào năm 1922. Từ đó đã có nhiều tác giả mở rộng kết quả này cho
nhiều loại ánh xạ khác nhau trên các không gian khác nhau. Hướng thứ nhất là
mở rộng khái niệm không gian metric. Đầu tiên phải kể đến khái niệm không
gian b - metric được đưa ra bởi Bakhtin [2]. Tác giả đã chứng minh Định lí
điểm bất động đối với ánh xạ co trong không gian b - metric, là tổng quát hóa
của nguyên lí co Banach trong không gian metric. Tiếp đến là khái niệm không
gian 2-metric được đưa ra bởi Gahler [4] và khái niệm không gian D-metric
được đưa ra bởi Dhage [3]. Năm 2004, Mustafa và Sims [7] đã đưa ra khái niệm
không gian G-metric. Gần đây, Một số tác giả như Mustafa, Chugh, Shatanawi,

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ KHÔNG GIAN G - METRIC
1.1. Không gian G - Metric
Định nghĩa 1.1.1. Một không gian G - metric là cặp (E ,G ) , trong đó E là
một tập khác rỗng và G : E ´ E ´ E ® [0, ¥ ) là một hàm sao cho với mọi

u, v, w, a Î E , các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(G1)

G (u, v, w) = 0 nếu u = v = w ;

(G2 )

G (u, u, v ) > 0 với mọi u, v Î E , với u ¹ v ;

(G 3 )

G (u, u, v ) £ G (u, v, w) với mọi u, v, w Î E , với w ¹ v ;

(G 4 )

G (u, v, w) = G (u, w, v ) = G (v, w, u ) = ... (đối xứng với cả 3 biến);

(G 5 )

G (u, v, w) £ G (u, a, a ) + G (a, v, w) (bất đẳng thức hình chữ nhật).

Hàm G như trên được gọi là một G - metric trên E .
Các tính chất trên có thể giải thích theo nghĩa của không gian metric.
Cho (E , r ) là một không gian metric và G : E ´ E ´ E ® [0, ¥ ) là hàm số
được xác định bởi

. Khi đó lim G (un , un , vn ) = 0 Û lim G (un , vn , vn ) = 0 .
n® ¥

n® ¥

Mệnh đề 1.2.3.Cho (E ,G ) là không gian G - metric. Khi đó, với mọi

u, v, w, a Î E , ta có
(a ) G (u, v, w) £ G (u, u, v ) + G (u, u, w).

(b) G (u, v, w) £ G (u, a, a ) + G (v, a, a ) + G (w, a, a ).
(c ) G (u, v, w) - G (u, v, a ) £ max{G (a, w, w),G (w, a, a)} .

(d ) Nếu n ³ 2 và u 1, u 2,..., u n Î E thì

G (u1, un , u n ) £

å

n- 1

G (u1, u1, u n ) £

å

n- 1

G (u i , u i + 1,u i + 1) và

i= 1

(b) Áp dụng (G 5 ) hai lần và sử dụng (G 4 ) , ta có

G (u, v, w) £ G (u, a, a ) + G (a, v, w) = G (u, a, a ) + G (v, a, w)
£ G (u, a, a ) + G (v, a, a ) + G (a, a, w).



(c ) Theo (G 4 ) và (G 5 ) , ta có

G (u, v, w) = G (w, v, u ) £ G (w, a, a ) + G (a, v, w),
G (a, v, u ) £ G (a, w, w) + G (w, v, u ).
Suy ra,

G (u, v, w) - G (a, v, u ) £ G (w, a, a ) và
G (a, v, u ) - G (u, v, w) £ G (a, w, w).
Do đó,
G (u, v, w) - G (u, v, a ) £ max{G (a, w, w),G (w, a, a)}. 
(d ) Nếu n = 2 , điều đó là hiển nhiên, và nếu n = 3 thì (1.1) là tính chất (G 5 )

khi cho u = u1 , a = u 2 và v = w = u 3 . Bằng cách quy nạp, nếu (1.1) xảy ra
với n ³ 3 thì nó cũng xảy ra với n + 1 bởi vì, cũng theo (G 5 ) và giả thiết quy
nạp, ta có

G (u1, un + 1, un + 1) £ G (u1, un , un ) + G (un , un + 1, un + 1)
£

å

n- 1



( f ) Nếu a = v hoặc a = u thì kết quả là hiển nhiên. Giả sử rằng a ¹ u và

a ¹ v . Nếu a = w thì theo (G 5 ) , ta có
G (u, v, w) = G (u, v, a ) £ G (u, a, a ) + G (a, v, a )
£ G (u, a, w) + G (a, v, w).

Tiếp theo, giả sử a ¹ w . Khi đó, theo (G 5 ) và (G 3 ) , ta có
G (u, v, w) £ G (u, a, a ) + G (a, v, w) £ G (u, a, w) + G (a, y , z ). 
(g) Theo ( f ) và (G 4 ) , ta có

G (u, v, w) £ G (u, a, w) + G (a, v, w),
G (u, v, w) = G (v, w, u ) £ G (v, a, u ) + G (a, w, u ),
G (u, v, w) = G (w, u, v ) £ G (w, a, v ) + G (a, u, v ).

Cộng các bất đẳng thức trên và áp dụng (G 4 ) , ta được điều phải chứng minh.

(h ) Theo (c ) , ta có

G (u, v, w) - G (u, v, a ) £ max{G (a, w, w),G (w, a, a)}.

Khi đó, theo (G 3 ) , ta có
u ¹ a Þ G (w, a, a ) £ G (w, a, u );
u ¹ w Þ G (a, w, w) £ G (a, w, u ).

Theo (G 4 ) , ta kết luận max{G (a, w, w),G (w, a, a )} £ G (u, a, w). 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN



0 , $ n 0 Î N
n ,m ® ¥

sao cho G (u n , u m , u ) < e , với mọi n , m Î Nn: n , m ³ n 0 .
Định nghĩa 1.3.2. Cho (E ,G ) là không gian G - metric, dãy {u n } Í E được
gọi là G - Cauchy nếu với mỗi e > 0 , tồn tại N Î ¥ sao cho G (u n , u m , ul ) < e
với mọi n , m , l ³ N .
Mệnh đề 1.3.3.Giới hạn của dãy G - hội tụ trong không gian G - metric là

n ,m ® ¥ , m ³ n

lim

G (u n , u m , u m ) = 0.

lim

G (u n , u m , u m ) = 0.

n ,m ® ¥ , m > n

lim G (un , un , um ) = 0.

n ,m ® ¥

n ,m ® ¥ , m ³ n

lim

G (u n , u n , u m ) = 0.

lim

G (u n , u n , u m ) = 0.

n ,m ® ¥ , m > n

(h ) lim G (un , un + 1, un + 1) = 0 và
n® ¥

sao cho u m ® u , vm ® v và wm ® w thì {G (u m , vm , wm )} ® G (u, v, w) .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




CHƯƠNG 2
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ GIÃN
TRONG KHÔNG GIAN G-METRIC

2.1. Điểm bất động đối với ánh xạ giãn trong không gian G-metric
Định nghĩa 2.1.1. Cho (E ,G ) là không gian G - metric và S : E ® E . S gọi
là ánh xạ giãn nếu $a > 1 sao cho với mọi u, v, w Î E , ta có
G (Su, Sv, S w) ³ aG (u, v, w) .

Ví dụ 2.1.2. Cho S : ( ¡ ,G ) ® ( ¡ ,G ) là ánh xạ được xác định bởi
ìï 5u
khi u £ 3
S (u ) = ïí
ïï 5u + 2 khi u > 3
î

vàG (u, v, w) = max{| u - v |,| v - w |,| u - w |} . Khi đó ( ¡ ,G ) là không
gian G - metric và S là ánh xạ giãn.
Định lí 2.1.3.Cho (E ,G ) là không gian G - metric đầy đủ. Giả sử tồn tại một
hằng số a > 1 và S : E ® E là toàn ánh, sao cho với mọi u, v, w Î E
G (Su, Sv, S w) ³ aG (u, v, w) (2.1).

Khi đó S có điểm bất động duy nhất.
1 và

S : E ® E là toàn ánh, sao cho với mọi u, v Î E
G (Su, Sv, Sv ) ³ aG (u, v, v ) .

(2.2)

Khi đó S có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.Theo giả thiết,nếu Su = Sv , thì 0 = G (Su, Sv, Sv ) ³ aG (u, v, v ) ,
suy raG (u, v, v ) = 0 , do đó u = v , suy ra S là đơn ánh, nên là song ánh, do đó

S là khả nghịch. Giả sử h là ánh xạ nghịch đảo của S . Khi đó


trong đó a > 1 . Khi đó S có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.Từ điều kiện (2.4) suy ra S là đơn ánh và khả nghịch. Giả sử h là
ánh xạ nghịch đảo của S . Theo điều kiện (2.4) " u, v, w Î E , ta có
G (u, v, w) = G (S (hu ), S (hv ), S (hw))

ìï G (hu, hw, hw) + G (hv, hw, hw)ü
ïï
ïï
ï
³ a max ïí G (hw, hv, hv ) + G (hu, hv, hv ) ïý
ïï
ï
ïï G (hw, hu, hu ) + G (hv, hu, hu ) ïïï
î
þ

(2.5)

Nhưng, theo (G5) ta có

ìï G (hu, hw, hw) + G (hv, hw, hw)ü
ïï
ïï
ï
max ïí G (hw, hv, hv ) + G (hu, hv, hv ) ïý ³ G (hu , hv, hw) .
ïï
ï
ïï G (hw, hu, hv ) + G (hv, hu , hu ) ïïï
î





G (u, v, v ) = G (v, v, u ) £ G (v, u, u ) + G (u, v, u ) = 2G (v, u, u ) .

Do đó
1
G (u, v, v ) + G (u, v, v ) £ G (v, u, u ) + G (u, v, v ) ,
2

suy ra
3
G (u, v, v ) £ G (v, u, u ) + G (u, v, v ) .
2
Kết hợp (2.9) và (2.10) ta nhận được

(2.10)

3a
G (u, v, v ) .(2.11)
2
Gọi h là ánh xạ nghịch đảo của S .Khi đó áp dụng (2.11) ta được
G (Su, Sv, Sv ) ³

G (u, v, v ) = G (S (hu ), S (hv ), S (hv )) ³

với mọi u, v Î E . Vì a >

3a

Nhưng

S : E ® E là toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi u, v, w Î E
G (Su, Sv, Sv ) ³ a max {G (u, v, v ),G (v, u, u )} với k > 1 . (2.14)

Khi đó S có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.Vì max {G (u, v, v ),G (v, u, u )} ³ G (u, v, v ) , nên theo (2.14), ta có
G (Su, Sv, Sv ) ³ aG (u, v, v ) ,với mọi u, v, w Î E .(2.15)

Theo Định lí 2.1.4, S có điểm bất động duy nhất.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Hệ quả 2.1.9.Cho (E ,G ) là không gianG - metricđầy đủ không đối xứng và

S : E ® E là toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi u, v, w Î E
ìï G (u, v, v ),G (v, u, u ) ü
ïï
ïï
ï
G (Su, Sv, S w) ³ a max ïí G (u, w, w),G (w, u, u )ïý (2.16)
ïï
ï
ïï G (w, v, v ),G (v, w, w) ïïï
î
þ
với a > 1 . Khi đó S có điểm bất động duy nhất.



Do đó

(1 - (b + c))G (un - 1, un - 1, un ) ³ (a + d )G(un + 1, un , un ) ,
suy ra

G (u n + 1, u n , u n ) £
Đặt q =

1 - (b + c)
G (u n - 1, u n - 1, u n ) . (2.19)
a+d

1 - (b + c )
. Khi đó q < 1 và bằng cách lặp lại áp dụng của (2.19), ta
a+d

có

G (un + 1, un , un ) £ qnG (u1, u 0, u 0 ) .(2.20)
Khi đó với mọi n , m Î ¥ , n < m , bằng cách sử dụng liên tiếp bất đẳng thức
(G5) và (2.20) ta được
G (u m , u n , u n ) £ G(u m , u m - 1, u m - 1 ) + G(u m - 1, u m - 2, u m - 2 ) +

G (um - 2, um - 3, um - 3 ) + ... + G (un + 1, un , un )
£ (q

m- 1



Nếu a < 1 thì điểm bất động của S là không duy nhất, vì ánh xạ đồng nhất
thỏa mãn điều kiện (2.18). Tuy nhiên nếu a > 1 thì điểm bất động là duy nhất.
Hệ quả 2.1.12.Cho (E ,G ) là không gian G - metric đầy đủ và S : E ® E là
toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi u, v, w Î E
G (Su, Sv, S w) ³ aG (u, v, w) + b {G (u, u, Su )
+ G (v, v, Sv ) + G (w, w, S w)} (2.21)

với a + 3b > 1, b
2 . Khi đó S có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh. Như trong Định lí 2.1.11, tồn tại một dãy {u n } với u n - 1 ¹ u n và
Su n = x n - 1 . Khi đó theo (2.22) ta có

2
G (u n , u n - 1, u n - 1 ) .
a

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




2
, khi đó q < 1. Bằng cách tương tự trong chứng minh Định lí 2.1.11,
a
ta thấy rằng dãy {u n } là G - Cauchy và do tính đầy đủ của (E ,G ) , dãy {u n } là
Đặt q =

G - hội tụ tới u Î E . Vì S là G - liên tục, nên
Su n = u n - 1 ® Su khi n ® ¥ .

Do đó Su = u . Vậy u là điểm bất động của S .
Để chứng minh tính duy nhất, ta giả sử có v ¹ u sao cho Sv = v , khi đó (2.22)
kéo theo
G (u, v, v ) ³ a min {G (u, v, v ),G (v, u, u )},

do đó
G (u, v, v ) ³ aG (v, u, u )

bằng cách tương tự ta được
G (v, u, u ) ³ aG (u, v, v ),

suy ra


suy ra {u n } là dãy G - Cauchy và do tính đầy đủcủa (E ,G ) , suy ra dãy {u n } là

G - hội tụ tới u Î E .
Vì S là G - liên tục, nên Su n = u n - 1 ® Su khi n ® ¥ . Do đó Su = u .Vậy
u là điểm bất động của S .

Định lí 2.1.15.Cho (E ,G ) là không gian G - metric đầy đủvà S : E ® E là
toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi u, v, w Î E
G (Su, Sv, S w) ³ a max {G (u, Su, Su ),G (v, Sv, Sv ),G (w, S w, S w)}

với a > 1 . (2.26)
Khi đó S có một điểm bất động.
Chứng minh. Như trong Định lí 2.1.11, tồn tại một dãy {u n } với u n - 1 ¹ u n và
Su n = u n - 1 . Khi đó (2.26) trở thành

G (un , un - 1, un - 1) = G (Sun + 1, Sun , Sun )
³ a max {G(un + 1, un , un ),G(un , un - 1, un - 1),G(un , un - 1, un - 1)}
= aG (un + 1, un , un ) ,

(2.27)

suy ra
G (u n + 1, u n , u n ) £

Đặt q =

1
G (u n , u n - 1, u n - 1 )
a

n® ¥

n® ¥

n® ¥

Định lý 2.2.2.Cho (E ,G ) không gian G - metric đầy đủ, R , S : E ® E là
các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau:
(a ) R (E ) Ì S (E )
(b) G (R u, R v, R v ) ³ aG (Sv, Sv, Su ) + b min {G (Su, Rv, Rv ),G (Su, Rv, Rv )}

với mọi u, v Î E vàa > 1, b > 2, a + b > 1
(c ) R hoặc S liên tục.

(d ) Cặp (R , S ) là nửa tương thích.

Khi đó R và S có điểm bất động chung duy nhất trong E .
Chứng minh. Lấy u 0 Î E tùy ý. Vì R (E ) Ì S (E ) nên tồn tại u 1 sao cho

Ru1 = Su0 = v0 . Bằng quy nạp, ta có thể xác định dãy Run + 1 = Sun = vn .
Sử dụng (b) với u = un , v = un + 1 , ta có đánh giá sau

G (Run , Run + 1, Run + 1) ³ a(Sun + 1, Sun + 1, Sun ) +
+ b min {G (Sun , Run + 1, Run + 1),G (Sun , Run + 1, Sun + 1)},

suy ra

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Bằng quy nạp ta có
G (vn + 1, vn + 1, vn ) £ pnG (v0, v1, v1) .

Ta sẽ chứng minh dãy {vn } là dãy Cauchy
Sử dụng (G5), với n > m ta có

G (vm , vn , vn ) £ G (vm , vm + 1, vm + 1) + G (vm + 1, vn , vn )
£ G (vm , vm + 1, vm + 1) + G (vm + 1, vm + 2, vm + 2 ) + G (vm + 2, vn , vn )
………….
£ G (vm , vm + 1, vm + 1) + G (vm + 1, vm + 2, vm + 2 ) +
... + G (vn - 1, vn , vn ) + G (vn , vn , vn )

£ pmG (v0, v1, v1) + pm + 1G (v0, v1, v1) + ... + pn - 1G (v0, v1, v1) .

Vì m < n , nên đặt n = m + k thì ta có
G (vm , vn , vn ) £ pmG (v0, v1, v1) + pm + 1G (v0, v1, v1) + ... + pm + k - 1G (v0, v1, v1)

£ pm (1 + p + p2 + ... + pk - 1)G (v0, v1, v1)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN