kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Môn : Toán
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm 02 trang
Bài 1: (3 điểm)
Cho biểu thức:
3
3
6 4 3 1 3 3
3
3 2 3 4 1 3
3 3 8
x x x
A x
x x x
x
 
 
+ +
= − −
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
+ + +
−
 
 
1. Rút gọn biểu thức
A
.

d
cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ dương.
3. Tìm các giá trị của
m
để phương trình
4 2
4 2 0x x m− + =
có 4 nghiệm phân
biệt. Tính các nghiệm đó theo
m
.
Bài 3: (3,5 điểm)
1. Tìm số có hai chữ số biết rằng phân số có tử số là số đó, mẫu số là tích của
hai chữ số của nó có phân số tối giản là
16
9
và hiệu của số cần tìm với số có
cùng các chữ số với nó nhưng viết theo thứ tự ngược lại bằng 27.
2. Hãy tìm các chữ số
, , ,a b c d
biết rằng các số
, , ,a ad cd abcd
là các số chính
phương.
Bài 4: (4,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn (O)
tại hai điểm A và B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường
tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm).
1. Chứng minh rằng
2 2

M
3
6
kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Môn : toán
Đáp án và thang điểm:
Bài 1 ý Nội dung Điểm
(2 điểm)
1. 1.1
(2 đ)
3
3
6 4 3 1 3 3
3
3 2 3 4 1 3
3 3 8
x x x
A x
x x x
x
 
 
+ +
= − −
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
+ + +
−

+
+
 ÷ ÷
= − −
 ÷ ÷
+ + +
 ÷ ÷
−
  
( )
( ) ( )
( )
6 4 3 2 3
3 3 1 3
3 2 3 2 3 4
x x x
A x x x
x x x
 
+ − −
 ÷
= − + −
 ÷
− + +
 
( ) ( )
( )
3 4 2 3
3 2 3 1
3 2 3 2 3 4

0,50
1.2
(1,0
đ)
( ) ( ) ( )
2 2
3 1 3 2 2 3 2 1
1
3
3 2 3 2 3 2
x x x
A x
x x x
− − + − +
= = = +
− − −
Với
x
là số nguyên không âm, để A là số nguyên thì
3 3 3 9
3 2 1 3
3 1
3 1
x x
x x
x
x

= =


Phương trình (1) là phương trình bậc hai nên để (P) và d chỉ có một điểm chung
thì phương trình (1) có nghiệm kép, tương đương với:
' 4 2 0 2m m∆ = − = ⇔ =
Khi đó đường thẳng d là tiếp tuyến của (P) có phương trình
2 2y x= − +
Vẽ đúng tiếp tuyến
0,25
0,50
0,25
0,25
0,25
2.2
(1,25 đ)
+ Vẽ đúng (P)
+ Đường thẳng
: 2d y x m= − +
song
song với đường thẳng
2 2y x= − +
và cắt
trục Oy tại điểm B(0; m).
+ Dựa vào đồ thị ta có: Để d cắt (P) tại
hai điểm có hoành độ dương thì
0 2m
< <
0,25
0,50
0,50
2.3
(1,25đ)

Theo giả thiết:
( )
10 16
3
9
90 9 16
10 10 27
x y
x y
xy
x y xy
x y y x
+

=
− =


⇔
 
+ =


+ − + =

Giải hệ ta có
1 2
3
9;
16

0,50
0,25
2
cd
là số chính phương nên
cd
chỉ có thể là 16, hoặc 36, hoặc 49. Nên Nên
c

chỉ có thể là 1, hoặc 3, hoặc 4.
Nếu
1a
=
thì
6d
=
và
1c =
hoặc
3c
=
, khi đó
1 16 1 36abcd b hay b=
và
( ) ( )
2 2
1 6 4 6bc x hay x=
.
Ta có:
2 2 2 2 2

4 4.1
(1,25 đ)
Ta có: MN = MP (Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Chứng minh được 2 tam giác MAN và MNB đồng dạng.
Suy ra:
2 2
.
MA MN
MN MP MA MB
MN MB
= ⇔ = =
0,25
0,50
0,50
4.2
(1,25 đ)
Để MNOP là hình vuông thì đường chéo
2 2OM ON R= =
Dựng điểm M: Ta dựng hình vuông OACD, dựng đường tròn tâm O đi qua
điểm D, cắt (d) tại M.
Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MN và MP. Ta có
2 2
MN MO ON R= − =
, nên Tam giác ONM vuông cân tại N. Tương tự, tam giác OPM cũng vuông
cân tại P. Do đó MNOP là hình vuông.
Bài toán luôn có 2 nghiệm hình vì
2OM R R= >
0,25
0,25
0,50