SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
-----------ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2019 - 2020
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
---------------------

Câu I (2,0 ñiểm).
1) Giải phương trình x 2 − 5 x + 4 = 0
3 x − y = 3
2) Giải hệ phương trình: 
2 x + y = 7
Câu II (2,0 ñiểm).
1) Rút gọn biếu thức: A =

4
5 −1

− 3 45 +

(

)

5 −1

2


( O; R )

vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa ñường tròn ñó. Gọi M là một ñiểm bất kì trên nửa ñường tròn
(với M khác A , M khác B ), tiếp tuyến của nửa ñường tròn tại M cắt Ax, By lần lượt tại C và D .

a) Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.
b) Chứng minh tam giác COD vuông tại O .
c) Chứng minh AC .BD = R 2 .
b) Kẻ MN ⊥ AB,( N ∈ AB ) ; BC cắt MN tại I . Chứng minh I là trung ñiểm của MN .
2) Tính thể tích của một hình nón có bán kính ñáy r = 4 cm, ñộ dài ñường sinh l = 5 cm.
Câu V (0,5 ñiểm).
Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn ñiều kiện abc = 1
Chứng minh

1
1
1
+
+
≤ 1.
2+a 2+b 2+c


Hướng dẫn giải
Câu I (2,0 ñiểm).
1) Giải phương trình x 2 − 5 x + 4 = 0
Lời giải
Ta có a + b + c = 1 + ( −5) + 4 = 0 ⇒ x1 = 1; x2 = 4
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; 4} .
3 x − y = 3

2

Lời giải
Ta có A =

4
5 −1

− 3 45 +

(

)

5 −1

2

=

4

(

) −9

5 +1
5 −1

5+

.
−
=
.
x
x
3− x 3+ x
 3− x 3+ x 

(

=

2 x

(3 − x )(3 + x )

B>

⇔

.

3+ x
x

=

2
3− x

)

)

> 0; (*)

Vì 1 + x > 0 nên (*) ⇔ 3 − x > 0 ⇔
Vì x ∈ ℤ ⇒ x ∈ {1; 2;3; 4;5;6;7;8} .

x

( O; R )
( O; R )

vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa ñường tròn ñó. Gọi M là một ñiểm bất kì trên nửa ñường tròn
(với M khác A , M khác B ), tiếp tuyến của nửa ñường tròn tại M cắt Ax, By lần lượt tại C và D .

a) Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.
b) Chứng minh tam giác COD vuông tại O .
c) Chứng minh AC.BD = R 2 .
b) Kẻ MN ⊥ AB,( N ∈ AB ) ; BC cắt MN tại I . Chứng minh I là trung ñiểm của MN .
2) Tính thể tích của một hình nón có bán kính ñáy r = 4 cm, ñộ dài ñường sinh l = 5 cm.
Lời giải


a) Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.

OAC = 90
OA ⊥ AC
⇒
Theo tính chất tiếp tuyến ta có 
OM ⊥ CM
OMC = 90
Xét tứ giác ACMO có tổng hai góc ở vị trí ñối nhau OAC + OMC = 90 + 90 = 180
Suy ra tứ giác ACMO nội tiếp.
b) Chứng minh tam giác COD vuông tại O .
Tương tự ý a) ta cũng chứng minh ñược tứ giác BDMO nội tiếp.
Ta có AMB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa ñường tròn) suy ra tam giác ABM vuông tại B .
Suy ra OAM + OBM = 90
Lại có OAM = MCO (cùng chắn cung MO của ñường tròn ngoại tiếp tứ giác ACMO )

BN
NI

AE
AC BA
AE
AC
AE NM
=
=
⇒
=
⇒
=
= 2 ⇒ I là trung ñiểm của MN .
NM
NI
BN
NM
NI
AC
NI

2) Tính thể tích của một hình nón có bán kính ñáy r = 4 cm, ñộ dài ñường sinh l = 5 cm.

Ta có AH = r = 4cm; AO = l = 5cm ⇒ OH = AO2 − AH2 = 9 = 3cm

( )

1


Thật vậy áp dụng bất ñẳng thức CauChy cho 3 số dương ta có ⇔ ab + bc + ca ≥ 3 3 ( abc ) ≥ 3 .
2

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1 .
Hoàn tất chứng minh.