Trường THPT Ngô Gia Tự Tổ Toán Giáo viên: Phan Trần Bảo Bảo
CHUN ĐỀ I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A.CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
I. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
1. Cung đối nhau :
và -
α α
(tổng bằng 0) (Vd:
6
&
6
ππ
−
,…)
2. Cung bù nhau :
và -
α π α
( tổng bằng
π
) (Vd:
6
5
&
6
ππ
,…)
3. Cung phụ nhau :
và
2
π

và
α π α
+
(Vd:
6
7
&
6
ππ
,…)
1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau :

cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
α α
α α
α α
α α
− =
− = −
− = −
− = −

cos( ) cos
sin( ) sin
( )

π
α α
π
α α
− =
− =
− =
− =

cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
π
α α
π
α α
π
α α
π
α α
+ = −
+ =
+ = −

sin bằng cos
cos bằng trừ sin
Hơn kém
π
tang , cotang
Trường THPT Ngô Gia Tự Tổ Toán Giáo viên: Phan Trần Bảo Bảo

α α
α α α α
α α
+ =
2 2
sin cos
cos sin 1; tg = ; cotg =
cos sin
α α α α
α α
+ +
2 2
2 2
1 1
1 tg = ; 1 cotg = ; tg . cotg = 1
cos sin
2. Công thức cộng :

α β α β α β α β α β α β
α β α β β α α β α β β α
α β α β
α β α β
α β α β


α
α
α
α
α
α
α
2cos1
2cos1
;
2
2cos1
sin;
2
2cos1
cos
222
+
−
=
−
=
+
=
tg
6.Công thức tính
sin ,cos ,tg
α α α
theo

 
= + + −
 
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
8. Công thức biến đổi tổng thành tích :
α β α β α β α β
α β α β
α β α β α β α β
α β α β
α β
α β α β
α β
+ − + −
+ = − = −
+ − + −
+ = − =
+
+ = − =
cos cos 2cos .cos ; cos cos 2sin .sin ;
2 2 2 2
sin sin 2sin .cos ; sin sin 2cos .sin ;
2 2 2 2

π
π π
π
π
π
π π
π π

⇔



⇔


⇔ ≠ +
⇔ ≠
( u; v là các biểu thức chứa ẩn và
Zk
∈
)

sin 1 x = 2
2
sinx = 0 x = k
sin 1 x = 2
2
cos 1 x = 2
cosx = 0 x = + k
2

cos( )
4 2
x
π
− = −
c)
03)
6
2sin(2
=+−
π
x
d)
03)
3
cos(2
=−+
π
x
1) 2sin(3x-
6
π
)-
03
=
2) cos





3 6
x x
π π
   
− = −
 ÷  ÷
   
5)
2
tan cot 2
4 3
x x
π π
   
+ = −
 ÷  ÷
   







<<
−
4
7
3
ππ

 
   
b)
0
tan(2x 15 ) 1− =
, với
( )
0 0
x 180 ;90∈ −
c) sin(2x - 10
o
) =
1
2
víi -120
o
< x < 90
o
d)

cos(2x + 1) =
2
2
víi - π < x < π
DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ĐỐI VỚI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A.LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
Dạng phương trình Phương pháp giải

+ + =
+ + =

1)
01sin2sin3
2
=++
xx
2)
2
3tan 4 3 tan 3 0x x− + =
3)
02cos2cos2
2
=−+
xx
4)
01sincos
2
=++
xx
5)
01cos2sin2cos
2
=+−+
xxx
6)
012sin4cos3
=+−
xx
Trang 3
Trường THPT Ngô Gia Tự Tổ Toán Giáo viên: Phan Trần Bảo Bảo
7)


f)
0)2
2
cos()cos(sin2
44
=−−+
xxx
π
g)
4 4
sin cos 1 2sin
2 2
x x
x+ = −
h)
0cos.sincossin
44
=++
xxxx
Bài 3: Tìm nghiệm của phương trình trên các khoảng cho trước

2
3 3 0sin x sin x+ =
,
2 4
3 3
x ;
π π
 

a
x
b
b
Vậy tùy theo dạng của phương trình, khi
áp dụng cơng thức cộng ta sẽ đưa về các
phương trình cơ bản khác nhau.
-Ngồi ra ta còn có thể đặt
α α
= =
+ +
2 2 2 2
b
sin và os
a
a
c
a b b
.
Chia hai vế của phương trình cho
2 2
a b+
thì pt
⇔ + =
+ + +
2 2 2 2 2 2
(1) sin os
a b c
x c x
a b a b a b

c
sin(x+ ) = (3)
a
x
b
b
Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x.
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Giải các phương trình sau:

3
1) 3sin 3 cos
2
x x
−
+ =

2) 3 cos9 sin 9 2x x+ =
3.
3
cos3x + sin3x =
2
;
4). 4sinx – 3cosx = 5; 5) 3sin2x + 2cos2x = 3;
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) 2
2
(sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x
2) 3sin 2 4cos(3 2 ) 5x x
π

ta còn có thể dùng các cơng thức
-Hạ bậc:
2
1 os2
sin
2
c x
x
−
=
,
2
1 os2
os
2
c x
c x
+
=
-Nhân đơi:
1
sin .cos sin 2
2
x x x=
Đưa phương trình (4) về dạng (3) : phương trình bậc 1
theo sin2x và cos2x.
trình, nếu thõa mãn thì
2
x k
π

os
x
c x
 
= +
 ÷
 
( )
( ) ( )
2 2
2
a tan tan 1 tan
tan tan 0 *
x b x c d x
a d x b x c d
⇔ + + = +
⇔ − + + − =
(*) là phương trình bậc 2 theo tanx đã biết cách giải
KL: Hợp nghiệm của 2 trường hợp.
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Giái các phương trình sau
2
1) 2 3 cos 6sin cos 3 3x x x+ = +
; ,
4 12
x k x k k
π π
π π
= + = + ∈ Z;
2 2

x k x k k
π
π π
= = + ∈ Z
Bài 2: Giải các phương trình sau
a)
2 2
5sin 2 3sin 2 cos 2 2cos 2 0x x x x− − =
, b)
2 2
5sin 10sin cos 4cos 0x x x x− + =

c)
2 2
2sin 3 5sin 3 cos3 cos 3 2x x x x− − = −
, d)
2 2
3sin 3 cos (3 3)sin cos 0x x x x− − − =
,
e)
2 2
cos sin 3 sin 2 1x x x− − =
f)
4 4
sin cos 3sin cos 0x x x x− − =
.
g)
1
4cos 6sin
sin

= + ∈ Z
3
3)cos3 2sin 3cos 3sin 0x x x x+ + − =
,
4
x k k
π
π
= + ∈ Z
3
4)sin sin 2 sin3 2cos cos3 3cosx x x x x x+ = + +
; arctan 2 ,
3
x k x k k
π
π π
= ± + = + ∈ Z
5)1 3sin 2 2tanx x+ =
3 17
; arctan( ) ,
4 4
x k x k k
π
π π
±
= − + = + ∈ Z
Trang 5