HÀM SỐ LIÊN TỤC (B1 )
1. Hàm số liên tục tại một điểm
f  x
y  f  x
Định nghĩa 1: Cho hàm số
xác định trên khoảng K và x0 �K . Hàm số
gọi là liên tục tại

x  x0

lim f  x   f  x0 

nếu

x � x0

.

Hàm số không liên tục tại x  x0 gọi là gián đoạn tại x0 .
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
y  f  x
Định nghĩa 2: Hàm số
liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng đó.
y  f  x
 a; b nếu nó liên tục trên  a; b  và
Hàm số
được gọi là liên tục trên

lim f  x   f  a 

x �a 

b) Hàm số
liên tục tại 0 nếu
.
2
�x  3 x  2
, x �1
�
f  x   � x 1
�
1
, x  1 . Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x  1 .
�
Cho hàm số

Định lý 2: Giả sử

VD 1.

y  f  x

Lời giải
Ta có:
+ TXĐ: D  �.
f  1  1
+
.

lim f  x   lim
x �1


x2  1
f  x  2
x  5 x  6 liên tục trên khoảng
Vậy theo định lí ta có hàm số

 2; � .

 �; 3 ;  3; 2 

và


VD 3.

�x 2
, x �1
� 3
�2 x
f  x  �
, 0 �x  1
1 x
�
�x sin x , x  0
y  f  x
�
Cho hàm số
. Xét tính liên tục của hàm số
.
Lời giải
TXĐ: D  �.


.
Vậy hàm số liên tục tại x  1 .
Với x  0 ta có:
x �1

f  0  0

;

lim f  x   lim

x �0

x �0

lim f  x   0  f  0 
x �0

2 x3
0
1 x
;

x 2 . lim
lim f  x   lim  x.sin x   xlim
�0
x �0

x �0

Lời giải

Tập xác định: D  �.

�Với x  0 ta có

x0

f  x 

x 1 1
 0;  � .
x
nên hàm số liên tục trên

2
�Với x  0 ta có f  x   2 x  3m  1 nên hàm số liên tục trên  �; 0  .
Do đó hàm số liên tục trên � khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x  0 .

Ta có:

f  0   3m  1

lim f  x   lim

x �0

x �0

và


ra


A.
Câu 2.

y

3x  4
x2 .

Cho bốn hàm số

4
2
C. y  x  2 x  1 .

B. y  sin x .

f1  x   x 5  x  2, f 2  x  

D.

y

x
x 4 .
2



2




x 1 .
x 1 .
x 1 .
A.
B.
. C.
D.
x 2 1
f ( x)  2
x  5 x  6 .Khi đó hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng nào sau đây?
Cho hàm số
A.

Câu 5.

B.

1
.
x 1

y

Hàm số

lim
f
x



III
  x �1
2.
 II  và  III  .
D. Chỉ

f  x  2x 1

. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
1
x0  
f  x
f  x
2.
A. Hàm số
liên tục tại
B. Hàm số
liên tục tại x0  1 .
C. Hàm số

Câu 9.

y



2

A. 0 .

Câu 7.

 2;3 .

Hàm số nào sau đây liên tục trên
A.

Câu 6.

 �;3 .

f  x

gián đoạn tại

x0  1

.

D. Hàm số

f  x

gián đoạn tại


x  1 liên tục với mọi x �1 .
 II  . f  x   sin x liên tục trên �.
x
f
x



 III  .
x liên tục tại x  1 .

 I  . f  x 

A. Chỉ

 I

đúng.

Câu 11. Cho hàm số
A. 3 .

f  x 

B. Chỉ

 I

và


�
Câu 12. Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất ?
 �;1 � 1; � và gián đoạn tại điểm x  1 .
A. Hàm số liên tục trên
 1: � .
B. Hàm số không liên tục trên
C. Hàm số gián đoạn tại điểm x  1 .
D. Hàm số liên tục trên �.
�x 2  4 x  3
khi x �3
�
y  f  x  � x  3
�
m
khi x  3 . Để hàm số liên tục tại x  3 thì giá trị của m là
�
Câu 13. Cho hàm số
A. 2 .
B. 4 .
C. 0 .
D. 2 .
�x 2  x  2
khi x �1
�
f  x  � x 1
�
3m
khi x  1 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số gián
�


B. a  3 .

C. a  2 .

D. a  4 .

�x 2  1
khi x �1
�
f  x   �x  1
�
3 x  m khi x �1 liên tục tại điểm x  1 là
�
Câu 17. Giá trị của m sao cho hàm số
A. 5 .
B. 1 .
C. 1 .
D. 5 .


�x 3  8
khi x �2
�
f  x   �x  2
�
mx  1 khi x  2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại
�
Câu 18. Cho hàm số
x  2.

�
�x  1
f  x  �
1
�
ax  khi x �1
�
� 2
Câu 19. Giá trị của tham số a để hàm số
liên tục tại điểm x  1 là
A. 5 .
B. 1 .
C. 1 .
D. 5 .

Câu 20. Cho hàm số
tục tại x  1 ?

�ax 2   a  2  x  2
khi x �1
�
f  x  �
x32
�
8  a2
khi x  1
�
B. 0 .

A. 2 .


. Tính tổng các giá trị tìm được của tham số m để hàm
C. 5 .

D. 1 .

. Khẳng định nào sau đây đúng?
x 0
B. Hàm số gián đoạn tại 0
.
D. Tất cả đều sai.

� 3 x  1  3 2  6 x
khi x  1
�
y  f  x  �
x 1
�
m x
khi x �1
�

Câu 24. Tìm a để hàm số
A. 1 .

C. 3 .

�2 x 2  3 x  2
khi x �2
�

liên tục tại x  0 .

1
C. 4 .

D.



1
6.


Câu 25. Cho hàm số
tại x  0 .

� 2x  1 1
khi x �0
�
f  x  � x
�
2m  1
khi x  0
�

A. m  1 .

. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số liên tục

B. m  3 .

khi x �0
�
f  x  � x
�
2
khi x  0
�
C. a  2n  0 .

liên tục tại x  0 thì biểu

D. a  2n  0 .

�x  x  2
khi x  2
� 2
x

4
�
�
f  x   �x 2  ax  3b khi x  2
�2a  b  6 khi x  2
�
�
�
Câu 28. Cho hàm số
liên tục tại x  2. Tính I  a  b .
19
93


)

có đồ thị như hình vẽ sau.

liên tục trên khoảng nào sau đây?

 3; 1 .

 0; � .

 1;0 

B.
C.
D.
�x2 - 2x + a khi x �0
f ( x) = �
�
�
2x + 2b
khi x < 0 a, b ��, a > 1
�
�
Câu 30. Cho hàm số
,
. Biết hàm số liên tục trên � và đồ
thị của nó cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 1. Giá trị của biểu thức
a - b bằng
A. 3.