ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
Năm học 2002-2003.
Bài1:(4điểm).
Cho phương trình :
012)12(
2
=+−−
mxxm
.
a/ Đònh m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1; 0).
b/ Đònh m để phương trình có hai nghiệm
21
; xx
thõa
1
2
2
2
1
=−
xx
.
Bài 2: (5điểm).
Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây;
a/
381257
2
+−=−+−
xxxx
; b/


b/ Cho
1,1
≥≥
yx
. Chứng minh
xyyx
+
≥
+
+
+
1
1
1
1
1
1
22
Bài 4: (3điểm).
Từ điểm a ở ngoài đường tròn ( o), kẻ tiếp tuyến AB , AC với đưòng tròn (B,C là
các tiếp điểm ) . Trên tia đối của tia BC lấy điểm D .Gọi E là giao điểm của DO và
AC .Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O)Tiếp tuyến này cắt AB ở K .Chứng
minh D,B,O,K cùng nằm trên một đường tròn .
Bài 5: (2điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC . Có hai đường thẳng
lưu động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt ở D và E . Xác
đònh vò trí của D và E để diện tích tam giác DME đạt giá trò nhỏ nhất .
Bài 6: (3điểm).
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Qua A vẽ hai
đường thẳng (d) và (d’) đường thẳng (d) cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D , đường thẳng

+
−
−
−
+
=
.
a/ Tìm điều kiện đối với x để biểu thức K xác đònh .
b/ Rút gọn biểu thức K.
c/Với những giá trò nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trò nguyên .
Bài 2: (2điểm).
Cho hàm số : y= x + m (D ).Tìm các giá trò của m để đường thẳng (D) :
a/ Đi qua điểm A( 1; 2003).
b/Song song với đường thẳng x- y +3 = 0;
c/ Tiếp xúc với parabol
.2
4
1
xy
−=
.
Bài 3: (3điểm).
a/ Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13 m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m
. Tính diện tích hình chữ nhật đó.
b/ chứng minh bất đẳng thức :

20032002
2002
2003

Bài 2: (3điểm).Chứng minh đẳng thức
a
b
a
ba
b
a
b
ab
−
−
=
−
−
, với a,b trái dấu .
Bài 3: (3điểm).
Rút gọn
3242)4321(23
3814
3
)3612(
+++−−−
−
−
.
Bài 4: (3điểm).
Trong các hình chữ nhật có diện tích là p , hình chữ nhật nào có diện tích lớn nhất ? Tìm
diện tích đó.
Bài 5: (4điểm).
Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngoài đường tròn (O) .Kẻ tiếp tuyến AM,AN

2
1
1
(
+
−
−−+
−
−
=
x
x
xxxx
x
x
P
.Với
1,0
≠≥
xx
.
1/ Rút gọn P ;
2/ Tìm x sao cho P< 0 ;
Bài 2: (1,5điểm).
Cho phươngtrình :
02)12(
2
=−+−+
mxmmx
.

.
Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm :
.0))()((
222
=++++++
baxcxacxbxcbxax
ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN –LÊ HỒNG PHONG -TỈNH NAM ĐỊNH
Năm học 2003-2004.
Bài 1 : (1,5 điểm).
Cho phương trình :
.01
2
=−+
xx
Chứng minh trằng phương trình có hai nghiệm trái dấu
. Gọi
1
x
là nghiệm âm của phương trình . Hãy tính giá trò của biểu thức :
.1310
11
8
1
xxxP
+++=
Bài 2( 2 điểm).
Cho biểu thức :
.2)3(5 xxxxP
+−+−=
Tìm giá trò nhỏ nhất , lớn nhất của P khi

a/ Chứng minh rằng không tồn tại ba đoạn thẳng cùng màu xuất phát từ cùng
một điểm .
b/ Hãy cho biết có nhiều nhất có bao nhiêu điểm thõa mãn đề bài .