CHUYÊN ĐỀ :TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG
=====    =====
I. Tóm tắt lý thuyết:
1. Nhắc lại về quan hệ chia hết:
Cho
; ; 0.a b N b∈ ≠
Nếu có số tự nhiên k sao cho
.a b k
=
ta nói a chia hết cho b
Kí hiệu:
a bM
đọc là: a chia hết cho b hoặc b chia hết a; hoặc a là bội của b hoặc b là ước của
a.
2. Tính chất chia hết của một tổng:
a) Tính chất 1: Nếu
a m ⇒M M M ; b m a + b m
+ Chú ý: @ Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu : khi
a b
≥
thì
a m ⇒M M M ; b m a - b m
@ Tính chất 1 cũng đúng với một tổng nhiều số hạng:
1 2 1 2
; ;....; ...
n n
a m a m a m a a a m⇒ + + +M M M M

b) Tính chất 2: Nếu a không chia hết cho m; b chia hết cho m thì a+b không chia hết cho m
+ Chú ý: @ Tính chất 2 đúng với một hiệu a>b
@Tính chất 2 đúng với một tổng nhiều số hạng, trong đó chỉ có một số hạng

Nếu tổng của hai số chia hết cho 9 và một trong hai số chia hết cho 3
thì số còn lại chia hết cho 3
Nếu hiệu của hai số chia hết cho 6 và số thứ nhất chia hết cho 6 thì số
thứ hai chia hết cho 3
Nếu a
M
5 ; b
M
5 ; c không chia hết cho 5 thì abc không chia hết cho 5
Nếu a
M
18 ; b
M
9 ; c không chia hết cho 6 thì a + b + c không chia hết
cho 3
125.7 – 50 chia hết cho 25
1001a + 28b – 22 không chia hết cho 7
Nếu cả hai số hạng của một tổng không chia hết cho 5 thì tổng không
chia hết cho 5
Để tổng n + 12
M
6 thì n
M
3
Bài 5: Cho
a cM
và
b cM
. Chứng minh rằng:
;ma nb c ma nb c+ −M M

6 1n n+ −M
g)
4 5 2 1n n− −M
h)
12 8n n− −M
i)
20 nM
k)
28 1n −M
l)
113 7n+ M
m)
113 13n+ M
Bài 9: Cho hai số tự nhiên
abc
và
deg
đều chia 11 dư 5. Chứng minh rằng số
deg 11abc M
Bài 10: Cho biết số
7.abcM
Chứng minh rằng:
2 3 7a b c+ + M
Bài 11: Cho
deg 13abc − M
. Chứng minh rằng:
deg 13abc M
Bài 12: Cho số
4abcM
trong đó a, b là các chữ số chẵn. Chứng minh rằng: