4
Chương I
TÍN HIỆU RỜI RẠC VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
I. TÍN HIỆU RỜI RẠC
1. Định nghĩa
Một tín hiệu rời rạc có thể được biểu diễn bằng một dãy các giá trị (thực hoặc
phức). Phần tử thứ n của dãy (n là một số nguyên) được ký hiệu là x(n) và một dãy được
ký hiệu như sau:
x = {x(n)} với - ∞ < n < ∞ (1.1.a)
x(n) được gọi là mẫu thứ n của tín hiệu x.
Ta cũng có thể biểu diển theo kiểu liệt kê. Ví dụ:
x = { ..., 0, 2, -1, 3, 25, -18, 1, 5, -7, 0,...} (1.1.b)
Trong đó, phần tử được chỉ bởi mũi tên là phần tử rương ứng với n = 0, các phần
tử tương ứng với n > 0 được xếp lần lượt về phía phải và ngược lại.
Nếu x = x(t) là một tín hiệu liên tục theo thời gian t và tín hiệu này được lấy mẫu
cách đều nhau một khoảng thời gian là Ts, biên độ của mẫu thứ n là x(nTs). Ta thấy,
x(n) là cách viết đơn giản hóa của x(nTs), ngầm hiểu rằng ta đã chuẩn hoá trục thời gian
theo Ts.
Ts gọi là chu kỳ lấy mẫu (Sampling period).
Fs = 1/Ts được gọi là tần số lấy mẫu (Sampling frequency).
Ghi chú:
- Từ đây về sau, trục thời gian sẽ được chuẩn hóa theo Ts, khi cần trở về thời gian thực,
ta thay biến n bằng nTs.
- Tín hiệu rời rạc chỉ có giá trị xác định ở các thời điểm nguyên n. Ngoài các thời điểm
đó ra tín hiệu không có giá trị xác định, không được hiểu chúng có giá trị bằng 0.
- Để đơn giản, sau này, thay vì ký hiệu đầy đủ, ta chỉ cần viết x(n) và hiểu đây là dãy x
= {x(n)}.
2. Các tín hiệu rời rạc cơ bản
a/. Tín hiệu xung đơn vị (Unit inpulse sequence):
Đây là một dãy cơ bản nhất, ký hiệu là δ(n) , được định nghĩa như sau:
5

f/. Dãy có chiều dài hữu hạn
7
Dãy được xác định với số mẫu N hữu hạn (N điểm trên trục hoành) gọi là dãy có
chiều dài hữu hạn. N được gọi là chiều dài của dãy, kí hiệu là:
L[x(n) ] = N
Ví dụ: L[rect
N
(n) ]=N
g/. Năng lượng và công xuất của dãy.
· Năng lượng của một dãy được định nghĩa như sau:
Trong đó là modul của x(n).
Ví dụ:
· Công xuất trung bình của dãy:
· Năng lượng của dãy x(n) trong khoảng :
Vậy
· Dãy năng lượng: nếu năng lượng của dãy x(n) là hữu hạn thì x(n) được gọi là dãy
năng lượng.
· Dãy công xuất: nếu công xuất trung bình của x(n) là hữu hạn thì x(n) được gọi là
dãy công xuất.
3. Các phép toán cơ bản của dãy
Cho 2 dãy x
1
= {x
1
(n)} và x
2
= {x
2
(n)} các phép toán cơ bản trên hai dãy được định
nghĩa như sau:

), với n
0
> 0 (1.11)
- Dịch trái: Gọi z là dãy kết quả trong phép dịch trái n0 mẫu dãy x ta có:
z(n) = x(n+n
0
), với n
0
> 0 (1.12)
Phép dịch phải còn gọi là phép làm trễ (delay). Phép làm trễ một mẫu thường được ký
hiệu bằng chữ D hoặc Z
-1
. Các phép dịch trái và dịch phải được minh họa trong các
hình 1.4.
Hình 1.4: (a) Dãy x(n)
(b) Phép dịch phaỉ 4 mẫu tr ên tín hiệu x(n)
(c) Phép dịch traí 5 mẫu trên tín hiệu x(n)
Nhận xét: Ta thấy, một tín hiệu x(n) bất kỳ có thể biểu diễn bởi tín hiệu xung đơn vị
như sau:
Cách biểu diễn này sẽ dẫn đến một kết quả quan trọng trong phần sau.
Ghi chú:
Các phép tính thực hiện trên các tín hiệu rời rạc chỉ có ý nghĩa khi tần số lấy mẫu của
các tín hiệu này bằng nhau.
II. HỆ THỐNG RỜI RẠC
1. KHÁI NIỆM
a. Hệ thống thời gian rời rạc (gọi tắt là hệ thống rời rạc):
Hệ thống thời gian rời rạc là một thiết bị (device) hay là một thuật toán (algorithm)
mà nó tác động lên một tín hiệu vào (dãy vào) để cung cấp một tín hiệu ra (dãy ra) theo
một qui luật hay một thủ tục (procedure) tính toán nào đó. Định nghĩa theo toán học, đó
là một phép biến đổi hay một toán tử (operator) mà nó biến một dãy vào x(n) thành dãy

sơ đồ khối như sau:
c2/. Phần tử nhân một dãy với một hằng số (Constant multiplier), tương ứng với phép
nhân một hệ số với một dãy, có sơ đồ khối như sau:
c3/. Phần tử cộng (Adder), tương ứng với phép cộng hai dãy, có sơ đồ khối như sau:
c4/. Phần tử làm trễ một mẫu (Unit Delay Element), tương ứng với phép làm trễ
một mẫu, có sơ đồ khối như sau:
Trong các phần sau, ta sẽ thành lập một hệ thống phức tạp bằng sự liên kết các
phần tử cơ bản này.
2. PHÂN LOẠI HỆ THỐNG RỜI RẠC
Các hệ thống rời rạc được phân loại dựa vào các thuộc tính của nó, cụ thể là các
thuộc tính của toán tử biểu diễn hệ thống (T).
1/. Hệ thống không nhớ (Memoryless systems):
Hệ thống không nhớ còn được gọi là hệ thống tĩnh (Static systems) là một hệ
thống mà đáp ứng y(n) ở mỗi thời điểm n chỉ phụ thuộc vào giá trị của tác động x(n) ở
cùng thời điểm n đó.
Một hệ thống không thỏa mãn định nghĩa trên được gọi là hệ thống có nhớ hay hệ
thống động (Dynamic systems).
Ví dụ 1.4:
- Hệ thống được mô tả bởi quan hệ vào ra như sau: y(n) = [x(n)]2 , với mọi
giá trị của n, là một hệ thống không nhớ.
- Hệ thống làm trễ trong ví dụ 1.1, nói chung là một hệ thống có nhớ khi n
d
>0.
- Hệ thống trung bình động trong ví dụ 1.2 là hệ thống có nhớ, trừ khi M
1
=M
2
=0.
11
2/. Hệ thống tuyến tính (Linear systems)

mẫu
thì đáp ứng cũng dịch n
d
mẫu, ta có:
Nếu y(n) =T{x(n)} và x
1
(n) = x(n-n
d
)
thì y
1
(n) = T{x
1
(n)} = {x(n-n
d
)} = y(n - n
d
) (1.21)
12
Ta có thể kiểm chứng rằng các hệ thống trong các ví dụ trước đều là hệ thống bất biến
theo thời gian.
Ví dụ : Hệ thống nén (compressor) được định nghĩa bởi quan hệ:
y(n) = x(M.n) (1.22)
với -∞ < n < ∞ và M là một số nguyên dương.
Hệ thống này được gọi là hệ thống nén bởi vì nó loại bỏ (M-1) mẫu trong M mẫu
(nó sinh ra một dãy mới bằng cách lấy một mẫu trong M mẫu). Ta sẽ chứng minh rằng
hệ thống này không phải là một hệ thống bất biến.
Chứng minh: Gọi y
1
(n) là đáp ứng của tác động x

0
của n, đáp ứng tại thời điểm n=n
0
chỉ phụ thuộc vào các giá trị của kích thích ở các thời điểm n ≤ n
0
. Ta thấy, đáp ứng của
hệ chỉ phụ thuộc vào tác động ở quá khứ và hiện tại mà không phụ thuộc vào tác động ở
tương lai. Ta có;
y(n) = T{x(n)} = F{x(n),x(n-1),x(n-2),. . .} (1.23)
với F là một hàm nào đó.
Hệ thống trong ví dụ 1.1 là nhân quả khi n
d
³ 0 và không nhân quả khi n
d
< 0.
Ví dụ : Hệ thống sai phân tới (Forward difference systems) được định nghĩa bởi
quan hệ:
y(n) = x(n+1) - x(n) (1.23)
Rõ ràng y(n) phụ thuộc vào x(n+1), vì vậy hệ thống này không có tính nhân quả.
Ngược lại, hệ thống sai phân lùi (Backward difference systems) được định nghĩa
bởi quan hệ: y(n) = x(n) – x(n-1) (1.24)
là một hệ thống nhân quả.
5/. Hệ thống ổn định (Stable systems)
13
Một hệ thống ổn định còn được gọi là hệ thống BIBO (Bounded-Input
Bounded-Output) nếu và chỉ nếu với mỗi tín hiệu vào bị giới hạn sẽ cung cấp dãy ra
giới hạn.
Một dãy vào x(n) bị giới hạn nếu tồn tại một số dương hữu hạn Bx sao cho:
|x(n)| ≤ Bx < +∞ , với mọi n (1.25)
Một hệ thống ổn định đòi hỏi rằng, ứng với mỗi dãy vào hữu hạn, tồn tại một số dương

nghĩa bởi biểu thức sau:
Pt(1.30) được viết lại: y(n) = x(n)*h(n) (1.32)
vậy, đáp ứng của một hệ thống bằng tích chập tín hiệu vào với đáp ứng xung của nó.
Như vậy, với mỗi một giá trị của n ta phải tính 1 tổng theo k của tích x(k).h(n-k) như
sau:
Ví dụ:
…..
…..
Tập hợp các giá trị của y(n) ta sẽ có y.
2.2. Phương pháp tính tích chập bằng đồ thị
Tích chập của hai dãy bất kỳ có thể được tính một cách nhanh chóng với sự trợ
giúp của các chương trình trên máy vi tính. Ở đây, phương pháp tính tích chập bằng đồ
thị được trình bày với mục đích minh họa. Trước tiên, để dễ dàng tìm dãy x
2
(n-k), ta có
thể viết lại: