Hướng dẫn học sinh giải các bài tập về tỉ lệ
thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
I. Lời giới thiệu
Toán học ngày nay giữ một vai trò quan trọng đối với cách mạng khoa học
kỹ thuật. Nó ngày càng thu hút sự quan tâm của nhiều ng ười đ ối v ới vi ệc
học toán ở trường phổ thông và kích thích sự ham muốn của học sinh ở
mọi lứa tuổi.
Luật Giáo dục 2005(điều 5) quy định: “ Phương pháp giáo dục ph ải phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi
dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê
học tập và ý chí vươn lên”. Với mục tiêu giáo dục ph ổ thông là “ giúp h ọc
sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, th ẩm mĩ và các kỹ
năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng t ạo, hình
thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và
trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục h ọc lên ho ặc đi vào
cuộc sống lao động , tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”. Ch ương trình
giáo dục phổ thông ban hành kèm theo quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT
ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng Bộ giáo dục và Đào tạo cũng đã nêu: “Ph ải
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo c ủa h ọc sinh; phù h ợp
với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh; đi ều ki ện c ủa t ừng
lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp t ự h ọc, kh ả năng h ợp tác;
rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình
cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho h ọc sinh”.
Muốn cho học sinh nhất là học sinh Trung học c ơ s ở có nh ững tính tích
cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo có năng l ực tự h ọc, kh ả năng th ực
hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên thì đòi hỏi người giáo viên


phải có một phương pháp dạy học đạt hiệu quả cao đối v ới t ừng bài
dạy.Tôi là một giáo viên được phân công giảng dạy môn toán 7 nhiều năm
liền và khi dạy đến phần giải toán về tỉ lệ thức và tính ch ất của dãy t ỉ s ố

* Tính chất 1: Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức
Nếu = thì ad = bc
* Tính chất 2: Tính chất hoán vị
Từ tỉ lệ thức = (a, b, c, d ¹ 0) ta có thể suy ra ba tỉ lệ thức khác bằng cách:
- Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau: =
- Đổi chỗ trung tỉ cho nhau: =
- Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau và đổi chỗ trung tỉ cho nhau: = .
1.2. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
a. Tính chất:
= = = (b ¹ d, b ¹ - d)
Từ dãy tỉ số bằng nhau: = = ta suy ra
*= = = =
*= = = =
Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa
b. Khi nói các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c nghĩa là ta có: = =
Ta cũng viết x: y: z = a: b: c
2. Một số dạng bài tập thường gặp.


2.1. Dạng 1: TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG (HOẶC HIỆU) VÀ TỈ SỐ CỦA
CHÚNG
1. Phương pháp giải: Để tìm hai số x và y biết tổng x + y = u hoặc hiệu xy = v và tỉ số = ta làm như sau:
a, Từ = Þ =
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
===Þx=.a;y=.b
b, Từ = Þ =
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
== =Þ x=.a;y=.b
2. Bài tập áp dụng
2.1. Tìm hai số x và y biết = và x + y = 110.

Vì = 5 Þ x = 5. 2 = 10
= 5 Þ y = 5. 3 = 15
= 5 Þ z = 5. 4 = 20
Vậy số học sinh của tổ 1, tổ 2, tổ 3 lần lượt là: 10; 15; 20 h ọc sinh.


2.5. Tìm a, bÎ N* biết = và a2 + b2 = 208
Hướng dẫn
Từ = Þ = Þ =
Áp dụng tính chất của dãytỉ số bằng nhau ta có:
= = = = 16
Vì = 16 Þ a2 = 16. 4 = 64 Þ a = 8; a = - 8 (loại)
= 16 Þ b2 = 16. 9 = 144 Þ b =12; b = - 12 (loại)
Vậy a = 8 ; b = 12.
3. Một số bài tập tương tự:
3.1. Tìm hai số x và y, biết = và x + y = 60.
3.2. Tìm hai số x và y, biết = và y - x = 26.
3.3. Tìm diện tích của một hình chữ nhật có tỉ số giữa hai cạnh của nó
bằng
và chu vi của hình chữ nhật bằng 40 m.
3.4. Tỉ số sản phẩm làm được của hai công nhân là 0,8. Hỏi mỗi công nhân
làm được bao nhiêu sản phẩm, biết rằng người này làm nhiều hơn ng ười
kia 50 sản phẩm.
2.2. Dạng 2. CHIA MỘT SỐ THÀNH CÁC PHẦN TỈ LỆ VỚI CÁC SỐ CHO
TRƯỚC
1. Phương pháp giải
Giả sử phải chia số S thành ba phần x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c. Ta làm
như

sau:

Vì = 2 Þ x = 2 . 8 = 16; = 2 Þ y = 2 . 12 = 24; = 2 Þ z = 2 . 15 = 30
Vậy x = 16; y = 24; z = 30.
2.3. Tìm các số x, y, z, biết x : y : z = 3 : 5 : (- 2) và 5x – y + 3z = 124.


Hướng dẫn
Từ x : y : z = 3 : 5 : (- 2) Þ = = Þ = =
Þ = =
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
= = = = = 31
Vì = 31 Þ x = 31. 3 = 93; = 31 Þ y = 31. 5 = 155;
= 31 Þ z = 31. 2 = 62.
Vậy các số cần tìm là: x = 93; y = 155; z = 62.
2.4. Tìm các số x, y, z biết:
. x = . y = . z và - x + y + z = - 120.
Hướng dẫn
Từ . x = . y = . z Þ . x = . y = . z Þ = =
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
=====5
Vì = 5 Þ x = 5 . 33 = 165; = 5 Þ y = 5 . 4 = 20; = 5 Þ z = 5 . 5 = 25
Vậy các số cần tìm là: x = 165 ; y = 20 ; z = 25.
2.5. Tìm các số x, y, z biết:
= = và x - 2y + 3z = 14
Hướng dẫn
Từ = = suy ra = =
Þ==
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:


=== =

Þk=±1
Với k = 1 Þ x = 2; y = 5
Với k = -1 Þ x = - 2; y = - 5
Vậy hai số cần tìm là: x = 2, y = 5;
x = - 2, y = - 5.
2.2. Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 380 m 2, có chiều rộng
bằng chiều dài. Tính chiều rộng và chiều dài của mảnh đất đó.
Hướng dẫn
Gọi chiều rộng là x (m); chiều dài là y (m)
Theo đầu bài ta có: x . y = 380 và =
Từ = Þ =
Đặt k = = ta có x = 5k; y = 19k
Vì x . y = 380 nên 5k . 19k = 380 Þ 95k2 = 380
Þ k2 = 4 Þ k = ± 2
Với k = 2 Þ x = 10, y = 38
Với k = - 2 Þ x = - 10, y = - 38 (loại)

(x, y > 0)


Vậy chiều rộng của mảnh đất là: 10 m
chiều dài của mảnh đất là: 38 m
3. Một số bài tập tương tự:
3.1. Tìm x và y biết = và x . y = 112.
3.2. Tìm x và y biết = và x . y = 40.
3.3. Diện tích một tam giác bằng 27 cm 2. Biết rằng tỉ số giữa một cạnh và
đường cao tương ứng của tam giác bằng 1,5. Tính độ dài c ạnh và đ ường
cao nói trên.
2.4. Dạng 4. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỪ MỘT TỈ LỆ THỨC CHO TRƯỚC
1. Phương pháp giải:

a, =
b, (a+2c). (b+d) = (a+c). (b+2d).
Hướng dẫn
a, Từ = Þ =
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
= =

(1)

Mà = Þ . = . Þ =
Từ (1) và (2) suy ra =

(2)
(ĐPCM)

b, Từ = áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
==
Mặt khác từ = Þ = =
Từ (3) và (4) suy ra =

(3)
(4)


Þ (a+2c). (b+d) = (a+c). (b+2d). (ĐPCM)
3. Một số bài tập tương tự.
3.1. Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức: = ta có thể suy ra được tỉ lệ thức:
=

( nÎ N)


2.1

2,04: (-3,12) = = =

2.
2

(-1 ) : 1,25 = : = . =


2.3 4 : 5 = 4 : = 4 . =

2.

10 : 5 = : = . =

4

3. Một số bài tập tương tự:
* Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên
3.1

1,5 : 2,16

3.2

4:

3.3


Hướng dẫn
2.1

( . x) : = 1 :

2.2

4,5 : 0,3 = 2,25: (0,1x)

Þ ( .x) . = .

Þ 15 = 2,25: ( 0,1 x)

Þ .x =

Þ 0,1x = 2,25: 15

Þx=:

Þ 0,1x = 0,15

Þ x = . 2=

Þ x = 0,15 : 0,1 = 1,5

Vậy x =

Vậy x = 1,5



3. Một số bài tập tương tự:
* Tìm x trong các tỉ lệ thức sau
3.1

x : 0,16 = 9: x

3.2

3,8 : (2x) = : 2

3.3

(0,25x) : 3 = : 0,125

3.4

0,01 : 2,5 = (0,75x) : 0,75

3.5

1 : 0,8 = : (0,1x)

3.6

(3x - 2) : 1 = 2 : 2

2.7. Dạng 7. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỶ LỆ THUẬN, ĐẠI
LƯỢNG TỶ LỆ NGHỊCH, CHIA TỈ LỆ.
Bài toán 1. Số học sinh khối 6; 7; 8; 9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ


Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
=

Suy ra : x = 2 . 5 = 10
y = 3 . 5 = 15
z = 4 . 5 = 20
Vậy số học sinh của tổ 1, tổ 2, tổ 3 lần l ợt là : 10 ; 15 ; 20 học sinh


Bài toán 3: Chia số 136 thành 3 phần tỉ lệ nghịch với

?

Giải:
Gọi 3 phần được chia bởi số 136 là x; y; z ( x; y; z > 0)
Theo đề bài ta có:

(1) và x+ y + z = 136

(1)

Chia cả 3 tỷ số của (1) cho BCNN ( 8; 5 ) = 40 ta có:

à

x = 35 . 1 = 35
y = 45 . 1 = 45
z = 56 . 1 = 56


(1)

(2)

Từ (1) và (2) ta có:

Vậy chiều cao tương ứng với ba cạnh tỉ lệ với các số 6; 4; 3.
Bài toán 6:Tìm hai số khác 0 biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng tỉ l ệ v ới
5;1;12.


GIẢI:
Gọi hai số phải tìm là a, b (

), a > b ta có:

Xét

Do đó

Từ

Thay

Thay a = 6 vào

vào ta có:

ta có:


Tính giá trị của biểu thức P biết các số x, y, z lần lượt tỉ lệ với 5; 4; 3


Giải:
Theo đầu bài ta có

Suy ra :

Bài toán 3: Cho

và

Tìm giá trị của:

Giải:

(Vì

)

=>3a = b+c+d;
3b = a+c+d
=> 3a-3b = b- a
=> 3(a- b) = -(a-b)
=>4(a-b) = 0 => a = b
Tơng tự => a = b = c = d => A = 4
Bài toán 4: Ba số a, b, c khác nhau và khác 0 thoả mãn điều kiện


Chứng


(đpcm)