SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A) Phương pháp :
1. Đối với loại phương trình có 3 hướng để giải quyết:

Hướng 1:
Bước 1: Đưa phương trình về dạng :
kxf
=
)(
(1)
Bước 2 : Xét hàm số
)(xfy
=
Dùng lập luận để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến
Bước 3 : Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất
0
xx
=
( mà ta nhẩm được)

Hướng 2:
Bước 1 : Đưa phương trình về dạng :
)()( xgxf
=
(1)
Bước 2 : Xét hai hàm số
)(xfy
=
và
)(xgy
=

kxf
>
)(
(1)
Bước 2: Xét hàm số
)(xfy
=
.Dùng lập luận để khẳng định hàm số tăng (giảm)
Bước 3: Từ (1) ta thấy
)()(
α
fxf
>
Bước 4: Dựa vào định nghĩa về đơn điệu suy ra
α
>
x
nếu hàm số tăng hay
α
<
x

nếu hàm số giảm
Hướng 2:
Bước 1: Đưa phương trình về dạng :
)()( vfuf
>
(1)
Bước 2: Xét hàm số
)(xfy

)223(log
13
2
3
2
=






+++−
−−
xx
xx
5.
21
)1(22
2
−=−
−−
x
xxx
6.
1sin4
1
5sin8
1
1sin45sin8

x
2
1
≥⇔
x
Nhận xét : số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hàm số
1414
2
−+−=
xxy
và
1
=
y
Xét hàm số
1414
2
−+−=
xxy
• Miền xác định :






+∞=
,
2
1

xx
Đặt
xt sin
=
, điều kiện
1
≤
t
Khi đó phương trình có dạng :
123
=−−+
tt
tt
−+=+⇔
213
(*)
Xét hàm số :
• Hàm số
ttf
+=
3)(
là hàm đồng biến trên
[ ]
1,1
−=
D
• Hàm số
ttg
−+=
21)(

x
Xét hàm số
1)(
−=
xxf
là hàm đồng biến trên
[
)
+∞=
,1D
Xét hàm số
54)(
3
+−−=
xxxg
• Miền xác định
[
)
+∞=
,1D
• Đạo hàm :
⇔∈∀<−−=
Dxxy 043
2'
hàm số nghịch biến
trên
D
Từ (*) ta có :
)()( xgxf
=

(*)
Điều kiện :
023
2
≥+−
xx



≥
≤
⇔
2
1
x
x
Đặt
0,23
2
≥+−=
uxxu
Lúc đó :
22
113 uxx
−=−−
Khi đó : (*)
2
5
1
)2(log


++=
• Miền xác định:
[
)
+∞=
,0D
• Đạo hàm :
03ln.5.2.
5
1
3ln)2(
1
)(
2
'
>+
+
=
x
x
x
xf
,
Dx
∈∀
Suy ra hàm số tăng trên D
Mặc khác :
2)1(
=

xxx
−+=−+
−−
21
2
212
(*)
Xét hàm số
txf
t
+=
2)(
• Miền xác định :
RD
=
• Đạo hàm :
Dttf
t
∈∀>+=
012.2ln)('
Suy ra hàm số đồng biến
Từ (*) có dạng
)()1(
2
xxfxf
−=−
11
2
=⇔−=−⇔
xxxx

−
−
−−
x
e
x
e
xx
(*)
Xét hàm số
t
etf
t
1
)(
−=
• Miền xác định :
RD
=
• Đạo hàm :
Dx
t
exf
t
∈∀>+=
0
1
)('
2
Suy ra hàm số đồng biến.



+=∨+=
+=
⇔
π
π
π
π
π
π
2
6
5
2
6
2
2
kxkx
kx
7.
1111
22
=++++−+−+
xxxxxx
Điều kiện :








≥+−
≥−



≥+−
≤−
⇔−≥+−
22
2
2
1
0
01
0
1
xxx
x
xx
x
xxx
x
x
x
∀⇔



2
2
xxxx
x
xx
x
xxx
x
x
x
∀⇔



−≤
−≥
⇔
1
1
Vậy
RD
=

Biến đổi phương trình về dạng :
1)1()1()1(11
22
++−++++=+−+
xxxxxx
1)1()1()1()1(1
22

ttt
tf
Nhận xét :
01212123)12(124441212
222
≥−+−>−++−=−++−=−++−
tttttttttt
⇔∀>⇒
xxf 0)('
hàm số đồng biến
Khi đó :
(*)
1)1()(
+=⇔+=⇔
xxxfxf
vô nghiệm
Vậy phương trình vô nghiệm
Loại 2:Giải các bất phương trình
1.
5429
>+++
xx
2.
1311632
22
−−−>+−−+−
xxxxxx
Bài làm:
1.
5429

∈∀>
+
+
+
=
0
42
1
92
1
)('
Suy ra hàm số đồng biến trên
D
Ta có :
5)0(
=
f
,do đó :
• Nếu
0
>
x
thì
5429)0()(
>+++⇔>
xxfxf
, nên
0
>
x

032
2
2
≤≤⇔







≥−
≥−
≥+−
≥+−
x
x
x
xx
xx
(*)
Biến đổi bất phương trình thânh:

xxxxxx
−++−>−++−
3116132
22
xxxx
−++−>−++−⇔
32)3(12)1(

)1(
11
2.





+=++
+=++
xyy
yxx
323
323
2
2
3.





=+−+−+
=+−+−+
=+−+−+
xzzzz
zyyyy
yxxxx
)1ln(33
)1ln(33