BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN LỚP 9
NĂM 2018-2019 (CÓ ĐÁP ÁN)


1. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2018-2019
có đáp án - Phòng GD&ĐT Con Cuông
2. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2018-2019
có đáp án - Phòng GD&ĐT Hà Trung
3. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2018-2019
có đáp án - Phòng GD&ĐT Hoài Nhơn
4. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2018-2019
có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Lai Vung
5. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2018-2019
có đáp án - Phòng GD&ĐT Tam Dương
6. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2018-2019
có đáp án - Phòng GD&ĐT Thạch Hà
7. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán 9 năm 2018-2019
có đáp án - Phòng GD&ĐT thành phố Buôn Ma Thuột
8. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thị xã môn Toán 9 năm 2018-2019
có đáp án - Phòng GD&ĐT Hồng Lĩnh
9. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2018-2019
có đáp án - Sở GD&ĐT GD&ĐT Hà Tĩnh
10. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2018-2019
có đáp án - Sở GD&ĐT GD&ĐT Hải Dương
11. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2018-2019
có đáp án - Sở GD&ĐT GD&ĐT Thái Bình


PHÒNG GD&ĐT CON CUÔNG


2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n3 + 3n2 + 2018n chia hết cho 6
Câu 3 (2,5 điểm): Cho đường thẳng (d) có phương trình:
(m+1)x + (m-2)y = 3
(d) (m là tham số)
a) Tìm giá trị của m biết đường thẳng (d) đi qua điểm A (-1; -2)
b) Tìm m để (d) cắt 2 trục tọa độ và tạo thành tam giác có diện tích bằng

9
.
2

Câu 4 (7,0 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên cùng nửa mặt
phẳng bờ AB vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Lấy điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn ( M
khác A và B). Kẻ MH vuông góc với AB tại H.
a) Tính MH biết AH = 3cm, HB = 5cm.
b) Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Gọi I là
giao điểm của AD và BC. Chứng minh M,I,H thẳng hàng.
c) Vẽ đường tròn tâm (O’) nội tiếp tam giác AMB tiếp xúc AB ở K.
Chứng minh diện tích SAMB = AK.KB
Câu 5 (1,5 điểm) Cho x; y là các số thực dương thỏa mãn (x+1)(y+1) = 4xy.
Chứng minh rằng:

1
3x 2  1



1
3y2 1


x 2
x 2
( x  1)( x  2)  2 x ( x  2)  (2  5 x )

( x  2)( x  2)

A=

b)



x  3 x  2  2x  4 x  2  5 x
( x  2)( x  2)

0,5



3 x ( x  2)
3 x

( x  2)( x  2)
x 2

1,0

Với x ≥ 0 và x ≠ 4 , tại x =

4


0,5

c)Với x ≥ 0 và x ≠ 4

Mặt khác

0,5

0,25

3 x
có giá trị nguyên.
x 2

3 x
6
 3
3
x 2
x 2

(vì

6
>0)
x 2

Suy ra 0 ≤ A < 3
Vì A nguyên nên A = 0 ; 1 ; 2


1)

0,5

1

x  2


0 x  2(kt / m)

 x  0

b)Đk

0,5

0≤ x ≤ 5

0,25

x  3  4 x  2x  6  5  x
 x  3  5  x  2( x  1) 2  4 (1)

0,25

Vế trái của (1) bé hơn bằng 4 ; vế phải lớn hơn hoặc bằng 4
 x 3  5 x


)
;0 ) B ( 0;
m 1
m2

0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25

Ta có tam giác OAB vuông tại O nên
0,25

3


S OAB 

1
1 3
3
OA.OB 
2
2 m 1 m  2



1 5
m 

2

0,5

y

x

D
M
C
I
A

H K O

B

a) Tam giác AMC vuông tại M
có MH là đường cao
MH = AH .BH ( hệ thức lượng….. )
= 3.5  15 (cm)

a) Vì AC song song với BD nên ta có

AC AI CM

.
 .

2
2
2 
2

2
2
2
2
2
1  a  (b  c)  1  a  (b  c )  2bc 
 
 

2
2
2
 2

AK 

1 2bc 1
 .
 bc
2 2
2
1

x


0,5

Ta có (1+a)(1+b) = 4
 3  a  b  ab
 ( a  b ) 2  2 ab  ab  2 ab  ab
Từ đó ab  1

0,5

Áp dụng AM – GM cho 2 số thực dương ta có
1
2



3x  1


1
x
3

1
x2




5


1
3x2  1



1
3y2 1



1 a
b
a
b
(



)
2 a  b a  b a 1 b 1

1
2ab  a  b
1
ab  3 1
1 3
(1 

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2018-2019

Môn thi: Toán. Thời gian: 150 phút


x− 1
x+ 8 
+

 3 + x − 1 10 − x 

 3 x− 1+ 1
: 
−
 x− 3 x− 1− 1

Câu 1: (4.0 điểm) Cho biểu thức P= 

1 

x − 1 

a. Rút gọn biểu thức P
b. Tính giá trị của biểu thức P khi x= 4

3+ 2 2
−
3− 2 2


Câu 4: (3.0 điểm)
a. Cho x, y>0 thoả mãn

x
2y
+
= 1 . Tìm giá trị lớn nhất của P=xy2.
1+ x 1+ y

b. Tìm các số tự nhiên n sao cho B=n2-n+13 là số chính phương.
Câu 5: (5.0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Gọi Ax, By là
các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt
phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến
với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Gọi I là trung điểm của
đoạn thẳng CD.
·
a. Tính số đo góc COD
1
2

b. Chứng minh OI= CD và OI vuông góc với AB.
c. Chứng minh: AC.BD = R2
d. Tìm vị trí của điểm M để tứ giác ABCD có chu vi nhỏ nhất.
Đề bài gồm có 1 trang 5 câu


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TRUNG
HƯỚNG DẪN CHẤM HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019
Câu

1
(4.0
điểm)

0.5

10 x − 1 − x x − 1 + 3 x + x x − 1 + 24 + 8 x − 1
2 x− 1+ 4
:
(3 + x − 1)(10 − x )
x − 1( x − 1 − 3)

0.5

18 x − 1 + 3 x + 24
2 x− 1+ 4
3( x − 1 + 3) 2
x − 1( x − 1 − 3)
:
.
=
=
(3 + x − 1)(10 − x) x − 1( x − 1 − 3) (3 + x − 1)(10 − x) 2( x − 1 + 2)

=

3( x − 1 + 3) x − 1( x − 1 − 3)
3 x − 1( x − 10)
−3 x− 1
.

4

(3 + 2 2) 2 −

4

(3 − 2 2) 2 =

(3 + 2 2) −

(3 − 2 2)
1.0
0.5


a. (1.0 điểm) ĐKXĐ: x ≥ − 1; y ≥ 1

0.25

 x + 1 − 3 y − 1 = − 1
⇔

 2 x + 1 + 5 y − 1 = 9

0.25

 2 x + 1 − 6 y − 1 = − 2
 y − 1 = 1
⇔ 


0.25

Thay vào phương trình đã cho ta được:
2
(4.0
điểm)

a2 − 5
a+
=5 ⇔ a2+2a-15=0 ⇔ a2-3a+5a-15=0 ⇔ (a-3)(a+5)=0 ⇒ a=-5
2

(loại); a=3 (thoả mãn đk)
Với a=3 ta có PT: x + 1 + 4 − x =3
5+2 ( x + 1)(4 − x) =9 ⇔ ( x + 1)(4 − x) =2 ⇔ 4x-x2+4-x=4 ⇔ x2-3x=0
⇔ x(x-3)=0
⇒ x=0 (thoả mẫn đk), x=3 (thoả mãn đk)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là { 0; 3}
c. (1.5 điểm) Gọi số cần tìm là: abcd 0 ≤ b, c, d ≤ 9;1 ≤ a ≤ 9)
Ta có abcd -5445= ab ⇔ 100. ab + cd -5445= ab ⇔ 99. 55-99 ab = cd
⇔ 99(55- ab )= cd
Vì cd là số có 2 chữ số nên 55- ab =0 hoặc 55- ab =1
+ Trường hợp 55- ab =00 ⇒ ab =55; cd =00 ⇒ abcd =5500
+ Trường hợp 55- ab =1 ⇒ ab =54; cd =99 ⇒ abcd =5499
Vậy các số cần tìm là: 5500 và 5499.

0.25

0.25


 96 + y + 2 z = 100
 y + 2z = 4

Do x, y, z là các số nguyên dương nên z=1; y=2, x=9
c. (1.5 điểm) Ta có xy+ (1 + x 2 )(1 + y 2 ) = 1
⇒ x2y2+(1+x2)(1+y2)+ 2xy (1 + x 2 )(1 + y 2 ) = 1
⇒ x2y2+x2+1+y2+x2y2+2xy (1 + x 2 )(1 + y 2 ) = 1
⇒ x2y2+x2+y2+x2y2+2xy (1 + x 2 )(1 + y 2 ) = 0
⇒ x2(y2+1)+y2(x2+1) +2xy (1 + x 2 )(1 + y 2 ) = 0
⇒

(

x 1 + y 2 + y 1 + x2

)

2

1
8

1
1
⇒ y=
2
2
1
1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là khi x=y=

a. (1.5 điểm) Ta có 1 + x + 1 + y = 1 ⇒ x(1+y)+2y(1+x)=(1+x)(1+y) ⇒
x+xy+2y+2xy=1+y+x+xy
⇒ 2xy+y=1
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có 1=y+2xy ≥ 2 2 y.2 xy = 2 2 xy 2
⇒ 1 ≥ 8xy2 ⇒ xy2 ≤

0.5

0.25

= 0

⇒ x 1 + y 2 + y 1 + x2 = 0
x

0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25

k=1
 2n − 1 + k = 3
(1) 
(2)
k = − 51
 2n − 1 − k = − 17
k = 51
 2n − 1 + k = 17


D

A

5

O

B

a. (1.25 điểm) OC là tia phân giác của góc ·
AOM (T/c
tia phân giác)
· (T/c tia phân
OD là tia phân giác của MOB
Giác)
· là hai góc kề bù
Mà ·
AOM và MOB
· =900
Nên OC ⊥ OD hay COD
b. (1.25 điểm) Tam giác COD vuông tại O và IC=ID
1
2

Suy ra OI= CD (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Ta có AC//BD (cùng vuông góc với AB)
Suy ra tứ giác ABCD là hình thang
⇒ OI là đường trung bình của hình thang

b) Cho x 

2  3  6  8 4
.
2 3 4

2
1
2  1 1



. Tính giá trị của biểu thức B  1  2 x  x 2  x 3  x 4 

2018

1

.

2 1 1

c) Cho x  3 3  2 2  3 3  2 2 và y  3 17  12 2  3 17 12 2 . Tính giá trị của biểu thức:

C  x 3  y 3  3  x  y   2018 .
Bài 2. (4.0 điểm)
a) Tìm các số nguyên dương có hai chữ số, biết số đó là bội của tích hai chữ số của chính số đó.
 1 1
1
1 

4
----------  HẾT  ----------

Trường THCS Đào Duy Từ
GV: Lê Hồng Quốc

" Đi rồi sẽ đến "

Năm học 2018 – 2019
Trang 1


Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951

Đề ôn thi HSG 9

ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Bài 1. (4.0 điểm)
2  3  6  8 4
.
2 3 4

a) Thu gọn biểu thức: A 

Lời giải.
2 3 4  2







2 1 1


thức, ta được: B  1  2 2 


Lời giải.
2
2







2  1 1

 2    2   2  
2

 2. Thay x  2 vào biểu

3

4 2018

2 1 1


3

và y 3

3

3

● Cộng vế theo vế, ta được: x 3  y 3  40  3 x  3 y  x 3  y 3  3  x  y   2018  2058 .
 Vậy C  2058 khi x  3 3  2 2  3 3  2 2 và y  3 17  12 2  3 17 12 2 .
Bài 2. (4.0 điểm)
a) Tìm các số nguyên dương có hai chữ số, biết số đó là bội của tích hai chữ số của chính số đó.
Lời giải.
Gọi số cần tìm là ab , theo đề, ta có 10a  b  k.a.b . (Trong đó: 1  a, b  9 và a, b, k   ).
10
10
1
10
10
Suy ra b 
. Vì 1  b  9  1 

9 
 k   10.
k.a 1
1
1
9
a


 k  (không thỏa) hoặc k  2 (thỏa) 


a 3 b  6
3
b  6

b  6

Trường THCS Đào Duy Từ
GV: Lê Hồng Quốc

" Đi rồi sẽ đến "

Năm học 2018 – 2019
Trang 2


Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951

Đề ôn thi HSG 9

a  1


a.k  2  1

1



 k  (không thỏa) hoặc

a 2 b  4
2

b

4


a  2

 ab  24 .
k  3 (thỏa) 

b  4


a  1
a.k  5  1
1


 k  6 (thỏa) 
 ab  12 .
● Nếu k   5  


a

 2 3
2017 2018 

2019 .
Lời giải.
 1 1
1
Ta có B  1.2.3.....n.1    ...    là số tự nhiên. Thật vậy
 2 3
n

  đúng.
● Với n  1 thì B  1   
  đúng.
● Với n  2 thì B  3   

1 1
1
● Giả sử  đúng khi n  k , nghĩa là B  1.2.3.....k.1    ...     .

2 3
k
 1 1
1 
● Cần chứng minh  đúng khi n  k  1 , nghĩa là B  1.2.3.....k  1.1    ... 
  .
 2 3
k  1
 1 1
 1 1

1
1
Suy ra, với n  2 k thì 1.2.3.....2 k.1    ...   và 1.2.....k.1   ...   là các số tự nhiên
 2 3
 2
k
2k 
 1
1
1
 

 ...  .k  1k  2.....2 k cũng là các số tự nhiên.

 k  1 k  2
2k 

●

Áp

dụng

các

chứng

minh

ta

Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951

Đề ôn thi HSG 9

1011 3
 1010.1011.....1342.....2018  2019
Ta có 

1342 673
 1
1 
 1.2.....1009.1   ... 

.1010.1011.....1342.....2018 2019 .
 2
1009 
3 3
Và 

 1.2.3.....673.....1009  2019
673 673
 1
1
1 
 1.2.....1009.

 ... 

.1010.1011.....2018 2019 .
1010 1011

Lời giải.
2
Ta có a 2  b 2  c 2  a  b   b  c   c  a   c  a  b   4 ab .
2

2

2

Không mất tính tổng quát, giả sử: c  a  b . Khi đó, ta có:
c  a  b  2b 1
2
.
c  a  b   4 ab  4b 2  
c  a  b  2b 2 
c  a b .
● 1  c  a  b  0 
● 1  c  a  b  2b  c  a  b  0  , mà c  a  0 suy ra  vô lí.
 Vậy: nếu c  a, c  b thì c  a  b .
3.2. Cho ba số dương x , y, z thỏa mãn x 2019  y 2019  z 2019  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
E  x 2  y2  z2 .
Lời giải.
Cách 1.
● Áp dụng bất đẳng thức COSI ta có các đánh giá sau:
 x 2019  x 2019  1
 1  1  ...  1  2019 x 2 . Dấu "  " xảy ra khi x  1 .
2017 so 1

 y 2019  y 2019  1
 1  1  ...  1  2019 y 2 . Dấu "  " xảy ra khi y  1 .


 x 2  y2  z 2  3 .
2019

2019

2019

Dấu "  " xảy ra khi x  y  z  1 .
 Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x  y  z  1 .
Cách 2.
● Áp dụng bất đẳng thức COSI ta có các đánh giá sau:
Trường THCS Đào Duy Từ
GV: Lê Hồng Quốc

" Đi rồi sẽ đến "

Năm học 2018 – 2019
Trang 4


Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951

Đề ôn thi HSG 9

 x 2019  1
 1  1  ...  1  673 x 3 ; y 2019  1
 1  1  ...  1  673 y 3 và z 2019  1
 1  1  ...  1  673 z 3
672 so 1

2019

z

2019

2018 so 1

 2016  673  x  y  z
3

3

3

x
     
x 2019  y 2019  z 2019 3

3

 y3  z 3  3 .

Dấu "  " xảy ra khi x  y  z  1 .
x
y
z
3
 x 2019  y 2019  z 2019  6054  2019  x  y  z  


 Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x  y  z  1 .
Cách 3. (Sử dụng BĐT HOLDER)
● Áp dụng bất đẳng thức HOLDER, ta có

 x 2019  y 2019  z 2019  x 2019  y 2019  z 2019  32017   x 2  y 2  z 2 
2019
x
y
z
3




 32019   x 2  y 2  z 2  
3  x 2  y2  z 2 .
2019

2019

2019

2019

Dấu bằng xảy ra khi x  y  z  1 .
 Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x  y  z  1 .
Bài 4. (4.0 điểm) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Hai điểm M , N lần lượt di động trên
AM AN

 1 . Đặt AM  x và AN  y . Chứng minh rằng:


1 


 


x  y a.
MB NC
 AN  1  AM
 AM  1  y  a  y  y  a

2
MB
 MB
 NC
Không mất tính tổng quát ta giả sử AM  AN . Kẻ MH  AC như hình vẽ bên.
AM
Khi đó, ta có AH  AM .cos 60 
.
2
a) Áp dụng định lí PYTAGO, ta có:
2
 MN 2  MH 2  HN 2  AM 2  AH 2   AN  AH 
 AM 2  AN 2  2 AN . AH  AM 2  AN 2  AM . AN  x 2  y 2  xy   x  y   3 xy .
2

 Vậy MN 2  x 2  y 2  xy   x  y   3 xy 1
2



 3  a 2  a  x  y   a 2  3a 2  3a  x  y   3 xy 
ax ay

Thay 2 vào 1 ta được: MN 2   x  y   2a  x  y   a 2   x  y   2a  x  y   a 2  a  x  y 
2

2

2

 Vậy MN  a  x  y  a  x  y (vì x  y  a ).
c) Gọi K , E lần lượt là trung điểm của AB, AC .

D là tâm đường tròn nội tiếp ABC .
Kẻ DI  MN  I  MN  . Khi đó ta dễ dàng tính được: DK  DE 

a 3
a
a
; MK   x ; NE   y .
6
2
2

a
a
Ta có KM  NE   x   y  MN và 2  ax  ay  3 xy  a a  x  y  .
2
2


3
xy
a



 12
12 
12
2
DI .MN
DK .MN


 DI  DK . Suy ra DI là bán kính đường tròn nội tiếp, mà
 Do đó
2
2
 MN là tiếp tuyến của đường tròn.
MN  DI 
Bài 5. (3.0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O  , gọi M là trung điểm
của cạnh BC , H là trực tâm của tam giác ABC và K là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh
KM
BC . Tính diện tích của tam giác ABC , biết OM  HK 
và AM  30 cm.
4
Lời giải.
● Gọi D là trung điểm của AC .
Ta chứng minh được AHB  MOD (3 cặp cạnh

 OM  6 cm .
9
9
Khi đó OH  24 cm; AH  12 cm; AK  18 cm .
Ta có OC  OA  OH 2  AH 2  12 5 , từ đó tính được BC  2 MC  2 OC 2 OM 2  12 19 .
AK .BC 18.12 19

 108 19 cm 2  .
2
2
Mọi sự góp ý, xin nhắn tin đến />
 Vậy SABC 

Trường THCS Đào Duy Từ
GV: Lê Hồng Quốc

" Đi rồi sẽ đến "

Năm học 2018 – 2019
Trang 6


PHÒNG GIÁO DU ̣C VÀ ĐÀ O TẠO
HUYỆN LAI VUNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2018 – 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC


(x 2 + 4) với mọi số thực x. Dấu đẳng
17

thức xảy ra khi nào?

1
b) Cho a, b là các số thực thỏa mãn a 2 + b 2  . Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
biểu thức D = a 4 +1+ b 4 +1 .
Câu III (4,0 điểm)
1. Giải các phương trình sau:
a) x 4 + 2x 3 = 4x + 4
1
1
+ x + 2 = + 2x + 1
2
x
x
2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

b)

An dự định đi từ A đến B bằng xe đạp điện trong khoảng thời gian nhất
định. Nếu An đi với vận tốc 20 km/h thì đến B sớm 12 phút. Nếu An đi với vận
tốc 12 km/h thì đến B trễ 20 phút. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi
lúc đầu của An.


Câu IV (4,0 điểm)
1. Cho hình vuông ABCD và điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C). Một

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN: TOÁN

I. HƯỚNG DẪN CHUNG:
1. Học sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng
đúng, chính xác, chặt chẽ thì cho đủ số điểm của câu đó.
2. Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm
bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện
trong tổ chấm thi.
3. Điểm toàn bài tính theo thang điểm 20, làm tròn số đến 0,25 điểm.
II. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Nội dung

Câu I
1. Tính A= ( 8  3 2  2 5)( 2  10 0,2)

Điểm
4,0
1,0

A  ( 8  3 2  2 5)( 2  10 0,2)
 (2 2  3 2  2 5)( 2  20)

0,25

 (2 5  2)(2 5  2)

0,25


0,25

3. Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a chia cho 13 dư 2
và b chia cho 13 dư 3 thì a 2 +b 2 chia hết cho 13.
Do: a chia cho 13 dư 2 nên a=13x+2 ( x   )

1,5

b chia cho 13 dư 3 nên b=13y+3 ( y   )
Suy ra: a 2 +b 2 = (13x+2)2 +(13y+3)2

0,25
0,25

0,25
0,25
0,25

= 169x 2 +52x+4+169y 2 +78y+9

0,25

= 13(13x 2 +4x+13y 2 +6y+1)  13.K  13

0,25

Vậy: a 2 +b 2 chia hết cho 13 (đpcm)

0,25

( x +1)( x -3)
x +1
x 3

Điều kiện xác định: x  0 và x  9

0,25
0,25

x x -3 - 2( x -3) 2 - ( x +3)( x +1)
( x +1)( x -3)

0,25

=

x x -3 - 2x+12 x - 18 - x - 4 x - 3
( x +1)( x -3)

0,25

=

x x - 3x + 8 x - 24
( x +1)( x -3)

0,25

=


Mà 17(x  1)  (x 2 +4) 2  (4x 2  1) 2  0 với mọi x
1
(x 2 +4)
Vậy 17(x 4  1)  (x 2 +4)2 hay x 4 +1 
17
1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = ±
2
1
2b) Cho a, b là các số thực thỏa mãn a 2 + b 2  . Tìm giá trị nhỏ nhất
2
4
4
của biểu thức D = a +1+ b +1 .
1
(a 2 + b 2 +8)
Áp dụng kết quả câu 2a) ta có D 
17
1
1 1
17
( + 8) =
Mà a 2 + b 2  Suy ra D 
2
2
17 2

Ta có

x 4 +1 


1,0

(1)  x 4 + 2x 3 + x 2 = x 2 + 4x + 4

0,25

 x 2 (x + 1) 2 = (x + 2) 2

0,25


x2 = 2
 x (x + 1) = x + 2

 2
(2)
x
(x
+
1)
=
(x
+
2)
x
+
2x
+
2

 (1  x)  x 2 ( x + 2- 2x + 1)  0
 (1 - x) + x 2

 (1 - x) (1+

1-x
0
x + 2 + 2x + 1

x2
)  0 (4)
x + 2 + 2x + 1

1,5

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

 x0
x2

Do 
,
do
đó
1+
 0 nên từ (4) suy ra phương

1
) = 12(x + )
5
3
 20x - 4 = 12x + 4  8x = 8  x = 1 (nhận)
Vậy: Thời gian dự định là 1 (giờ)
1
4
Quãng đường AB dài: 20.(1 - ) = 20.( ) =16 (km)
5
5

Theo đề bài có phương trình: 20(x -

0,5
0,25
0,5


Điểm

Nội dung

Câu IV

4,0

1. Cho hình vuông ABCD và điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C).
Một đường thẳng đi qua A và vuông góc với AM cắt CD tại N.


0,5

AM
.
MN

1,0

Vì ABM = ADN, suy ra AM = AN hay AMN vuông cân tại A.

0,5

AM
AM 2
AM 2
AM 2
1
2


=


MN
2
2
MN 2
AN 2 +AM 2
2AM 2