Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề Số 1
Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9
(Thời gian làm bài 150’)
Câu 1: Giải phương trình.
6x  3
= 3 + 2 x  x2
x  1 x

Câu 2: Cho hệ phương trình:
x - 3y - 3 = 0
x2 + y2 - 2x - 2y - 9 = 0
Gọi (x1; y1) và (x2; y2) là hai nghiệm của hệ phương trình trên. Hãy tìm giá trị
của biểu thức.
M = (x1- x2)2 + (y1-y2)2.
Câu 3: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC
(B,C là các tiếp điểm). Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M
khác B và C). Tiếp tuyến tại M cắt AB và AC tại E, F, đường thẳng BC cắt OE và OF
ở P và Q. Chứng minh rằng tỷ số

PQ
không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC.
EF

Câu 4: Tìm các số x, y, z nguyên dương thoả mãn đẳng thức.
2(y+z) = x (yz-1)
Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên
tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác đó.

b. Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy.
Câu 5: Giải phương trình.
x2 + 3x + 1 = (x+3) x 2  1

2


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở giáo dục và đào tạo
Thanh hoá
*****

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút

Bài 1: Có số y nào biểu thị trong dạng sau không?

y  5  13  5  13  5  ...

1 1 1
1
  
. Chứng minh rằng :
a b c abc
1
1 1

điểm K khi M di động trên đoạn OB.
Bài 9: Cho tam giác ABC có A  900 , M là một điểm di động trên cạnh BC. Gọi O và
E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Xác định vị trí của M
để độ dài đoạn thẳng OE ngắn nhất.
Bài 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức:

--------------------------------------------------------

3


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề thi học sinh giỏi lớp 9

đ

Bài I (2 )
Rút gọn A

1  2a
1  1  2a



1  2a
1  1  2a


người ra đề : lê thị hương – lê thị tâm
Câu 1: (4 điểm)
Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x
A=

6 x  ( x  6) x  3
3
1


2( x  4 x  3)(2  x )  2 x  10 x  12 3 x  x  2

điều kiện x # 4; x # 9 ; x # 1
Câu 2: (3 điểm) giải phương trình
x 2  48 = 4x - 3 +

x 2  35

Câu 3: (4 điểm)
Phân tích ra thừa số
A = x3 y3 + z3 - 3xyz
Từ đó tìm nghiệm nguyên (x, y , z) của phương trình
x3 + y3 + z3 - 3xyz = x (y - z)2 + z (x - y)2 + y( z-x)2

(1)

t/m đk:
max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z)

(2)

TrườngTHPT Bỉm Sơn
Bảng A
( Đề đề nghị )
Thời gian 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)

Câu1 : (4 điểm) Cho biểu thức A=

( x  y )2
x xy y



x xy y
x y

x y
x y



1,Rút gọn biểu thức A
2, So sánh A và

A

Câu 2: ( 5 Điểm)
1, Giải phương trình:

x2 + 4x + 5 = 2 2 x  3



6


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 – bảng b
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)


Bài 1: Rút gọn A= 

1

22 a



1
22 a



a 2  1  1 
1   với a > 0 và a 1
1  a 2  a 

BAC = 60 , M thuộc cung nhỏ BC, tiếp tuyến tại M cắt AB, AC tại D, E. Gọi

giao điểm của OD, OE với BC lần lượt là I, K. Chứng minh rằng tứ giác IOCE
nội tiếp.
Bài 10: Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kỳ tồn tại 3 cạnh cùng xuất
phát từ một đỉnh mà một cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh kia.
Tài liệu:
- Bài 1, 2, 5: Một số vấn đề phát triển Đại số 9
- Bài 3, 6 : Đại số nâng cao lớp 9
- Bài 7
: Bất đẳng thức – Phan Đức Chính
- Bài 8, 9, 10: Một số vấn đề phát triển Hình học 9.
7


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở Giáo dục và Đào Tạo
thanh hoá

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS
Môn thi : Toán
( Thời gian làm bài : 150 phút)

Bài I (3,0 điểm):
Tính giá trị của biểu thức P =

a 1


Bài IV (4,0 điểm):
Từ một điểm O tuỳ ý trên mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD .Ta
nối với các đỉnh của hình bình hành đó .
Chứng minh rằng diện tích của tam giác AOC bằng tổng hoặc hiệu
diện tích của hai tam giác kề nhau,mỗi tam giác được tạo bởi hai trong
các đường thẳng OA,OB,OC,OD và các cạnh của hình bình hành
Bài V (2,0 điểm):
Gọi A là tập hợp các số nguyên tố p sao cho phương trình :
x2+x+1 = py có nghiệm nguyên x,y.
Chứng minh rằng A là một tập hợp vô hạn

------------------------------------------------------

8


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Sở GD-ĐT Thanh Hóa
Trường THPT Mai Anh Tuấn

Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn : Toán - Năm học: 2005 - 2006
(Thời gian làm bài: 180 phút)

Bài 1: (2,0đ)
Tính giá trị biểu thức:

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều. Điểm A’ cách đều
các điểm A, B, C.
a. Chứng minh rằng chân đường cao hạ từ đỉnh A’ của lăng trụ trùng với tam của
đáy ABC
b. Chứng minh rằng mặt bên BCC’B’ của lăng trụ là hình chữ nhật.
Bài 5: (5,0 đ)
a.Giải phương trình:
(x - 1) (x - 3) (x - 4) (x - 6) + 9 = 0
b.Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
2x 2 +7xy + 6y 2 = 60
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

9


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở gd & đt Thanh hoá
Trường thpt trần phú
Nga Sơn

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs
Môn : Toán
Thời gian : 150 phút không kể thời gian giao

Bài 1: (6 điểm)
x2 + y2 = 5


SC,

SC.

Biết SA = a; SB + SC = k. Đặt SB = x.
a)Tính thể tích hình chóp SABC theo : a, k, x.
b)Tính SB, SC để thể tích hình chóp S. ABC lớn nhất

10


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

đề xuất ngân hàng đề
Đề thi Học sinh giỏi lớp 9 – Môn Toán
----------------o0o--------------

Sở GD&ĐT Thanh hóa
Trường thpt hậu lộc 3
--------o0o-------

Câu 1: (1 điểm) Rút gọn biểu thức:

A

2
1 x
x


11


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở gd và ĐT thanh hoá
Bài 1 :

đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn : Toán
Thời gian làm bài : 150 phút

Cho biểu thức
A

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

a a a a
:
a 1

a  a 
2

a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa
b) Rút gọn A
Bài 2 : Cho 2 số dương x,y thoả mãn x+y=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 

Bài 7:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
7 x 2 13 y 2  1820

Bài 8 :

Cho tam giác nhọn ABC, gọi AH,BI,CK là các đường cao của tam giác
Chứng minh rằng
S HIK
 1  cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C
S ABC

Bài 9:
Cho hình vuông ABCD. Gọi MNPQ là tứ giác lồi có 4 đỉnh lần lượt nằm trên
4 cạnh của hình vuông. Xác định tứ giác MNPQ sao cho nó có chu vi nhỏ nhất
Bài 10 :
Cho đường tròn (O;R) và điểm P cố định ở ngoài đường tròn, vẽ cát tuyến PBC
bất kì . tìm quỹ tích các điểm O1 đối xứng với O qua BC khi cát tuyến PBC quay
quanh P
12


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở giáo dục & đào tạo
Thanh hoá

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THcs

Tia Ot không thuộc (P) và xOt = yOt = zOt . Chứng minh Ot vuông góc với
mặt phẳng (P).
---------------------------------------------------Họ và tên thí sinh: …………………………………..Số báo danh: ……….
Chữ ký của hai người coi thi: Số 1: ……………..

Số 2: ………………..

13


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hoá
Trường THPT Hoằng Hoá 2

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn : Toán
Thời gian làm bài : 150 phút
( không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (2 điểm)
Rút gọn biểu thức :
1
1
1
1
P=


Giải hệ phương trình : 
 x  y  1
Bài 5 (2 điểm)
Tìm giá trị của x để đẳng thức sau là đẳng thức đúng :
2
3x  18x  28  4 x 2  24 x  45 = – x2 + 6x -5
Bài 6 (2 điểm)

1
Cho Parabol (P) : y = x 2 và đường thẳng (d) qua hai điểm A, B trên (P) có
4
hoành độ lần lượt là -2 và 4. Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng có hoành độ
x [-2; 4] sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Bài 7 ( 2 điểm)

x4  2
Tìm mọi cặp số nguyên dương (x; y) sao cho 2
là số nguyên dương.
x y 1

14


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Bài 8 (2 điểm):
Cho 2 đường tròn (0 1 , R 1 ) và (0 2 , R 2 ) có R 1 > R 2 tiếp xúc ngoài với nhau tại A.
Đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (0 1 , R 1 ) tại M và đường tròn (0 2 , R 2 ) tại N (

x2 - 2x - x-1 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 4(2 điểm): Tìm m để hệ sau có nghiệm:
x 2 y 3
2 x y m

Bài 5(2 điểm): Tìm m để hệ:

mx  y  1
2x  3 y  m 1

có nghiệm (x;y) thoả x2 + y2 = 1
Bài 6(2 điểm): Cho đường (dm): y = mx - 3m + 2
a) Vẽ đồ thị (d2) (tức khi m = 2)
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O tới (dm) lớn nhất.
Bài 7(2 điểm): Tìm (x;y) nguyên thoả y 

2 x 3  x 2  11x  5
2x  3

Bài 8(2 điểm): Cho điểm I, qua I kẻ 2 đường a và b thoả a  b.
Trên a về hai phía của I lấy 2 điểm A, D
Trên b về hai phía của I lấy 2 điểm B, C
Thoả IA.ID = IB.IC.
a) Chứng minh rằng A, B, C, D thuộc 1 đường tròn
b) Qua D kẻ đường song song với b cắt AB kéo dài tại F. Hãy xác định điểm E
trên FD sao cho AE  FI. Khi đó ICED là hình gì?
Bài 9(2 điểm): Cho hình bình hành ABCD có chu vi không đổi là 2p. M, N trên AB
thoả AM = MN = NB.
P, Q trên DC sao cho DP = PQ = QC
AQ cắt DN, BP lần lượt tại A1D1

9

b) Tính giá trị biểu thức
E  2 x 5  x 3  3x 2  x  1 với x  1 2
Bài 2: Cho a  b , a  c , b  c
chứng minh rằng
b2  c2
c2  a2
a2  b2
bc ca a b





(a  b)(a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) b  c c  a a  b
Bài 3: Cho phương trình:
x 2  2mx  2m  1  0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm sao cho nghiệm này bằng bình phương
nghiệm kia.
Bài 4: Giải phương trình:
8 x  5 x  5
Bài 5: Chứng minh nếu a  2 thì hệ sau vô nghiệm:
 x 5  2 y  a
 2
 x  y 2  1
1
4


Thời gian: 150 phút
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức
 x 3 x   x 3
x 2
9x 
P  1 


:

x  9  2  x 3  x x  x  6


a. Rút gọn biểu thức P
b. Tìm giá trị của x để P = 1
Bài 2: (5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ, cho 3 điểm A(-1; -2); B(-3; 4); C(2;4)
a. Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng
b. Cho Parabol (P): y = ax2 + bx + c
Xác định a, b, c để (P) đi qua các điểm A, B, C
c. Qua O có thể kẻ được đường thẳng d nào tiếp xúc với (P) hay không ?
Bài 3: (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau
a)

 x 1  y  4
 xy7

5
 x 2  4x  1  0
x  4x  5


Sở GD & ĐT Thanh hoá
Trường THPT Quảng Xương 1

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 9
Môn: môn toán - bảng A -năm học 2005 - 2006
(Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (5 điểm)

1 x x
 1  x x





P


x

x
1> cho
 1 x
 1  x




b> Biết AB = a, CD = 2a, BE = 2AE. Tính diện tích ABCD
2> Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có B= 1v, cạnh bên SA vuông góc (ABC) tại A.
Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A lên SC và SB. Chứng minh tứ giác BCHK
nội tiếp
Bầi 4: (5 điểm)
11
2
2
1> Tìm a  R để phương trình ẩn x sau: 2 x  (4a  ) x  4a  7  0
2
có nghiệm nguyên
2> Chứng minh rằng:

4x 2 y 2
x2 y2


3
(x 2  y 2 )2 y 2 x 2

với x, y khác 0
------------------Hết----------------19


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trường THPT Quảng Xương II
-----------------------Bài1 (5điểm)
a. Rút gọn

3

x  1  3 x  1  3 5x

Bài 2 (5điểm)
a. Giải hệ phương trình
x  y  4z  1

 y  z  4x  1

 x  z  4 y  1

b. Tìm nghiệm nguyên: x+xy+y=9
Bài3 (5điểm)
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=

4a
9b
16c


bca a cb a bc

Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
b. Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác chứng minh phương trình:
x2+(a+b+c)x+ab+bc+ca=0 vô nghiệm
Bài 4 (5điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường cao HE. Trên đoạn HE lấy điểm B sao cho
tia CB  AH. Hai trung tuyến AH và BK của tam giác ABC cắt nhau tại I. Hai trung

1
1
27a 4  6a 2   3 a 3  a 
27a 4  6a 2  .
3
3
3
3
1
(2đ) Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức: A 
.
1  33 2  23 4

A  3 a3  a 

2)

Bài 2:
1) (2đ) Giải phương trình: x 2  5 y 2  9 z 2  x  4 xy  6 yz  1  1  x  2  x 2  x .

 x 2  y 2  10
2) (2đ) Giải hệ phương trình sau: 
.
2
2
x y  y x  12
Bài 3:
1)
(2đ) Giải phương trình: x 4  2 x 2  12 x 2  1  12  0
2)

1) (2đ) AB và CD song song.
2) (2đ) AB và CD không song song.
Hết.

21


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán - Thang điểm: 20

Bài 1: (6đ)
1. (2đ) Rút gọn biểu thức A =

2 3
2  2 3



2 3
2  2 3

2. (4đ) Tính giá trị của tổng
B = 1

1
1

1 a 1 b 1 c

1
8

Bài 4: (2đ) Giải phương trình:
x(x - 2)(x + 2)(x + 4) = -7
Bài 5: (6 đ).
Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi (P), (Q) theo thứ tự là đường tròn
nội tiếp hai tam giác AHB và AHC. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài (khác BC) của (P) và
(Q) cắt AB, AH, AC theo tự M, K, N. Chứng minh rằng.
a. (2đ) HPQ ~ ABC
b. (2đ) KP // AB, KQ // AC.
c. (2đ)

tứ giác BMNC nội tiếp được

22


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

sở gd & đt thanh hoá
truờng thpt đặng thai mai
-------------------------

Đề thi học sinh giỏi lớp 9
môn : Toán


27
với 1  x  2
256

Câu3: (4đ)
Cho họ đường thẳng (Dm) có phương trình : y 

m 1
m2
x

m2  m  1
m2  m  1

1.Tìm điểm cố định của họ đường thẳng (D m).
2.Tìm m để đường thẳng của họ (Dm) cắt Parabol (P) : y = x2 tại hai điểm có
hoành độ dối nhau.Xác định toạ độ các giao điểm ấy.
Câu4: (4đ)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O . M là một điểm bất kỳ trên đường
tròn đó . Gọi A/,B/,C/ lần lượt là hình chiếu của M trên các đường thẳng BC , CA , AB
.
1.Chứng minh các tứ giác BC/A/M và CA/MB/ nội tiếp.
2.Chứng minh 3 điểm A/, B/ , C/ thẳng hàng.
3.Trên đường tròn tâm O đã cho lấy điểm M1M. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là hình
chiếu của M1 lên các đường thẳng BC , CA , AB . Tìm vị trí của điểm M 1 trên
đường tròn tâm O để đường thẳng A1B1C1 vuông góc với đường thẳng A/B/C/.
Câu5: (4đ)
Chứng minh rằng:
1. x 8  x 5  x 2  x  1  0 với mọi số thực x.

+

1  2x
1  1  2x

với x =

3
4

Câu 2:(1 đ) Cho phương trình x2 - mx + m - 1 = 0
Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức

C

2 x1 x2  3
x  x 22  2( x1 x2  1)
2
1

Với x1, x2 là các nghiệm của phương trình đã cho.
Câu 3:
a.(1 đ) Giải Phương trình: 4x2 +3x(4 1  x -9) = 27
b.(1.5 đ) Giải phương trình nghiệm nguyên:

xy
yz zx
+ + =3
y
z

x 2  2m 2 x  2m 4  7 m 2  6
0
x 2  7 x  12

b. Giả hệ phương trình sau
x2 +y2 =

1
2

(1)

4x( x3 –x2 +x-1) =y2+2xy -2 (2)
Câu 2 (1.5điểm)
Giải phương trình nghiệm nguyên
x2y2-x2 -8y2 = 2xy (1)
Câu 3 (1.5 điểm )
Cho ba số thực dương x,y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z  1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
x

1
y

1
z

Q = 2( x  y  z )  3(   )
Câu 4 (1điểm)