Sở giáo dục - đào tạo ngh an
*********** **********
Đề tài
vài phơng pháp tìm cực trị của biểu thức bậc hai
ở trờng Thcs
Hà tĩnh, ngày 15 tháng 12 năm 2008
1
Mục lụcNội dung trang
A Phần mở đầu 1
I - Đặt vấn đề 1
II Mục đích nghiên cứu 2
III - Đối tợng nghiên cứu 2
IV Nhiệm vụ nghiên cứu 2
V - Phơng pháp nghiên cứu 3
B Phần nội dung 3
I Cơ sở thực tiển 3
II Nội dung 3 12
III Kết quả thu đợc 12
C Kết luận kiến nghị 13
A. phần mở đầu.
I.đặt vấn đề:
-trong các kỳ thi học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 và các kỳ thi tuyển vào lớp 10
thờng có những bài tập tìm cực trị của biểu thức bậc hai. đây là dạng toán t-
ơng đối khó đối với học sinh, các em thờng e ngại khi tiếp xúc với dạng toán
này, thậm chí kể cả giáo viên nhiều khi cũng dè dặt không muốn đi sâu thêm
khi gặp dạng toán tìm cực trị. Trong quá trình giảng dạy và bồi dỡng học
sinh giỏi, tôi nhận thấy rằng nếu chúng ta biết phân loại từng dạng bài tập và
định hớng cho các em cách giải thì các em sẽ chủ động hơn trong việc giải

- Thống kê, tổng hợp.
B. phần nội dung
I. Cơ sở thực tiển.
Tôi đã tiến hành điều tra s phạm về phản ứng của học sinh khi đợc hỏi về
bài toán cức trị của biểu thức bậc hai ở lớp 9A và thu đợc kết quả nh sau:

Lớp
Kết quả nghiên cứu
Không biết
cách làm
E ngại và không định hớng đ-
ợc phơng pháp giải
Định hớng và có
phơng pháp giải
9A 30 % 50% 20%
Nhìn vào bảng số liệu ta thấy hầu hết các em đều e ngại hoặc không biết
cách giải bài toán cực trị của biểu thức bậc hai nói riêng và các dạng cực trị
khác nói chung.
II. nội dung
Dạng1: Tìm cực trị của biểu thức dạng:
F(x) = ax
2
+ bx + c. (a

0)
Cách giải: - Ta đa về dạng:
F(x) = a[(x
2
+
a

acb
4
)4(
2



x = -
a
b
2

+ Nếu a < 0 thì GTLN[F(x)] =
a
acb
4
)4(
2



x = -
a
b
2Dạng2: Tím cực trị của biểu thức dạng:
F(x,y) = ax
2

là biểu thức bậc nhất đối với biến, còn K[x,y] = px +
qy + k cũng là biểu thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y.
Cụ thể:
Ta biến đổi (1) để chuyển về dạng (2) nh sau với a

0 và 4ac b
2


0:
4a.F(x,y) = 4a
2
x
2
+ 4abxy + 4acy
2
+ 4adx + 4aey + 4ah = 4a
2
x
2
+ b
2
y
2
+ d
2
+
4abxy + 4adx + 2bdy + (4ac b
2
)y


Vậy có (2) với m =
a4
1
, F(x,y) = 2ax + by + d, n = -
a
acb
4
4
2

;
G(y) = y +
2
4
2
bac
bdae


; r = h -
a
d
4
2
-
)4(4
)2(
2
2

hai nhân tử, giúp ta giải đợc các bài toán khác.
Cách biến đổi này có đờng lối cụ thể, mục tiêu xác định, nên biến đổi
nhanh, kết quả biến đổi là duy nhất, do đó phạm vi áp dụng rộng rải.
Cách2: Đa các biến vào bình phơng của tổng dựa vào công thức:
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ac
Dạng3: Tìm cực trị của biểu thức có điều kiện:
a,Bài toán1 :Cho x và y liên hệ với nhau bởi hệ thức:
4
Q= ax
2
+by
2
+cxy + dx + ey + f = 0 (1)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
U= Ax + By + C (2)
*c ách giải:
- cách 1: Nếu B 0,ta có:(2)y= -
B
A
x-
B
C

;maxU=U
2
}
* Đặc biệt khi Q có dạng: Q=p
2
(x-a)
2
+ q
2
(y-b)
2
- r
2
=0
- Cách 1 : Đánh giá bằng bất đẳng thức bunhiacópki
- Cách 2 : Đánh giá bằng bđt : | asinx + bcosx |

22
ba
+
(lợng giác)
Dạng 4: Cho x, y liên hệ với nhau bởi công thức:
ax + by + c = 0 (a
2
+ b
2


0)
Tìm cực trị của biểu thức: T = p

+ (x - 3)
2
Lời giải:
a, Ta có A = x
2
2x
2
1
+
4
1
+
4
3
= (x -
2
1
)
2
+
4
3


4
3
( Do (x -
2
1
)

4
1
(Do
2
3
(x + 1)
2


0 )
5