Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do – Hạnh phúc
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: Hội đồng sáng kiến cấp ngành, Sở GDĐT Ninh Bình.
Chúng tôi, gồm:
1. Nguyễn Tiên Tiến
Sinh ngày: 08 tháng 06 năm 1981.
Nơi công tác: Trường THPT Gia Viễn B, Ninh Bình.
Chức vụ: Phó Hiệu trưởng.
Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ.
Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến: 60%.
2. Hoàng Thị Năm
Sinh ngày: 04 tháng 10 năm 1985.
Nơi công tác: Trường THPT Gia Viễn B, Ninh Bình.
Chức vụ: Giáo viên.
Trình độ chuyên môn: Cử nhân.
Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến: 30%.
3. Phùng Thị Hằng
Sinh ngày: 10 tháng 03 năm 1989.
Nơi công tác: Trường THPT Gia Viễn B, Ninh Bình.
Chức vụ: Giáo viên.
Trình độ chuyên môn: Cử nhân.
Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến: 10%.
I. TÊN SÁNG KIẾN, LĨNH VỰC ÁP DỤNG
- Là nhóm tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng
hệ thống câu hỏi và bài tập về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo
hướng phát triển năng lực học sinh.
- Lĩnh vực áp dụng: Giảng dạy bộ môn Toán cấp THPT, đặc biệt là lớp 10

các câu hỏi lại rời rạc, riêng lẻ, ít liên quan đến nhau và không thành hệ thống.
Cách làm này có ưu điểm là học sinh được tập trung rèn luyện kỹ năng làm bài trắc
nghiệm và dễ nhận dạng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan. Học sinh giải được
bài nào chỉ biết bài đó chứ chưa biết cách đặt vấn đề khai thác hoặc phát triển bài
toán hoặc tìm ra bài toán “họ hàng”. Do đó, học sinh sẽ khó hình dung các yêu cầu
sẽ được đặt ra trước những thông tin, dữ liệu cho trước.
2. Giải pháp mới cải tiến
Trên cơ sở kết quả lấy phiếu điều tra đối với giáo viên, cũng như đánh giá
những ưu điểm và hạn chế của giải pháp cũ thường làm, tôi xây dựng tài liệu dạy
học nội dung Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 với những cải tiến như
sau:
Giải pháp 1: Thiết kế nội dung kiến thức.
Kiến thức được thiết kế như tiến trình trong sách giáo khoa để giáo viên, học
sinh tiện theo dõi, có bổ sung và hệ thống lại bảy phương pháp, kỹ thuật chứng
minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi. Mỗi phương pháp, kỹ thuật chúng
tôi trình bày ba phần: Nội dung phương pháp, Ví dụ tự luận điển hình và Câu hỏi
trắc nghiệm khách quan.
Giải pháp 2: Thiết kế phần ví dụ tự luận điển hình.
Ngoài việc trình bày các kiến thức đã có trong sách giáo khoa (không trình
bày lại cách chứng minh các định lý), thì còn bổ sung một số kiến thức cập nhật
cho thi THPT Quốc gia hiện nay. Ứng với mỗi phương pháp chứng minh bất đẳng
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 2/5


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

thức đều có những ví dụ minh họa, phân tích hoặc nhận xét, bình luận hoặc lời giải

giáo viên có thể bổ sung hàng năm để có được tài liệu đa dạng, phong phú về bài
tập cho riêng mình hoặc phù hợp với đối tượng học sinh của từng lớp giảng dạy.
Thứ hai, xét về mặt tài chính. Để viết nên tài liệu này, không kể tài liệu giáo
khoa (học sinh và giáo viên nào cũng có), không kể rất nhiều giờ truy cập internet,
và nhiều giờ để sáng tác các bài toán, tác giả đã phải đọc một số đầu sách tham
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 3/5


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

khảo. Trong khi với tài liệu này, giáo viên chỉ cần in hoặc in sao tài liệu này với
giá không quá 15.000 đồng.
2. Hiệu quả xã hội
Ngay sau khi văn bản số 4818/BGDĐT-KTKĐCLGD ngày 28/09/2016 về
việc Tổ chức Kỳ thi THPT quốc gia và tuyển sinh ĐH, CĐ hệ chính quy năm 2017
được Bộ GDĐT ban hành, trong đó có nội dung bài thi môn Toán thi theo hình
thức trắc nghiệm khách quan, đề thi có 50 câu hỏi và từ năm 2019 trở đi, nội dung
thi nằm trong Chương trình cấp THPT, các tác giả đã tiến hành xây dựng tài liệu
này và hoàn thiện dần qua các năm học. Nội dung tài liệu đã được các thầy, cô
trong trường sử dụng để giảng dạy chính khóa cũng như trong ôn luyện thi Trung
học phổ thông Quốc gia, bồi dưỡng học sinh giỏi và bước đầu đã cho thấy tính khả
thi và phổ dụng của sáng kiến.
Nhiều học sinh đã sử dụng tài liệu này để tự học, tất nhiên cần có sự hướng
dẫn của giáo viên và đã đạt được thành tích cao trong học tập. Điều này cho thấy,
nếu sáng kiến tiếp tục được hoàn thiện, bổ sung thì sẽ là tài liệu bổ ích để học sinh
tự học. Từ đó, tạo được hứng thú, sự tự tin trong học tập, góp phần bồi dưỡng năng
lực tự học và nâng cao chất lượng, hiệu quả học tập của học sinh.

Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

2 Đào Thị Nụ
Giáo viên
Cử nhân
3 Đặng Đình Phương
Giáo viên
Thạc sỹ
Chúng tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự
thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật./.

Xác nhận của Ban giám hiệu

Gia Viễn, ngày 15 tháng 05 năm 2019
Người nộp đơn
Nguyễn Tiên Tiến
Hoàng Thị Năm
Phùng Thị Hằng

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 5/5


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

PHỤ LỤC
PHẦN 1. LÝ THUYẾT VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

bày lời giải theo các bước dưới đây:
- Bước 1: Chứng minh với mọi giá trị của biến số thỏa mãn điều kiện T , ta đều có f  M ,
trong đó M là một hằng số không phụ thuộc vào các biến của f .
- Bước 2: Chứng minh hoặc chỉ ra tồn tại bộ giá trị của biến (không nhất thiết phải tìm ra tất
cả) thỏa mãn điều kiện T sao cho f  M .
- Bước 3: Kết luận max f  M .
II. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Trong khi chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu
thức, chúng ta thường sử dụng các tính chất cơ bản sau đây của bất đẳng thức:
1. a  b và b  c  a  c .
2. a  b  a  c  b  c .
3. Nếu c  0 thì a  b  ac  bc .
4. Nếu c  0 thì a  b  ac  bc .
5. a  b và c  d  a  c  b  d .
6. a  b  0 và c  d  0  ac  bd .
7. a  b  0 và n   *  a n  b n .
8. a  b  0  a  b .

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 1/46


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

9. a  b  3 a  3 b .
10. a  0, b  0  a  b  a  b và 3 a  3 b  3 a  b .
1 1
11. a  b  0   .

đó, mặc dù có thể vẫn trình bày theo một cách khác. Mỗi ví dụ đều có sự phân tích để tìm ra lời giải
hoặc làm rõ bản chất của phương pháp trong lời giải.
- Câu hỏi trắc nghiệm khách quan: Phần này chúng tôi xây dựng các ví dụ trắc nghiệm khách quan mà
lời giải của nó phải sử dụng đến phương pháp đang đề cập. Với mỗi ví dụ, chúng tôi có đề cập đến các
câu hỏi trắc nghiệm khách quan có liên quan nhằm giúp các em học sinh có cái nhìn rõ nét hơn về việc
xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan.

I. Sử dụng biến đổi tương đương và các bất đẳng thức đúng đã biết
1.1. Nội dung phương pháp
Để chứng minh bất đẳng thức A  B theo hướng này, chúng ta có thể làm theo một
trong các cách sau đây:
- Cách 1: Lập hiệu A  B . Sử dụng biến đổi tương đương, các tính chất cơ bản của bất
đẳng thức và các kết quả đã biết để chỉ ra A  B  0 .
- Cách 2: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta đánh
giá vế trái để được A  B .
- Cách 3: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta đánh
giá vế phải để được B  A .

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 2/46


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

Chứng minh bất đẳng thức theo các cách nêu trên, ngoài việc có thể phải sử dụng đến các
tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta thường sử dụng thêm các kết quả sau:
(1): x   a; b  a  x  b   x  a  x  b   0 .
2

Ví dụ 1.1. a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x  
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g  x  

3x  1
trên đoạn  1;3 .
x2

x2
trên đoạn  1; 2 .
2 x2  1

Lời giải
a) Ta có f  x  

3 x  2  7
x2

 3

7
.
x2

Với mọi x   1;3 , ta có: 1  x  2  5 

7
7
7
7
7

2x 1
2 2 2x 1
1
1

Với mọi x thuộc đoạn  1; 2 thì 1  2 x 2  1  9  1  2
2x 1 9
1
1
1 1
1
4
2
 1   2
 0  . 2
 . Do đó 0  g  x   , x   1; 2 .
2x  1
9
2 2 2x 1 9
3
2
Mặt khác g  x   0  x  0   1; 2 ; g  x    x  2   1; 2  .
3
2
Vậy max g  x   g  2   và min g  x   g  0   0 ./.
1;2
1;2
3
Ta có f  x   4  x  1  1;3 ; f  x  


 



Ta có  x 2  4 x  21   x 2  3 x  10  x  11  0 , suy ra y  0 .

y 2  2 x 2  7 x  31  2



 x  3 7  x  x  2 5  x 

 x  3 5  x    x  2  7  x  

2

 2  2 , suy ra y  2 .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  x  3 5  x    x  2  7  x   x 

1
.
3

1
2 khi x  ./.
3

Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng


9
 2
 2
 .
2
a  1 b  1 c  1 10
Lời giải
2

 3x  1  4 x  3
x
18
3
 3 5
a) Ta có 2
 x

 0, x    ;  .
2
x  1 25
50
50  x  1
 4 2
1
3
x
18
3
 3 5


 c
Áp dụng kết quả ở ý a), ta có: 2
.
a  1 25
50 b  1 25
50 c  1 25
50
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, kết hợp với giả thiết, ta được
a
b
c
18
9
9
 2
 2
 a  b  c 
 .
2
a  1 b  1 c  1 25
50 10
Suy ra

2

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 4/46



 m  3a  1 . Lúc này, chúng ta
3
3
a  1 10
a  1 10
cần tìm m để bất đẳng thức trên xảy ra.

đánh giá

2

 3a  1 3  a  10m  a 2  1 
a
3
  m  3a  1 
Xét 2
.
a  1 10
10  a 2  1
Lúc này, ta cần chọn m để 3  a  10m  a 2  1  0 nhận a 
2

nhân tử  3a  1 ). Giải điều kiện đó ta tìm được m 

1
làm nghiệm (mục tiêu là làm xuất hiện
3

6
. Khi đó

3
3
a  1 10

2) Khi học về đạo hàm (Giải tích 11), chúng ta có thể tìm ra biểu thức

tiếp tuyến của đồ thị hàm số f  x  

x
1 3 
tại điểm M  ;  . Tiếp tuyến đó có phương trình là
x 1
 3 10 
2

x
3 
18
3
 18
. Lúc này ta lập hiệu 2
  x   và biến đổi như ở trên. Phương pháp này được
x
x  1  25
50 
25
50
gọi là phương pháp tiếp tuyến.
y



b c  a
b  c  a
2

2



c  a  b
c  a  b
2

2



Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

6
.
5

Trang 5/46


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
3. a) Chứng minh rằng






Do x   0; 2 nên x  x  2  x  5  0; x  2  2 . Suy ra y  2 .
Đẳng thức xảy ra khi x  0   0; 2 . Vậy m  2 .
Đáp án C.
Bài tập tự luyện
1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f  x   x3  2 x 2  x  2 trên đoạn  0;2 .
A. max f  x   2.
0; 2

B. max f  x   
 0; 2

50
.
27

C. max f  x   1.
0; 2

D. max f  x   0.
 0; 2

2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  x 3  2 x 2  4 x  1 trên đoạn 1;3 .
67
B. max y  2.
C. max y  7.
.

Lời giải
Điều kiện: 3  x  3 .
Cách 1: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)
Trước hết chúng ta kiểm tra đối với giá trị nhỏ nhất (vì đang cần tìm giá trị nhỏ nhất) trong bốn
số cho trong bốn phương án.
- Kiểm tra phương án B:
Xét phương trình 2 x  3 9  x 2  9  3 9  x 2  9  2 x
9

9  2 x  0
x   2
(điều này không thể xảy ra vì 3  x  3 ).

2  
2
9 9  x   9  2 x 
9 9  x 2   9  2 x 2

- Kiểm tra phương án A:









Xét phương trình 2 x  3 9  x 2  6  3 9  x 2  6  2 x










Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 6/46


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

Đối chiếu với điều kiện ban đầu thì x  3 . Thay vào phương trình thấy thỏa mãn. Vậy giá trị
nhỏ nhất của hàm số bằng 6 .
Cách 2: (Đánh giá dựa vào kết quả đã biết)
Với mọi x   3;3 , ta có y  2 x  3 9  x 2  2 x  2.  3  6 .

 x  3

Đẳng thức xảy ra khi 

2
9  x  0

 x  3 . Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 6 .
Đáp án A.

13
2) Bằng kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nói trên, các bạn cũng có thể tìm được giá trị
Hơn nữa: y  3 13 

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: y  2 x  3 9  x 2 ; y  3 x  5 16  x 2 .

 2 x  y  3z  4
Câu 1.3. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn 
. Gọi M và m lần lượt là
3 x  4 y  3 z  6
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A  2 x  3 y  2 z . Khẳng định nào dưới đây đúng?
41
35
A. m  3M  18.
B. 3m  M  18.
C. m  3M  .
D. 3m  M  .
2
2
Lời giải
2 x  y  3z  4
2 x  y  4  3z
 x  2  3z
Ta có: 
. Do đó A  4  z .


3 x  4 y  3z  6
3x  4 y  6  3z
 y  3z

B. S  1390.

C. S  1358.
D. S  66.
2
x

y

3
z

4

2. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn 
. Số giá nguyên của biểu thức
3 x  4 y  3 z  6
A  2 x  3 y  2 z là
A. 0.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
2 x  y  3z  4
3. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn 
. Số giá trị nguyên của biểu thức
3 x  4 y  3 z  6
E  x 2  y 2  2 x  y  3 z  3 là
A. 4.
B. 5.


B. 10;11 .
C. 11;12  .
1 2

Câu 1.4. Cho

1

2

1 2

p

khi

 x; y; z    x1 ; y1 ; z1 

hoặc

thuộc khoảng nào dưới đây?
D.  8;9  .

là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biểu thức
p
2
2
F   x  2 y  1   2 x  my  5  đạt giá trị nhỏ nhất bằng , trong đó p, q là các số nguyên
q
p


11
9
 0  5 x  10 y  11  0 . Vậy, với m  4 thì min F  .
5
5
2
2
2
2
Suy ra p  9 , q  5 và p  q  pqm  9  5  9.5.  4   74 ./.
Đáp án A.
Đẳng thức xảy ra khi x  2 y 

Bài tập tự luyện
1. Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Tìm giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của biểu
2

2

thức F   x  2 y  1   2 x  my  5  là một số dương.
A. m  4.

B. m  10.

C. m  4.

D. m  10.
2


D.  2;  1 .
là

tham số. Biết rằng

biểu

thức

2

F   x  2 y  1   2 x  my  5  đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương khi x, y thỏa mãn điều kiện

10 x  ay  b  0 . Giá trị của P  a  2b  3m bằng:
A. 12.
B. 30.
C. 36.
D. 52.
4. Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biết rằng biểu thức E  x  2 y  1  2 x  my  5
đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương E0 . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. E0   0;1 .

B. E0  1;2 .

C. E0   2;3 .

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

D. E0  3;4 .


4
2
+) Nếu a , b là các số không âm và ab  P không đổi thì a  b đạt giá trị nhỏ nhất bằng
2 P khi và chỉ khi a  b  P .
1 1
4
+) Với a  0, b  0 thì  
. Đẳng thức xảy ra khi a  b .
a b ab
abc 3
 abc .
(2) Với ba số không âm a , b, c bất kỳ, ta luôn có:
3
Đẳng thức xảy ra khi a  b  c .
Các hình thức khác của bất đẳng thức này là
3
 a  b  c
a 3  b3  c 3
(2.1):
(2.2):
 abc .
 abc .
3
27
- Hệ quả: +) Nếu a , b, c là các số không âm và a  b  c  S không đổi thì abc đạt giá trị lớn
1 3
1
S khi và chỉ khi a  b  c  S .
nhất bằng
27

4x  7
Lời giải
3
3
a) Do x  0 nên ta có f  x   x   2 x.  2 3 .
x
x
3
Đẳng thức xảy ra khi x   x  3 (thỏa mãn điều kiện x  0 ).
x
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của g  x   x 

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 9/46


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

Vậy, f  x  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 3 khi x  3 .
b) Do x  1 nên ta có g  x   x  1 

3
1  2
x 1

 x  1 .

3

6 1
x
(thỏa mãn).
2x 1
2
2 6 1
6 1
Vậy, h  x  đạt giá trị nhỏ nhất bằng
khi x 
.
2
2
3
12
4
12
71
 4 p  x  4x 
 4 p  x  4x  7 
 4x  7  7 .
d) p  x   x 
4x  7
4x  7
75
4 x  7 75
4
x

7


nhỏ nhất của các biểu thức đó thì chúng ta quan tâm đến điều kiện của biến số và mục tiêu tìm giá trị
nhỏ nhất hay nói cách khác là phải chọn đúng điểm rơi. Cụ thể cả bốn biểu thức cần phải tìm cách đánh
giá f  x   m1 ; g  x   m2 ; h  x   m3 ; p  x   m4 .
1) Việc đánh giá f  x   m1 thì chúng ta dễ dàng làm được khi áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si mà
không cần có sự điều chỉnh gì về hình thức của biểu thức f  x  .
2) Việc đánh giá g  x   m2 ; h  x   m3 thì chúng ta không thể áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si, do nếu
áp dụng ngay thì vế phải vẫn còn biến số. Vì vậy chúng ta cần điều chỉnh hình thức của biểu thức
3
3
3
6
thành g  x   x  1 
thành 2h  x   2 x  1 
g  x  x 
 1 , còn h  x   x 
1
x 1
x 1
2x 1
2x  1
(nhằm khi đánh giá thì vế phải không còn biến số).
3) Việc đánh giá p  x   m4 chúng ta cũng không thể áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si mà cần có sự
điều chỉnh về hình thức của p  x  một cách khéo léo hơn thì mới đạt được mục tiêu. Kể cả khi viết
chúng ta viết lại biểu thức p  x  thành 4 p  x   4 x  7 

12
 7 thì cũng không thể áp dụng luôn bất
4x  7

đẳng thức Cô-si. Vì khi áp dụng thì ta được 4 p  x   2

được tìm ra như thế nào? Có thể lý giải điều này như sau:
75
3
1
12
4
Chúng ta để ý khi x  2 thì
 và
 , trong khi chúng ta đang cần đánh giá p  x   m4
4x  7 5
4x  7 5
12
nên ta phải tìm cách ghép m  4 x  7  
, với m  0 để áp dụng bất đẳng thức Cô-si nhằm triệt tiêu
4x  7
4 x  7 ở mẫu thức nhưng cũng phải chú ý đến điều kiện đẳng thức xảy ra. Vì vậy, ta cần tìm m để khi
12
4
x  2 thì m  4 x  7  
. Dễ dàng tìm được m 
và chúng ta có lời giải như trên.
4x  7
75
4x  7 

Ví dụ 2.2. a) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn x  y  5 . Chứng minh rằng

16 1 81
.


 40 5 

x
;
y

a) Khi x  y  5 thì
. Đẳng thức xảy ra khi  2




 ; .
2
x 4 y 20
x

64
y
 9 9

b) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn

b) Khi

x  y  5
16 1 81
 40 5 
  x; y    ;  ./.
thì x  y  5 . Đẳng thức xảy ra khi  2

a 1

2.3. Câu hỏi trắc nghiệm khách quan
Câu 2.1. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  x 2 
A. m 

17
.
4

B. m  10.

2
1 
trên đoạn  ; 2  .
x
2 

C. m  5.

D. m  3.

Lời giải
1 1
1 1
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có y  x 2    3 3 x 2 . .  3 .
x x
x x
1
1 

thay đổi vì điểm rơi x  1 vẫn thuộc khoảng  ; 2  .
2 
1 
1 4 
2) Nếu thay giả thiết x   ; 2  thành x   ;  hoặc x   2;6 chẳng hạn thì kỹ thuật sử dụng bất
2 
5 5 
đẳng thức Cô-si cũng cần có sự điều chỉnh vì lúc này điểm rơi thay đổi (nó không thể là x  1 nữa).
2 5
1 4 
 1 16 

- Nếu x   ;  thì x 2   ;  và   ;10  . Do đó ta cần biến đổi như sau:
x 2 
5 5 
 25 25 

64
64  122
64 64
122 157

.
y   x2 


 33 x2.
.



trên khoảng  0;    là
x

2
.
2

C. 2 2.

2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   2 x 2 
A. 2 6.

B.

33
36.
2

D.

2.

3
1 
trên đoạn  ;1 là
x
2 
C. 3 3 3.

D. 3 3 18.


2 3 3
23 3

3

.

C. x 

433
23 3

.

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

D. x 

2
3

6

.

D. 4 3  4.

D. x  3.


Đẳng thức xảy ra khi

3x 4
8
 2  x  3   0;    . Vậy min y  3 3 9 ./.
 0;  
2 x
3
Đáp án A.
2

Câu 2.3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y 
A. min y 
 2; 4

19
.
3

x 3
trên đoạn  2; 4 .
x 1

B. min y  2.

C. min y  3.

 2;4

D. min y  6.

4
 x  3   2; 4 . Vậy min y  y  3  6 .
 2;4
x 1
Cách 2: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)
x2  3
Nhận thấy với x   2; 4 thì y 
 0 nên loại ngay phương án B và C.
x 1
19
Kiểm tra phương án D trước (vì 6 
).
3
x2  3
Ta có
 6  x 2  6 x  9  0  x  3   2; 4 . Vậy min y  6 ./.
 2;4
x 1
Suy ra y  6, x   2; 4 ; y  6  x  1 

Đáp án D.
2

Câu 2.4. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn xy  x  y . Tìm giá trị nhỏ nhất min P của
biểu thức P  x  y .
A. min P  6.
C. min P  2  3 2.

B. min P  2 2  3.
D. min P  17  3.


Có x  1  0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có 2  x  1 

1
1
 2 2  x  1 .
2 2.
x 1
x 1

1

 2 2 43 2 
2  x  1 
x  1   x; y   
Suy ra P  2 2  3 . Đẳng thức xảy ra khi 
.
 2 ;
2 

 y  x  1  x 2

Vậy min P  2 2  3 ./.
Đáp án B.
Bài tập tự luyện
1. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn xy  x 2  y . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y là
A. một số hữu tỷ dương nhỏ hơn 5.
B. một số vô tỷ lớn hơn 5.
C. một số hữu tỷ lớn hơn 5.
D. một số vô tỷ dương nhỏ hơn 5.

9 11  19
.
9
18 11  29

.
21

9 11  19
.
9
2 11  3

.
3

A. Pmin 

B. Pmin 

C. Pmin

D. Pmin

Lời giải
3
3 2y
3 2y
Ta có x  2 y  3 xy  3  x 
P



x 

1 3y
Vậy Pmin 

 11  2 11  1 
2 11  3
;
.
khi  x; y   
3
3 
3


Đáp án D.

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 14/46


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
Bài tập tự luyện

 3
1. Cho x là số thực thay đổi và luôn thuộc khoảng  0;  . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

C. 9 11  18.
D. 3 11  3.
Khi học về hàm số mũ, hàm số lôgarit (Giải tích 12) chúng ta có thể gặp bài toán này dưới hình thức
khác. Chẳng hạn như câu 47, mã đề thi 101, THPTQG 2017:
1  xy
 3xy  x  2 y  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu
4. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log 3
x  2y
thức P  x  y .
A. Pmin 

9 11  19
.
9

B. Pmin 

9 11  19
.
9

C. Pmin 

18 11  29
.
21

D. Pmin 

2 11  3

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

8a 2  56  2 2  a  b  a  2c   2  a  b    a  2c   3a  2b  2c .
Tương tự, ta cũng có 8b 2  56  2a  3b  2c .
Lại có 4c 2  7  4c 2  ab  2bc  2ca   a  2c  b  2c  .

a  2c  b  2c a  b  4c

.
2
2
11a  11b  12c
11a  11b  12c
Q
 2.
Suy ra 8a 2  56  8b 2  56  4c 2  7 
11a  11b  12c
2
2
2  a  b   a  2c

3
2  a  b   b  2c

Đẳng thức xảy ra khi 
  a; b; c   1;1;  .
2

 a  2c  b  2c
ab  2bc  2ca  7

9a  9b  20c
ta có: 8a 2  56  8b 2  56  4c 2  7 
.
2
Lúc này, việc đánh giá biểu thức Q chưa đạt được mục đích và dấu đẳng thức xảy ra khi c  0 (vô lý).
Bài tập tự luyện
1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab  2bc  2ca  7 . Giá trị nhỏ nhất m của biểu thức

11a  11b  12c

thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?
8a  56  8b 2  56  4c 2  7
3
3
5
5
A. 0  m  .
B.  m  2.
C. 2  m  .
D.  m  3.
2
2
2
2
2. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab  2bc  2ca  7 . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu

Q

2


5
4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab  2bc  2ca  7 . Biết rằng khi biểu thức
A. P  1957.

Q

B. P  1954 7.

11a  11b  12c
2

2

2

C. P 

đạt giá trị nhỏ nhất thì a 

m
c , trong đó m, n là các số nguyên
n

8a  56  8b  56  4c  7
m
dương và phân số
tối giản. Tính giá trị của biểu thức S  2m  5n .
n
A. S  19.
B. S  16.

a

2

 b 2  x 2  y 2  .

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 16/46


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

Nhận xét: Bất đẳng thức này cũng là một dạng bất đẳng thức hình học. Cụ thể trong mặt phẳng


  
tọa độ Oxy , nếu xét hai vectơ u   a; b  và v   x; y  thì do ta luôn có u.v  u . v nên

a

ax  by 

2

 b 2  x 2  y 2  .
2









3.2. Ví dụ tự luận điển hình

3x  1

Ví dụ 3.1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 

.
x2  3
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:


2
2
1
1  2
28

  2
2
x  3   .  x 2  3
 3x  1   3.x  . 3    3 
2 
 3

1) Trong lời giải trên, tại sao ta lại viết 3x  1  3.x 

1

. 3 mà không phải là một cách viết khác? Câu
3
trả lời là ở chỗ khi áp dụng bất đẳng thức nào thì cần phải quan sát hình thức, bản chất của bất đẳng
thức đó. Cụ thể, vì mẫu thức có x 2  3  x 2 
thì cần phải làm xuất hiện x và
2) Nếu mẫu thức là 2 x 2  5 



 3

2

nên muốn áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xky

3 như đã phân tích trong lời giải.
2

2x

  5

2

chẳng hạn thì ta cần viết 3x  1 


.
.

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 17/46


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

Ví dụ 3.2. a) Chứng minh rằng

x  3  5  x  4, x   3;5 .

 5 4
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  2 x  5  4  3 x , với x    ;  .
 2 3
Lời giải
a) Đặt F  x  3  5  x , với x   3;5 .
Cách 1: (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si).
Với mọi x   3;5 , ta luôn có F  0 .
Có F 2  8  2

 x  3 5  x   8   x  3  5  x   16  F  4 .
Dấu bằng xảy ra khi x  3  5  x  x  1   3;5 . Vậy, F  4, x   3;5 .
Cách 2: (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si).
43 x 45 x

8 F  4.

Ta có A  2. x   3.
.
2
3
2 3
6
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

   

x
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy, A đạt giá trị lớn nhất bằng

2

5
2 

4
x
29
3
x .
30
3

115
29
khi x  


Trang 18/46


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
 x  3  5  y  4
3. Giải các hệ phương trình: a) 
.
 y  3  5  x  4

 x  3  5  y  x 2  2 y  5
b) 
.
2
 y  3  5  x  y  2 x  5

 x 3  5 y  4

4. Giải các hệ phương trình: a)  y  3  5  z  4 .

 z  3  5  x  4

 x  3  5  y  z2  2z  5

b)  y  3  5  z  x 2  2 x  5 .

2
 z  3  5  x  y  2 y  5



12
y
x
y

 4   25 x
12. 5  5. 4
 25 48   25 48 

Đẳng thức xảy ra khi  2

  x; y    ;   ;   ;  .
2
2
 13 13   13 13 
 x  y 1
 x2    12  x2  25


 25 16
 5

 25 48 
 25 48 
Vậy, S đạt GTNN bằng 9 khi  x; y     ;  ; đạt GTLN bằng 17 khi  x; y    ;   .
 13 13 
 13 13 
2


1. Cho các số thực a, b thỏa mãn 2a  3b  1  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
a) A  a 2  b 2  4a  6b  13 .

b) a 2  3b 2  4a  18b  10 .

2. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a 2  4b 2  9c 2  2a  16b  18c  21  0 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức S  2a  4b  9c  11 .

3.3. Câu hỏi trắc nghiệm khách quan
Câu 3.1. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  4  x 2 .
Khi đó, giá trị của M  m bằng
A. 4.
B. 2 2.
C. 2 2  2.
D. 2 2  2.
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 19/46


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

Lời giải
Điều kiện 2  x  2 .
+) Với mọi x   2; 2 , ta có y  x  2 ; y  2  x  2 . Suy ra m  2 .
+) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có




.
A.
B.
C.
D.
3
6
6
3
Lời giải
2
3
2 3
Điều kiện:  x  . Với điều kiện này thì y  0 . Với mọi x   ;  , ta có
3
2
3 2
1
5 5
y 2  x  1  2  3 x  2  3  2 x    3 x  2   2  3 x  2  3  2 x    .
3
3 3
5
15
15
2

;y
 3x  2  0  x  .
Suy ra y 

Suy ra y 

;y

3
6
6
6
1
6  3 2 
2
35
5 6
15
Vậy M 
và m 
. Suy ra M 2  m 2 
./.
6
6
3
2

Đáp án B.
Lời bàn: 1) Giả sử m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn

 a; b . Khi đó, ta có các kết quả sau đây:
+) Phương trình f  x   k có nghiệm thuộc đoạn  a; b khi và chỉ khi m  k  M .
+) Bất phương trình f  x   k có nghiệm thuộc đoạn  a; b khi và chỉ khi M  k .
+) Bất phương trình f  x   k có nghiệm thuộc đoạn  a; b khi và chỉ khi m  k .