ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010
MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút)
Bài 1 (2,5 điểm) Giải các phương trình sau:
1. 3x
2
+ 4x + 10 = 2
2
14 7x −
2.
2 4 2 2
4 4
4 16 4 1 2 3 5x x x x y y y− − − + + + + − − = −
3. x
4
- 2y
4
– x
2
y
2
– 4x
2
-7y
2
- 5 = 0; (với x ; y nguyên)
Bài 2: (2.5 điểm)
1. Tìm số tự nhiên
n
để
18n
+

Hết./
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009-2010.
MÔN THI: to¸n
(Thời gian làm bài 150 phút)
Câu Ý Nội dung Điể
m
1
(2,5đ)
1.1
(0,75đ
)
Giải, xác định đúng điều kiện:
2 2
;
2 2
x x
−
< ≥
⇔
2 2 2
4 4 2 1 2 2 1. 7 7x x x x+ + + − − − +
= 0
2
( 2) ( 2 1 7) 0x x⇔ + + − − =
2
2
2 0
2
2

(1.0đ)
Điều kiện :
2
2
2 2
4 0 (1)
16 0 (2)
4 1 0 (3)
2 3 0 (4)
x
x
x
x y y

− ≥

− ≥


+ ≥


+ − − ≥

Từ (2)
⇔
(x
2
– 4)(x
2

x
2
= 2y
2
+ 5
⇔
x lẻ
Đặt x = 2k + 1 ; ( k
Z∈
)
⇔
4k
2
+ 4k +1 = 2y
2
+ 5
⇔
2y
2
= 4k
2
+ 4k – 4
⇔
y
2
= 2(k
2
+ k – 1)
⇔
y chẵn

41n
−
là hai số chính phương
2
18n p⇔ + =
và
( )
2
41 ,n q p q− = ∈ N
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
18 41 59 59p q n n p q p q⇒ − = + − − = ⇔ − + =
Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:
1 30
59 29
p q p
p q q
− = =
 
⇔
 
+ = =
 
Từ
2 2
18 30 900n p+ = = =
suy ra
882n
=
Thay vào


( )
2 5 b a⇔ − =
(vì
0a ≠
)
0,5
Do đó
a
phải là số chẵn:
2a k=
, nên
5 b k− =
Nếu
1 8 81 8 1 9b a= ⇒ = ⇒ = + =
(thỏa điều kiện bài toán)
Nếu
4 6 64 6 4 8b a= ⇒ = ⇒ = + =
(thỏa điều kiện bài toán)
Nếu
9 4 49 4 9 7b a= ⇒ = ⇒ = + =
(thỏa điều kiện bài toán)
0, 5
3
3,25đ
)
3.1
(1,0)
d
d

yx
xyyx
Bài 3: Cho hai số thực x; y thoả mãn điều kiện: x > y và xy < 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =
22
)
11
()(
yx
yxyx
++
Bài 4: Cho đờng tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC ( có góc C tù).
A; B ; C lần lợt là tiếp điểm của đờng tròn (I ) với các cạnh BC,CA, AB
của tam giác. Nối AA cắt đờng tròn (I) tại E, kéo dài C B và BC cắt nhau tại K.
a. Chứng minh KE là tiếp tuyến của đờng tròn (I ) .
b.Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc với AA, đờng thẳng này cắt CB kéo dài
tại F. Chứng minh đờng thẳng BC đi qua trung điểm của AF.
===================
Sở GD-ĐT Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Nghệ an Năm học 2005 2006

Môn: Toán Lớp 9 Bảng B
( Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề ).
Bài 1: Giải hệ phơng trình:
x
2
+ xy + y
2
= 4

( Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề ).
Bài 1: Giải hệ phơng trình:
x
2
+ xy + y
2
= 4
x + xy + y = 2
Bài 2: Cho hai số a; b nguyên dơng thoã mãn điều kiện:
a
b
b
a 11
+
+
+
là một số
nguyên dơng. Gọi d là ớc số của a và b. Chứng minh:

bad
+
Bài 3: Cho biểu thức:

142142
++=
xxxxP
Tìm giá trị nhỏ nhất của P và tập giá trị x tơng ứng.
Bài 4: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn tâm O. M là điểm thuộc cung nhỏ
BC ( M B; C ).
a. Chứng minh: MA = MB + MC.

2
+ 2y
2
.
Bài 3: Giải phơng trình:
2
12x25x11x7
23
+
= x
2
+6x -1
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC) , kẻ đờng phân giác AD của góc BAC và đờng trung tuyến AM
( D;M BC). Vẽ hai đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và tam giác ADM , hai đờng tròn này cắt nhau
tại điểm thứ hai là I, đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt hai cạnh AB và AC theo thứ tự tại E và F. Tia
AD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại J.
a. Chứng minh: 3 điểm I, M,J thẳng hàng.
b. Gọi K là trung điểm của EF, tia MK cắt AC và tia BA theo thứ tự tại P và Q.
Chứng minh tam giác PAQ cân.
Sở GD-ĐT Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Nghệ an Năm học 2006 2007

Môn: Toán Lớp 9 Bảng B
( Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề ).
Bài 1: Chứng minh rằng:
a. Với mọi số tự nhiên n > 1 thì số A = n
6
- n
4
+ 2n

Bài1
4điểm
a.Giả sử n
6
n
4
+ 2n
3
+ 2n
2
= k
2
, k Z
<=> n
4
( n
2
1) + 2n
2
(n + 1) = k
2
<=> (n + 1) n
2
(n
3
n
2
+2) = k
2
<=> ( n+ 1)

không thể là số chính phơng.
b. Giả sử a = m
2
+ n
2
và b = p
2
+ q
2
m;n;p;q Z.
Ta có: a.b = (m
2
+ n
2
)( p
2
+ q
2
) = m
2
p
2
+ m
2
q
2
+n
2
p
2

2
+ 5y
2
+ 8xy + 2y 2x + 2 = 0 (1)
(1) <=> 25x
2
+ 25y
2
+ 40xy + 10y 10x + 10 = 0
<=>25 x
2
+ 16 y
2
+ 1 + 40 xy 10 x 8 x + 9y
2
+18 y +9 = 0
<=> ( 5x + 4y 1)
2
+ 9 (x 1)
2
= 0



=+
=+
01y
01y4x5
Vậy x = 1, y = - 1 có đẳng thức (1).
b.áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:

)
Suy ra: 3x
2
+ 2y
2

35
6
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khÝ:
x
2
3
:2y
3
2
:3
=
vµ 2x + 3y = 1





=
=+
3
y2
2
x3
1y3x2

2
+−−
= x
2
+6x –1
§iỊu kiƯn: x ≥
7
4
( do x
2
–x +3 ≥
4
11
)
)3xx)(4x7(2
2
+−−
≤ (7x – 4) +( x
2
–x +3) = x
2
+6x – 1
= VP
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi:
7x – 4 = ( x
2
–x +3) <=> x
2
– 8x + 7 = 0
x = 1 vµ x = 7 tho· nm·n bµi to¸n

C
I
A

B
B
B
B
D
J
M
J
B
F
E
Câu 1: (4 điểm) Cho phương trình :
2
2 (6 3) 3 1 0x m x m− − − + =
(
x
là ẩn số)
a) Đònh
m
để phương trình trên có hai ngiệm phân biệt đều âm.
b) Gọi
1 2
,x x
là hai nghiệm của phương trình trên.
Đònh
m

2
1n n+ + không chia hết cho 9.
Câu 5 : (4 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và có trực tâm là H.
a) Xác đònh vò trí của điểm M thu c cung BC khơng ch a i m A ộ ứ đ ể sao cho tứ giác BHCM là
một hình bình hành.
b) Lấy M là điểm bất kỳ trên cung BC không chứa A. Gọi N và E lần lượt là các điểm đối xứng
của M qua AB và AC. Chứng minh ba điểm N , H , E thẳng hàng.
Câu 6 : (2 điểm)
Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và diện tích tam giác AOB bằng 4 , diện tích
tam giác COD bằng 9. Tìm giá trò nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD.

ĐÁP ÁN
Câu 1: (4 điểm) Cho phương trình :
2
2 (6 3) 3 1 0x m x m− − − + =
(
x
là ẩn số)
a) Đònh
m
để phương trình trên có hai ngiệm phân biệt đều âm.
b) Gọi
1 2
,x x
là hai nghiệm của phương trình trên.
Đònh
m
để A=
2 2

6
m
m
m
m

− <
<


 
⇔
 
− ≠−
 
≠



b)Ta có A=
2 2
1 2
x x+
=
2
1 1
(3 1)
4 4
m − + ≥
A đạt GTNN là

>
+ + + + +
>
+ + + + +
>
+ + + + +
Cộng bốn BĐT trên ta được :
1
a b c d
a b c b c d c d a d a b
< + + +
+ + + + + + + +
Ta lại có :
1
a a
a b c a c
c c
c d a a c
a c
a b c c d a
<
+ + +
<
+ + +
⇒ + <
+ + + +
và

1
b b

2
ab
a b − ≤
(2)
Cộng (1) và (2) ta có đpcm.
Câu 3 : (4 điểm)
Giải các phương trình :
a)
2 2 2
( 3 ) 6( 3 ) 7 0x x x x− − − − =
b)
8 3 5 3 5x x+ − + − − =
c)
2 2
1x x x x x+ + − = +
Giải:
a)
2 2 2
( 3 ) 6( 3 ) 7 0x x x x− − − − =
Đặt
2
3t x x= − , ta có phương trình :
2
6 7 0 1 7t t t v t− − = ⇔ = − =
Với
2 2
3 5
1, 3 1 3 1 0
2
t x x x x x

= =

 
⇔
  
= =
+ =
 

Từ đó ta tìm được nghiệm x = 4
c)
2 2
1x x x x x+ + − = +
( Điều kiện :
0 1x≤ ≤
Ta thấy
0x =
không thỏa nên ta chia hai vế cho x :
2 2
1 1
1 1
x x x x
x x x x
x x
x x
+ −
+ = + ⇔ + + − = +
Xét vế phải :
1
2x

1 4(1 .9) 36 3 3(12 1)k k k∆ = − − = − = −
Ta thấy
∆
chia hết cho 3 và không chia hết cho 9 nên không là số chính phương, do vậy phương
trình (1) trên không thể có nghiệm nguyên.
Vậy
2
1n n+ + không chia hết cho 9. ( đpcm)
Câu 5 :
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và có trực tâm là H.
a)Xác đònh vò trí của điểm M thu c cung BC khơng ch a i m A ộ ứ đ ể sao cho tứ giác BHCM là một
hình bình hành.
b)Lấy M là điểm bất kỳ trên cung BC không chứa A. Gọi N và E lần lượt là các điểm đối xứng
của M qua AB và AC. Chứng minh ba điểm N , H , E thẳng hàng.
Gọi M
o
là điểm đối xứng của A qua tâm O của đường tròn.
Ta có CM
o
song song với BH vì cùng vuông góc với AC.
BM
o
song song với CH vì cùng vuông góc với AB.
Vậy tứ giác BHCM
o
là một hình bình hành.
Điểm M
o
chính là vò trí của M mà ta cần xác đònh.
a) Ta có N và M đối xứng qua AB nên : ANB=AMB= ACB.