Chuyên đề 6: Số chính phơng
**********
Bài toán 1: Tìm số tự nhiên n sao cho n+24 và n-65 là hai số chính phơng.
Bài toán 2: Tìm số điện thoại của một cơ quan biết rằng số điện thoại có dạng
aabb82
và
aabb
là số chính phơng có bốn chữ số.
Bài toán 3: Gọi d là ớc nguyên dơng của số chính phơng n. CMR: 4n+d không phải là số
chính phơng.
Bài toán 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y. Số
4
)4)(3)(2)(( yyxyxyxyxA
+++++=
là số chính phơng.
Bài toán 5: Cho dãy số 49, 4489, 444889,.. đợc xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số
đứng trớc nó. CMR: tất cả các số của dãy đều là số chính phơng.
Bài toán 6: Tìm một số điện thoại có 4 chữ số biết rằng nó là một số chính phơng và nếu ta
thêm mỗi chữ số của nó một đơn vị thì cũng đợc một số chính phơng.
Bài toán 7: Giả sử N=1.3.52005. Chứng minh rằng trong ba số 2N-1; 2N; 2N+1 không có
số nào là số chính phơng.
Bài toán 8: Cho số N=1.2.3+2.3.4++n(n+1)(n+2). Chứng minh rằng 4N+1 là số chính ph-
ơng với n là số nguyên dơng.
Bài toán 9: CMR: tổng bình phơng của 5 số nguyên liên tiếp không là số chính phơng.
Bài toán 10: Chứng minh rằng:
)(265.72.13 Nn
nn
++
không là số chính phơng.
Bài toán 11: Chứng minh rằng số
2346

a)
2
)2( adbabd
+=
b) A+72 là số chính phơng.
Bài toán 17: a) Khai triển
44
)1(
++
nn
thành dạng 2k+1 và phân tích k thành nhân tử.
b) Cho số nguyên A là tổng bình phơng của hai số nguyên dơng liên tiếp. Chứng minh rằng
A không thể là tổng luỹ thừa bậc 4 của hai số nguyên dơng liên tiếp.
Bài toán 18: Giả sử 2n+1 và 3n+1 là các số chính phơng. Chứng minh rằng: 5n+3 là một
hợp số.
Bài toán 19: Tìm số tự nhiên n sao cho
193
+
n
là số chính phơng.
Bài toán 20: Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho
722
234
++++
nnnn
là số chính phơng.
Bài toán 21: Tìm tất cả các số có hai chữ số
ab
sao cho
1.2