SỐ CHÍNH PHƯƠNG
1) Định nghĩa: Là số có dạng
2
,n n∈ ¢
.
2) Tính chất:
1. Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ khi chia
cho 8 dư 1
2. Nếu a=3k thì
( )
2
0 mod9a ≡
; Nếu
3a k≠
thì
( )
2
1 mod3a ≡
3. Giữa các bình phương của hai số nguyên liên tiếp không có số chính
phương nào
4. Số chính phương không thể có tận cùng là 2, 3, 7, 8.
5. Nếu hiệu của hai số nguyên bằng 2n thì tích của chúng thêm n
2
sẽ là số
chính phương.
6. Nếu a, b chính phương, (a,b)=1 thì a chính phương và b chính phương.
HD: G/s ab= c
2
và gọi d=(a,c) suy ra a=a
1
d; c=c

thì a không là số chính phương.
3) Bài tập
1. Chứng minh rằng tổng của hai số chẵn liên tiếp không chính phương.
HD:
( )
2 (2 2) 4 2 2 mod4n n n+ + = + ≡
2. Chứng minh rằng tổng các bình phương của 2 hoặc 3 số nguyên lẻ
không chính phương.
HD:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
2 1 2 1 2 mod 4
2 1 2 1 2 1 3 mod8
n k
n k l
+ + + ≡
+ + + + + ≡
3. Chứng minh rằng một số chẵn bất kì không phải là bội của 4 thì không
thể phân tích thành hiệu 2 số chính phương.
HD:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 1k a b a b a b+ = − = − +
Do vế trái chẵn nên hai số a và b có cùng tính chẵn lẻ suy ra (a-b) và (a+b)
cùng chẵn. Khi đó vế phải chia hết cho 4.
4. Chứng minh phương trình 13x
2
+2 =y

1 mod3 3 8 13 2 1 mod3t n≡ ⇒ + + ≡

7. Chứng minh không tồn tại
n
∈
¥
để 7.10
n
+4 là chính phương.
HD:
( )
7.10 4 2 mod3
n
+ ≡
8. Chứng minh rằng tích của 2 số tự nhiên khác không liên tiếp không
chính phương.
HD: có n
2
< n(n+1) < n
2
+2n+1 = (n+1)
2
9. Tìm
n
∈
¥
n
2
+ 3n là chính phương.
HD: Dễ thấy n = 0;1 đúng.

12. Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thêm 1 là số chính
phương.
13.Tổng các chữ số của một số chính phương có thể bằng 1994 hoặc 1995
được hay không?
HD: a)
( )
( ) mod3N S N≡
. Vì
( )
1994 2 mod3≡
nên nếu S(N)=1994 thì
( )
2 mod3N ≡
b) vì 1995 chia hết cho 3, nhưng 1995 không chia hết cho 9 nên tổng
các chữ số của 1 số chính phương không thể bằng 1995.
14. Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không
chính phương.
HD:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2
2 1 1 2 5 2 5n n n n n n− + − + + + + + = + M
nhưng không chia hết
cho 25.
15. Chứng minh rằng không tồn tại
n
∈
¥
để n

18.Chứng minh rằng số chính phương có chứa chữ số lẻ ở hàng chục thì
chữ số hàng đơn vị luôn bằng 6.
HD: xét (10n+b)
2
= 20n(5n+b) + b
2
; Với
9b ≤
chữ số hàng chục của
20n(5n+b) chẵn do đó chữ số hàng chục của b
2
lẻ nên b=4; 6.
19. Chứng minh rằng mọi số chính phương lẻ đều có chữ số hàng chục là
chẵn.
HD: Xét (10a+b)
2
= 20a(5a+b)+b
2
với b lẻ,
2
9 1;3;5;7;9 01;09;25;49;81b b b≤ ⇒ = ⇒ =
→
ĐPCM
20. Chứng minh rằng một số chính phương lớn hơn 100 có tận cùng là 5 thì
chữ số hàng trăm là chẵn.
HD: Xét (10a+5)
2
=100a(a+1)+25. Vì a(a+1) chẵn . Ta có ĐPCM.
21. Tìm
,x y∈ ¥

•
0y ≠
, vì k không chia hết cho 5 nên
( )
2
1 mod5k ≡ ±
Từ giả thiết suy ra
( )
2 mod5
x
≡ ± ⇒
x chẵn, x=2n
Và từ giả thiết suy ra
( )
2 5
5 ( 2 ) 2 , ; ,
2 5
n a
y n n
n b
k
k k a b y a b
k

+ =
= + − ⇒ + = ∈

− =

¥

( )
11 11ab ba a b+ = + M
, vì số chính phương chia hết cho 11 thì chia
hết cho 121 nên (a+b) chia hết cho 11. do đó a+b chia hết cho 11.
+)
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
10 10 99 11ab ba a b b a a b− = + − + = − M
Vì 0<(a-b)<8,
2 2
2 18 11 9.11.11.( )a b a b ab ba a b≤ + ≤ ⇒ + = ⇒ − = −
chính
phương hay (a-b) chính phương, suy ra hoặc a-b=1 hoặc a-b=4
ĐS: số 65
23. Tìm số chính phương
abcd
biết
1ab cd− =
HD:
2
100 100(1 ) 100 101n abcd ab cd cd cd cd= = + = + + = +
( ) ( )
10 10 101n n cd⇒ − + =
.
Vì n<100 và 101 là nguyên tố nên n+10=101 suy ra n=91.
24.(VĐ Balan) Chứng minh rằng nếu a, b là các số nguyên thoả mãn hệ
thức 2a

3
+p
4
=n
2
. Dễ thấy 4p
4
+4p
3
p
2
<4n
2
<4p
4
+p
2
+4+4p
3
+4p+8p
2

hay
(2p
2
+p)
2
<(2n)
2
<(2p

2
+(aq-bp+cn-dm)
2
.
28. Chứng minh rằng tổng các bình phương của 7 số nguyên liên tiếp
không chính phương.
29. Chứng minh rằng tổng các bình phương của 9 số nguyên liên tiếp
không chính phương.
30. Tìm
a∈ ¥
để a
2
+a+1589 chính phương.
31. Chứng minh rằng nếu 8
n+1
và 24
n+1
là chính phương thì 8
n+3
là hợp số
32. Chứng minh rằng n
3
+1 không chính phương với mọi n lẻ và n>1.
33. Tìm
abcd
biết nó là một bội của 11 v à b+c = a, bc chính phương.
34. Chứng minh rằng nếu
1
2
ab cd=