Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
103
0
r =1
Mặt phẳng Z
Hình 3.4
I
m
(z)
R
e
(z)
ω
-1
+1
[]
)(])([ nxZTrnxFT
n
=
−
(3.48)
nếu X(z) hội tụ tại
1z =
, thì
)]n(x[FTe)n(x
ez
)z(X)e(X
m
nj
j

1
0n
n
n
z
3
1
1
1
z
3
1
)z(X
−
∞
=
−
−
=






=
∑
,
3
1

với - ∞ < n < ∞ (3.49)
ở đây ω là tần số.
Vậy đáp ứng ra y(n) của hệ thống sẽ được tính như sau :
h(n)
x(n) ≡ δ(n)
y(n) ≡ h(n)
Hình 3.5
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
104
nj
m
mj
m
mnj
m
eemhemhmnxmxny
ωωω






==−=
∑∑∑
∞
−∞=
−
∞

Theo biểu thức (3.50), ta thấy rằng đáp ứng tần số của hệ thống chính là biến đổi
Fourier của đáp ứng xung :
∑
∞
−∞=
−
==
n
njj
enhnhFTeH
ωω
)()]([)(
(3.52)
Ngược lại, ta cũng có thể nói rằng đáp ứng xung của hệ thống chính là biến đổi
Fourier ngược của đáp ứng tần số của hệ thống :
∫
−
==
π
π
ωωω
ω
π
deeHeHIFTnh
njjj
)(
2
1
)]([)(
(3.53)

ω
j
eH
: là đáp ứng tần số của biên độ hay gọi tắt là đáp ứng biên độ của hệ thống.
)(
ωϕ
: là đáp ứng tần số của pha hay gọi tắt là đáp ứng pha của hệ thống.
Rõ ràng là ta cũng có quan hệ giữa đáp ứng tần số của biên độ
)(
ω
j
eH
và pha
)(
ωϕ
với phần thực và phần ảo của
)(
ω
j
eH
:
[][ ]
)(Im)(Re)(
22
ωωω
jjj
eHeHeH +=
(3.57)
[ ]
[]

chỉ lấy các giá
trò dương.
Ví dụ 3.5 :
Cho một hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung như sau :
h(n) = a
n
u(n) với
1<
a
Hãy xác đònh đáp ứng tần số của hệ thống và đáp ứng ra với kích thích vào là
))(
3
nj
enx
π
=
và
3
1
=
a
Giải :
∑∑∑
∞
=
−
∞
=
−
∞

−
−
=
1
1
)(
Từ đây ta có :
[]
ω
ω
ω
cos21
cos1
)(Re
2
aa
a
eH
j
−+
−
=
[]
ω
ω
ω
cos21
sin
)(Im
2

3
3
3
1
1
1
)(
π
π
−
−
=
3.5.2 Các Bộ Lọc Số Lý Tưởng
Một ứng dụng quan trọng nhất của xử lý tín hiệu là lọc số. Các bộ lọc số dần dần đã
thay thế các bộ lọc tương tự.
Việc thiết kế các bộ lọc thực tế đều đi từ lý thuyết các bộ lọc lý tưởng, vì vậy cần
phải nghiên cứu các bộ lọc lý tưởng. Chúng ta sẽ tiến hành nghiên cứu bốn loại bộ lọc
số tiêu biểu là :
- Bộ lọc số thông thấp.
- Bộ lọc số thông cao.
- Bộ lọc số thông dải.
- Bộ lọc số chắn dải.
Lọc ở đây, chúng ta hiểu là lọc tần số chính, vì vậy mà tất cả các đặc trưng của lọc
tần số đều được cho theo đáp ứng biên độ.
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
106
a. Bộ Lọc Số Thông Thấp Lý Tưởng
Trước hết, chúng ta đònh nghóa thế nào là bộ lọc thông thấp lý tưởng. Bộ lọc
thông thấp lý tưởng được đònh nghóa theo đáp ứng biên độ.

eH
là đối xứng thí ta chỉ cần xét một nửa chu kỳ (
0 ≤ ω ≤ π ) là đủ.
Nếu chỉ xét trong một nửa chu kỳ thì các tham số của bộ lọc số thông thấp lý
tưởng sẽ như sau :
ω
c
: tần số cắt
( 0 ≤ ω ≤ ω
c
) : dải thông
( ω
c
≤ ω ≤ π ) : dải chắn
Ví dụ 3.6 :
Cho đáp ứng tần số của bộ lọc số thông thấp lý tưởng pha không (θ(ω) = 0) như
sau:



≤≤−
=
lại còn
,
ω
ωωω
ω
,0
1
)e(H

jn
dedeeHnh
c
njnj
njnjj
cc
c
c
ω
ππ
ω
π
ω
π
ωω
ω
ω
ω
π
π
ωω
sin
1
)(
2
1
2
1
)(
2

π
=
Thay từng giá trò của n vào ta sẽ thu được các giá trò của h(n). Đồ thò của h(n)
cho trên hình 3.7
Nhận xét :
- Đáp ứng xung h(n) là đối xứng, bởi vì đáp ứng pha θ(ω) là tuyến tính.
- Tâm đối xứng của h(n) nằm tại mẫu n = 0, bởi vì pha θ(ω) = 0 (trùng với trục
hoành).
- Tại tất cả các mẫu là số nguyên lần của 2 (các mẫu chẵn) trừ tại n = 0 thì h(n) = 0
bởi vì ω
c
= π/2. Trong trường hợp tổng quát ω
c
= π/M (M là nguyên dương) thì tại
các mẫu là số nguyên lần của M. h(n) = h(mM) = 0.
- Các bộ lọc có tần số cắt ω
c
= π/M (M là nguyên dương) được gọi là bộ lọc Nyquist.
- Nếu ω
c
= π/2 gọi là bộ lọc nửa band, nếu ω
c
= π/M gọi là bộ lọc một phần M band.
- Đáp ứng biên độ
)(
ω
j
eH
của các bộ lọc số thông thấp lý tưởng là hoàn toàn như
nhau, nhưng đáp ứng pha θ(ω) có thể khác nhau

ω
lại còn

,0
,1
)e(H
c
c
j
(3.61)
và (- π ≤ ω ≤ π )
Hình 3.8 cho đồ thò của đáp ứng biên độ của lọc số thông cao lý tưởng.
Nhận xét :
Cũng giống như bộ lọc số thông thấp lý tưởng,
)(
ω
j
eH
là đối xứng, như vậy h(n)
là thực và như vậy trong miền tần số ω ta chỉ cần xét
)(
ω
j
eH
trong một nửa chu kỳ ( 0
≤ ω ≤ π ) là đủ.
Nếu chỉ xét trong một nửa chu kỳ thì các tham số của bộ lọc số thông cao lý
tưởng sẽ như sau :
ω
c

c
= π/2
Giải :
-
π
-
ω
c
0
ω
c

π
ω
|H(e
jω
)|
Hình 3.8
1
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
109

n
n
n
n
dededeeHnh
c
cc

)(
2
1
)( −=−==
∫∫∫
−−−
n
n
nnh
c
cc
ω
ω
π
ω
δ
sin
)()( −=
(3.62)
thay ω
c
= π/2 ta có :
n
n
nnh
2
2
sin
2
1




≠−
=−
=
0,)(
0,)0(1
)(
nnh
nh
nh
lp
lp
(3.63)
- Ta thấy rằng δ(n) chính là đáp ứng xung của bộ lọc thông tất (All-pass filter) pha
không và đáp ứng biên độ của bộ lọc thông tất là :
)(
ω
j
ap
eH
được đònh nghóa như
sau :
1/2
)n(h
Hình 3.9
n
1/π
1/5π