Sở Giáo dục và đào tạo
thanh hoá
CHNH THC
Kỳ thi chọn HọC SINH GIỏI TỉNH
Nm hc: 2008-2009
Mụn thi: Toán
LP : 12 THPT
Ngy thi: 28/03/2009
Thi gian: 180 phỳt (khụng k thi gian giao )
Bài 1
(5,0 điểm)
Cho hàm số
23
23
+= xxy
có đồ thị (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:

2323
2323
+=+ mmxx

3. Với mỗi điểm M thuộc (C) kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến với (C)?
Bài 2(4,0 điểm)
1. Tính tích phân: I =
dx
xx
xe

++

2
<
+
+
+
+
+

m
m
x
m
m
x
m
m
.
3. Với giá trị nào của x, y thì 3 số
y
yx
yx
uuu 5,
log
2,
log
8
3
2
2
2

2
.
2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (AB = BC =1)
và các cạnh bên SA = SB = SC = 3. Gọi K, L lần lợt là trung điểm của AC và BC.
Trên cạnh SA, SB lần lợt lấy các điểm M, N sao cho SM = BN = 1. Tính thể tích
của tứ diện LMNK.
Bài 5
(1,0 điểm)
Cho n là số nguyên lẻ và n >2. Chứng minh rằng với mọi a khác 0 luôn có:

1)
!)!1(
...
!3!2
1)(
!
...
!3!2
1(
13232
<

++++++++

n
a
n
aaa
a
n

0
66;63
,,
,
,,2,
==



=
=
=
==
xy
x
x
y
xyxxy

Bảng biến thiên

x

0 1 2
+

,
y

+ 0 - 0 +

31+
3
x

2

0,5

0,5
1,0
m < -1 thì
)(mf
< -2
m > 3 thì
)(mf
> 2
Vậy *



<
>
1
3
m
m

phơng trình có 1 nghiệm
*
{ }
3;2;0;1=m
phơng trình có 2 nghiệm
3
000
2
0
++= xxxxxxy

[ ]





=
=
=


=++

++=+
2
3
0)
2
3
)((
03)3(2)(
))(63()(3)(
23))(63(23)(
0

TH1
)0;1(1
2
3
IMa
a
a =

=
có 1 tiếp tuyến duy nhất
TH2
)0;1(1
2
3
IMa
a
a


có 2 tiếp tuyến 0,25


1
0
2
2
44
dx
xx
x
Đặt





+
=
=






+
=
=
2
1
2
)2(

2
2
2 x
dx
dxdx
x
x
x
x
J

2
3
ln4
3
5
2
3
ln4
3
5
)2ln3(ln42
3
1
2ln42
3
1
22
1
0

=6! Cách sắp xếp 6 chữ số
đ cho vào 6 vị trí từ a
1
đến a
6

Nh vậy có 5.P
6
=5.6! cách sắp xếp 10 chữ số từ 0 đến 9 vào 6 vị trí từ a
1
đến a
6

mà mỗi cách chỉ có một chữ số lẻ.
*Trong tất cả các cách sắp xếp đó thì những cách xếp có chữ số 0 đứng ở vị trí
a
1
không phải là một số có 6 chữ số
* Do tính bình đẳng của các chữ số đ chọn có
6
1
số cách sắp xếp không phải
là số có 6 chữ số và bằng
!5.5
6
!6.5
=

Vậy số các số có 6 chữ số mà trong nó chỉ có một số lẻ là
5.6! - 5.5! = 5!(30 - 5) = 25.5! = 3000 số

2
2sin()3sin( =+=


(*)
Đặt z = sin t ĐK
1z
phơng trình (*) trở thành




=
=
==+
3
2
0
0460)21(43
2
323
z
z
zzzzzx

*
Zkkxkttz +==== ;
4
0sin0


lt
lt
lt
lt







+=
++=







+=
+=




+=
+=
,
24


0,5 0,25

0,5

0,25
2.(2đ) Đặt
1
log1
2
+
+=
m
m
a
, bất phơng trình đ cho trở thành:

022)3(
2
< aaxxa
(1)

3
2
>








>
<
>




<+
>
a
a
a
a
aaa
a Với a > 6 ta có
32
0,5
0,5

0,5
0,5
=


=
+
)2(5
2
log
2
)1(
2
log
2
2
log
8
y
yx
yxyx

Từ (1)
yxyxyx
222
log2loglog33 ==+
, thay vào (2) ta đợc:
5log
2
1
5log251552
2


03)(3
3
3
=+


=


tymtx
y
mt
mx

Do MT là tiếp tuyến của (C) nên khoảng cách từ tâm I của (C) đến MT bằng 1, hay

(*)032
)(9)2(1
)(3
3
2
22
22
=+
+=+=
+

mtt
mttm

1
T
2
có dạng:

022
22
=++++ cbyaxyx

Vì M, T
1
, T
2
thuộc đờng tròn (C
1
) nên có hệ








=++
=++
=++++
)3(02
)2(02
)1(0629


Do t
1
là nghiệm của(*) nên
3032
1
2
1
==+ cmtt

Thay c = -3 vào (1) ta đợc:
2
2
03629
2
22
+
==+++
m
bbmm

Vậy phơng trình của (C
1
) là:
03
2
2
2
2
22

0,5 0,5
0,5