Mục lục

danh mục các bảng

viii

Các từ viết tắt

ix

Những kí hiệu trong luận án

xi

mở đầu

1

1

tổng quan về các phơng pháp song song
1.1 Các phơng pháp RKN . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Cấp chính xác của phơng pháp RKN . . . .
1.1.2 Tính ổn định của các phơng pháp RKN . . .
1.2 Các phơng pháp IRKN dạng trùng khớp . . .
1.2.1 Các phơng pháp IRKN dạng trùng khớp gián
tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Các phơng pháp IRKN dạng trùng khớp trực
tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Xác định hệ số của phơng pháp RKN . . . .
1.3 Các phơng pháp PIRKN . . . . . . . . . . . . . .



1.5
2

1.4.5 So sánh các phơng pháp PIRKN và IPIRKN
1.4.6 Các phơng pháp TRKN . . . . . . . . . . . . .
1.4.7 Chọn hệ số của phơng pháp . . . . . . . . .
1.4.8 Các phơng pháp PITRKN . . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh dạng PIRKN
với công thức dự báo kiểu adams
2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Điều kiện cấp chính xác . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Xác định hệ số của phơng pháp PIRKNA . . .
2.4
2.5

2.6

Tính chất ổn định của phơng pháp PIRKNA
Thử nghiệm tính toán . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Các bài toán thử. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 So sánh với các phơng pháp song song . .
2.5.3 Bài toán không dừng tuyến tính . . . . . . .
2.5.4 Bài toán Fehlberg phi tuyến . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

3.2 Phơng pháp hiệu chỉnh PTRKN . . . . . . . . . 45
3.2.1 Điều kiện cấp chính xác . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2 Zero-ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Phơng pháp IPIPTRKN . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1 Điều kiện cấp chính xác của công thức dự báo 54
3.3.2 Tốc độ hội tụ của phơng pháp IPIPTRKN . 56
3.3.3 Miền ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Thử nghiệm tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.1 So sánh với các phơng pháp song song . . . 62
3.4.2 So sánh với các phơng pháp tuần tự . . . . . 64
3.5 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4

Phơng pháp dự báo hiệu chỉnh dạng RKN
vi


lặp song song liên tục
4.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Phơng pháp RKN liên tục (phơng pháp CRKN)
4.3 Phơng pháp CPIRKN . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Miền ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 So sánh với phơng pháp song song . . . . .
4.4.2 So sánh với các phơng pháp tuần tự . . . . .
4.5 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

2.3 Giá trị NCD/Nseq của bài toán (testprob2) tính bằng phơng
pháp PIRKN, IPIRKN trực tiếp và PIRKNA . . . . . . . . .

39

3.1 Nhân tử hội tụ của một số phơng pháp song song PC cấp p .
3.2 Biên ổn định (m) của các phơng pháp song song PC cấp p
3.3 NCD/Nseq của bài toán (testprob1) tính bằng phơng pháp
IPIPTRKN và các phơng pháp PIRKN . . . . . . . . . . .
3.4 NCD/Nseq của bài toán (testprob2) tính bằng phơng pháp
IPIPTRKN và các phơng pháp PIRKN . . . . . . . . . . .
3.5 NCD/Nseq của bài toán (testprob3) tính bằng phơng pháp
IPIPTRKN và các phơng pháp PIRKN . . . . . . . . . . .
3.6 So sánh phơng pháp IPIPTRKN6 với code tuần tự giải bài
toán (testprob2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60
61

4.1 Giá trị NCDp |NCDp cho bài toán (testprob2) với các phơng
pháp RKN liên tục khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Biên ổn định stab (m) cho phơng pháp CPIRKN khác nhau .
4.3 Giá trị NCD/Nseq cho bài toán (testprob1) với p khác nhau
4.4 Giá trị NCD/Nseq cho bài toán (testprob2) nhận đợc với p
khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Giá trị NCD/Nseq cho bài toán (testprob3) với p khác nhau
4.6 So sánh phơng pháp CPIRKN56 với code DOPRIN và ODEX2
giải bài toán (testprob2) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

viii


..
Lặp song song liên tục Runge-Kutta-Nystrom
..
Runge-Kutta-Nystrom hiển

Giá trị trung bình số các chữ số thập phân đúng
IPIRKN

..
Improved Parallel Iterated Runge-Kutta-Nystro m

IPIPTRKN

Improved Parallel-Iterated Pseudo Two-step

IRK

Implicit Runge-Kutta

..
Lặp song song cải tiến Runge-Kutta-Nystrom

..
Lặp song song cải tiến giả Runge-Kutta-Nystrom hai bớc
Rungge-Kutta ẩn

IRKN

..

..
Lặp song song giả Runge-Kutta-Nystrom hai bớc

..
Lặp song song Runge-Kutta-Nystrom với dự báo kiểu Adams.
..
Lặp song Runge-Kutta-Nystrom

..
Lặp song song đối xứng Runge-Kutta-Nystrom

ix


PITRKN

..
Parallel Iterated Two step Runge-Kutta-Nystro m

PTRKN

..
Pseudo Two-step Runge-Kutta-Nystro m

RK

Runge-Kutta

..
LÆp song song hai b−íc Runge-Kutta-Nystrom

Những kí hiệu trong luận án
Ngoài những kí hiệu thông thờng của giải tích và đại số, trong luận
án này chúng tôi còn dùng một số kí hiệu sau:
1. Tích trực tiếp của hai ma trận.
Giả sử A là ma trận p ì q chiều, B là ma trận bất kì khi đó



a11 B a12 B . . . a1q B

A B = [aij B] = a.21. .B a.22. .B .. .. .. a.2q. B
. .
ap1 B ap2 B . . . apq B

2. Luỹ thừa của một véc tơ . Giả sử c = (c1 , c2 , . . . , cs )T , khi đó

ck = (ck1 , ck2 , . . . , cks )T .
d
3. Toán tử exp( dx
).

d
d
d2
dn
+
.
.
.
+ ...



Mở đầu

Hầu hết các hiện tợng tự nhiên và kĩ thuật đều đợc mô tả bởi hệ
phơng trình vi phân. Các hệ phơng trình vi phân thuộc loại này thờng
không cho nghiệm đúng dới dạng giải tích. Vì vậy, vấn đề giải gần đúng
hệ phơng trình vi phân đã đợc quan tâm từ lâu. Một trong những hớng
giải gần đúng đó là giải số. Nhng khoa học và công nghệ ngày càng phát
triển, dẫn đến kích thớc các bài toán ngày càng lớn, yêu cầu ngày một
cao về độ chính xác, hơn nữa lại phải cho kết quả trong thời gian thực (real
time problems) chẳng hạn nh bài toán dự báo thời tiết hay bài toán điều
khiển các chuyến bay. Cần thực hiện khối lợng tính toán khổng lồ, với
độ chính xác cao trong khoảng thời gian hạn chế. Các máy tính thế hệ cũ
không thể đáp ứng đợc những yêu cầu này. Trớc nhu cầu bức xúc đó,
một chủng loại máy tính mới đã ra đời, đó là máy tính có tốc độ cao với
nhiều bộ xử lí đồng thời làm việc đó là siêu máy tính ( còn gọi là máy tính
song song, máy tính véc tơ ). Sự ra đời của siêu máy tính mở đờng cho
một hớng phát triển mới của giải tích số nói chung và giải số hệ phơng
trình vi phân nói riêng.
Vì các phơng pháp số trớc đây đợc xây dựng và nghiên cứu nhằm khai
thác loại máy tính truyền thống, chỉ có một bộ xử lý, các phơng pháp đó
còn đợc gọi là các phơng pháp tuần tự. Nếu chỉ sử dụng các phơng
pháp tuần tự sẽ không khai thác một cách có hiệu quả các siêu máy tính.
Việc xây dựng và nghiên cứu các phơng pháp mới nhằm khai thác tốt các
siêu máy tính đã trở thành nhu cầu cấp thiết của toán học tính toán nói
1


chung và giải số các hệ phơng trình vi phân nói riêng. Cho đến nay, việc


ở đây, cũng nh trong toàn bộ luận án, hàm vế phải f (t, y(t)) luôn giả
thiết liên tục theo biến t và Lipschitz theo biến y, hơn nữa, nghiệm duy
nhất của bài toán (1) đợc giả thiết đủ trơn.
Đây là lớp phơng trình quan trọng trong Vật lí, Cơ học, Thiên văn học...vì
nó mô tả mối quan hệ theo định luật Newton thứ hai.
Một biện pháp truyền thống để giải bài toán (1) là chuyển đổi nó về
hệ phơng trình vi phân cấp 1 với số chiều gấp đôi, sau đó áp dụng các
phơng pháp của hệ phơng trình vi phân cấp 1. Một trong những lớp
phơng pháp truyền thống phổ biến giải hệ phơng trình vi phân cấp 1 là
phơng pháp Runge-Kutta (RK) có lợc đồ nh sau (xem [6]):

Un = e un + h(A IN )F(tn e + hc, Un ),

un+1 = un + h(bT IN )F(tn e + hc, Un ).

(2)

với A, c, b là ma trận và các véc tơ tạo thành bộ tham số của phơng pháp.
Phơng pháp RK (1.1) thờng đợc biểu diễn ngắn gọn dới dạng bảng
Butcher nh sau:
2


A
bT

c

Cách giải nh trên gọi là cách giải gián tiếp. Một cách giải khác là

3


Chơng 3, một lớp phơng pháp lặp song song cải tiến giả RKN hai
bớc (IPIPTRKN) đợc xây dựng có các đặc trng tốt về tính ổn định và
tốc độ hội tụ nhng chỉ cần máy tính có ít bộ xử lí. Các kết quả của chơng
này đợc công bố trong bài báo [22].
Chơng 4, nghiên cứu một lớp phơng pháp song song với công thức
đầu ra liên tục (CIPIRKN). Phơng pháp áp dụng tốt trong trờng hợp cần
nhận đợc giá trị của nghiệm tại nhiều điểm khác nhau. Các kết quả của
chơng này công bố trong [23].
Nội dung cơ bản của luận án đã đợc báo cáo tại Bộ môn Toán học Tính
toán, khoa Toán-Cơ-Tin học, trờng Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học
Quốc gia Hà Nội.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn to lớn và sâu sắc tới hai ngời thầy là
GS TSKH Nguyễn Hữu Công và GS TSKH Phạm Kỳ Anh đã tận tình chỉ
bảo, hớng dẫn tôi nghiên cứu để hoàn thành luận án.
Tôi xin cám ơn GS TS Nguyễn Hữu D, TS Vũ Hoàng Linh, TS Nguyễn
Thị Hồng Minh cùng các thành viên trong Seminar bộ môn toán học tính
toán đã đọc, nghe trình bày và đóng góp nhiều ý kiến quý báu giúp cho
luận án đợc hoàn thiện.
Tác giả xin chân thành cám ơn Khoa Toán Cơ-Tin học-Trờng Đại học
Khoa học Tự nhiên; Trờng Đại học Kinh tế và Quản trị Kinh doanh; Khoa
Khoa học Tự nhiên-Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện cho tôi hoàn
thành nhiệm vụ.

4


Chơng 1


j=1
s

un+1 = un + h

dj f (tn + cj h, Un,j ).
j=1

Hay dới dạng ma trận véc tơ tơng đơng

Un = e un + hc u n + h2 (A IN )F(tn e + hc, Un ),

un+1 = un + hu n + h2 (bT IN )F(tn e + hc, Un ),

u n+1 = u n + h(dT IN )F(tn e + hc, Un ),
5

(1.2)


trong đó: Un = (UT n,1 , . . . , UT n,s )T ; F(tn e + hc, Un ) = [(f(tn +
c1 h, Un,1 ), . . . , (f(tn + cs h, Un,s )]T đều là các véc tơ sN chiều, Un
đợc gọi là véc tơ nấc. b, c, d, e là các véc tơ s-chiều, IN là ma trận
đơn vị N ì N .
Khi N = 1, tức là hệ phơng trình vi phân chỉ có một phơng trình, thì
phơng pháp (1.2) có dạng đơn giản hơn sau đây:

Un = un e + hun c + h2 Af (tn e + hc, Un ),


(order) p với p = min(p1 , p2 ).
6


Định nghĩa 1.1.2 Với giả thiết nh trên, nếu

||Un (tn+1 ) un e hun c h2 Af (tn e + hc, Un (tn+1 ))|| = O(hp3 +1 ),
ở đây Un (tn+1 ) = [y(tn + c1 h), . . . , y(tn + cs h)]T ,

thì phơng pháp RKN (1.1) đợc gọi là có cấp chính xác nấc (stage order)
bằng r với r = min(p, p3 ).

Cấp chính xác nấc của các phơng pháp IRKN có vai trò rất quan trọng
khi chúng ta giải các bài toán cơng. Các phơng pháp IRKN dạng trùng
khớp (collocation) là các phơng pháp có cấp chính xác nấc cao (mục 1.2).
1.1.2 Tính ổn định của các phơng pháp RKN

Cũng nh các phơng pháp số khác, tính chất ổn định của các phơng
pháp RKN là một trong những đặc trng quan trọng của một phơng pháp
số. Ngời ta nghiên cứu sự ổn định (tuyến tính) của phơng pháp RKN
(1.1) bằng cách áp dụng nó vào việc giải phơng trình thử vô hớng tuyến
tính y (t) = y(t), trong đó biến đổi trên phổ của ma trận Jacobi f /y.
áp dụng phơng pháp (1.3) vào phơng trình thử, ta nhận đợc hệ thức
truy hồi sau:

un+1
un
hun+1 = M (z) hun ,
M(z) =


dạng trùng khớp. Cần phân biệt hai lớp phơng pháp IRKN dạng trùng
khớp, đó là lớp phơng pháp IRKN dạng trùng khớp gián tiếp (indirect
IRKN collocation type) và lớp phơng pháp IRKN dạng trùng khớp trực
tiếp (direct IRKN collocation type) mà chúng đợc gọi tắt tơng ứng là các
phơng pháp IRKN gián tiếp và phơng pháp IRKN trực tiếp.
1.2.1 Các phơng pháp IRKN dạng trùng khớp gián tiếp

Phơng pháp IRKN gián tiếp đợc xây dựng bằng cách áp dụng một
phơng pháp IRK dạng trùng khớp vào bài toán (1) đã đợc chuyển thành
bài toán tơng đơng của hệ phơng trình vi phân cấp 1 (xem [32, 1]):

y = u(t), u (t) = f(t, y(t)), y(t0 ) = y0 , u(t0 ) = u0 = y0 .
Bảng Butcher của phơng pháp IRKN trùng khớp gián tiếp:

c

(A)2
bT .A
bT
8


Các kết quả nghiên cứu cho thấy, nếu phơng pháp IRK gốc có cấp
chính xác p với k quan hệ ẩn thì phơng pháp IRKN dạng trùng khớp gián
tiếp cũng có cấp chính xác p và cũng với k quan hệ ẩn. Bây giờ ta giả
sử rằng phơng pháp IRK gốc là phơng pháp dạng trùng khớp dựa trên s
điểm mốc phân biệt (s nấc), khi đó:

A = (aij ) = (j (ci )), d = (di ) = j (1)
x

j1
i=1

0

( ci )d, j = 1...q

(1.6)

1.2.2 Các phơng pháp IRKN dạng trùng khớp trực tiếp

Phơng pháp IRKN trùng khớp trực tiếp đợc xây dựng một cách trực
tiếp cho hệ phơng trình vi phân cấp hai chứ không chuyển về hệ phơng
trình cấp một. Việc xác định bộ hệ số của phơng pháp IRKN trực tiếp
theo kĩ thuật trùng khớp (collocation techniques) đợc nghiên cứu một cách
đầy đủ trong [33] (xem thêm [1]).
Các kết luận đợc rút ra từ các kết quả nghiên cứu và so sánh hai
phơng pháp IRKN gián tiếp và IRKN trực tiếp nh sau:
- Tính chất hội tụ trong các phơng pháp IRKN gián tiếp và trực tiếp
đều rất tốt, chúng ta có thể nhận đợc siêu hội tụ (super convergence) tức
là sự hội tụ nhanh hơn bình thờng trong cả hai phơng pháp này (xem [1]).
9


- Phơng pháp IRKN trực tiếp có cấp chính xác nấc (stage order) cao
hơn cấp chính xác nấc của phơng pháp IRKN gián tiếp có cùng cấp chính
xác.
- Tính chất ổn định của các phơng pháp IRKN trực tiếp kém hơn so
với các phơng pháp IRKN gián tiếp.
Để khắc phục nhợc điểm thiếu ổn định của phơng pháp IRKN trực

ck2 hk
Ay (tn )
+ O(hp+1 ).
(k 2)!
(k)

h y (etn + ch) =
k=2

10


p

⇒

||

k=2

ck
ck−2
−A
y (k) (tn )|| = O(hp+1 ).
k!
(k − 2)!

¸p dông ®iÒu kiÖn cÊp chÝnh x¸c, ta cã

ck

k=0
p

⇒

||

k=2

hk
y (tn) + O(hp+1 ),
k!
(k)

k−2
1
T c
−b
y (k) (tn )|| = O(hp+1 ).
k!
(k − 2)!

¸p dông ®iÒu kiÖn cÊp chÝnh x¸c, dÉn tíi

1
bT ck−2
1
−
= 0, ⇒
− bT ck−2 = 0, k = 2, ..., p,


Yn(0) = eyn + hcyn ,

(1.7a)

Yn(j) = eyn + hcyn + h2 Af (tn e + hc, Yn(j1) ),

(1.7b)

j = 1, . . . , m,
yn+1 = yn + hyn + h2 bT f (tn e + hc, Yn(m) ),

(1.7c)

yn+1 = yn + hdT f (tn e + hc, Yn(m) ).

(1.7d)

Về cấu trúc thì phơng pháp PIRKN là một phơng pháp dự báo-hiệu
chỉnh với cặp dự báo (1.7a) và hiệu chỉnh (1.7b). Dễ thấy rằng phơng pháp
PIRKN (1.7) chính là một phơng pháp ERKN thực sự với bảng Butcher
có dạng nh sau:

0(j = 0)
c(j = 1)
c(j = 2)
.
.
.
c(j = m)

chiều cũng với các phần tử bằng 0
Khối lợng chính khi giải lợc đồ trên là tính toán véc tơ hàm vế
(j)
(j)
(j)
phải f (tn e + hc, Yn ) = [f (tn + hc1 , Yn,1 ), . . . , f (tn + hcs , Yn,s )] với
12


j = 1, . . . , m. Để ý thấy rằng tại mỗi bớc s thành phần trên có thể tính
toán song song trên s bộ xử lí của một siêu máy tính, khi đó, thời gian tính
toán cần thiết của phơng pháp PIRKN tơng đơng với m + 1 lần tính
toán hàm vế phải f trên máy tính truyền thống có một bộ xử lí. Chúng
ta gọi lợc đồ (1.7) là phơng pháp PIRKN s quá trình.
1.3.1 Cấp chính xác của các phơng pháp PIRKN

Để ý rằng phơng pháp dự báo (1.7a) có cấp chính xác bằng 1, tức là
(0)
Un Yn = O(h2 ) ta có các đánh giá sai số lặp sau đây:

||Un Yn(m) || = O(h2m+2 ),
un+1 yn+1 = O(h2m+4 ),

un+1 yn+1 = O(h2m+3 ).

(1.8a)
(1.8b)
(1.8c)

với Un , un+1 , un+1 đợc tính toán bằng phơng pháp hiệu chỉnh (1.3).


Từ hệ quả trên ta thấy với cùng cấp chính xác, phơng pháp PIRKN
rẻ hơn xấp xỉ 2 lần so với phơng pháp của Hairer (xem [31]) và phơng
pháp song song gián tiếp PIRK (Parallel-Iterated RK method) (xem [34])
là hai phơng pháp tốt nhất đã có.
1.3.2 Sự hội tụ của các phơng pháp PIRKN

Trong công nghệ tính toán hiện đại, số lần lặp m trong (1.7b) đợc
chọn theo một chiến lợc đánh giá sai số nào đó chứ không chọn một cách
cố định theo cấp chính xác của phơng pháp. Trong phần này ta tìm hiểu
tính chất hội tụ của các phơng pháp PIRKN. Việc nghiên cứu sự hội tụ của
phơng pháp PIRKN dựa trên cơ sở của phơng trình thử y (t) = y(t),
trong đó biến đổi trên phổ của ma trận Jacobi f /y. Đối với phơng
trình thử này phơng trình sai số lặp có dạng sau:

Yn(j) Un = zA[Yn(j1) Un ],

z := h2 ,

j = 1, . . . , m.

Điều kiện hội tụ của quá trình lặp (1.7b) là (zA) < 1 hay điều kiện
đối với bớc lặp h là:

|z| < 1/(A),

hay h2

1 + zbT [I zA]1 [I (zA)m+1 ]e 1 + zbT [I zA]1 [I (zA)m+1 ]c .
zdT [I zA]1 [I (zA)m+1 ]e
1 + zdT [I zA]1 [I (zA)m+1 ]c

Chứng minh. áp dụng phơng pháp PIRKN (1.7) vào phơng trình thử

ta có:

Yn(m) = eyn + hcyn + zAYnm1
(0)
= (I + zA + (zA)2 + ... + (zA)m1 )(yn e + hcyn ) + (zA)m Ym
= (I zA)1 )[I (zA)m+1 ]yn e + (I zA)1 [I (zA)m+1 ]chyn (1.12a)
yn+1 = yn + hyn + zbT Yn(m) =
{1 + zbT (I zA)1 [I (zA)m+1 e}yn +
{1 + zbT (I zA)1 [I (zA)m+1 ]c}hyn (1.12b)
hyn+1 = hyn + zdT Yn(m)
= zdT (I zA)1 [I (zA)m+1 e]yn +

{1 + zdT (I zA)1 [I (zA)m+1 ]c}hyn . (1.12c)

Kết hợp các đẳng thức (1.12a), (1.12b), (1.12c) ta đợc hệ thức truy
hồi (1.7) và định lí đợc chứng minh.

15


Tính chất ổn định của phơng pháp PIRKN đợc xác định bởi bán kính
phổ của ma trận khuếch đại Mm (z), tức là:

R(z) = (Mm (z)).

So sánh sai số của của các phơng pháp PIRKN

Từ kết quả ở mục 1.3.1 ta thấy PIRKN trực tiếp và PIRKN gián tiếp
có cùng cấp chính xác. Ta cũng thấy sai số chặt cụt của mỗi phơng pháp
PIRKN phụ thuộc vào sai số của phơng pháp hiệu chỉnh và sai số lặp.
16


Để hiểu thêm về sai số chặt cụt của các phơng pháp PIRKN gián tiếp và
trực tiếp, chúng ta nghiên cứu nó trên cơ sở phơng trình thử vô hớng
y (t) = y(t).
Định lí 1.3.3 Giả sử wn = (un , hun )T , vn = (yn , hy n )T là nghiệm xấp xỉ
của phơng trình thử đợc tính bằng phơng pháp IRKN và phơng pháp
PIRKN. Khi đó ta có sai số lặp địa phơng xác định bởi hiệu wn+1 vn+1
đợc tính theo công thức sau:

wn+1 vn+1 = Em (z)vn
ở đây

Em (z) =

zbT [I zA]1 (zA)m+1 e zbT [I zA]1 (zA)m+1 c
.
zdT [I zA]1 (zA)m+1 e zdT [I zA]1 (zA)m+1 c

1.4 Các phơng pháp IPIRKN

Tính hiệu quả của các phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh phụ thuộc khá
nhiều vào độ chính xác của các phơng pháp dự báo, vì nếu có sự dự báo
chính xác cao thì số lần hiệu chỉnh ít đi. Bằng cách thay thế phơng pháp

Yn || = O(hq+1 )), và phơng pháp hiệu chỉnh có cấp chính xác p. Khi
đó ta có các đánh giá sai số lặp tơng tự nh (2.3) sau đây:
(0)

||Un Yn(m) || = O(h2m+q+1 )

(1.14a)

||un+1 yn+1 || = O(h2m+q+3 )

(1.14b)

||y(tn+1 ) yn+1 || = O(hp+1 ) + O(h2m+q+3 )

(1.14d)

||u n+1 y n+1 || = O(h2m+q+2 )

||y (tn+1 ) yn+1 || = O(hp+1 ) + O(h2m+q+2 ).

(1.14c)
(1.14e)

Trong các hệ thức trên, Un , un+1 , u n+1 đợc xác định bằng phơng
pháp IRKN. Vậy từ (1.14) ta nhận đợc định lí
Định lí 1.4.1 Giả sử phơng pháp hiệu chỉnh (1.3) có cấp chính xác p,
phơng pháp dự báo có cấp chính xác q . Khi đó trên một máy tính có s bộ
xử lí, phơng pháp IPIRKN là một phơng pháp hiển dạng RKN có cấp
chính xác p = min(p, 2m + q + 1) với m + 1 lần tính toán hàm vế phải
ở mỗi bớc