Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 5
Chơng 1
Số phức
Đ1. Trờng số phức

Kí hiệu = 3 ì 3 = { (x, y) : x, y 3 }. Trên tập định nghĩa phép toán cộng và phép
toán nhân nh sau
(x, y), (x, y)
(x, y) + (x, y) = (x + x, y + y)
(x, y) ì (x, y) = (xx - yy, xy

+ xy) (1.1.1)

Ví dụ (2, 1) + (-1, 1) = (1, 2) và (2, 1) ì (-1, 1) = (-3, 1)

Định lý (, +, ì ) là một trờng số.
Chứng minh
Kiểm tra trực tiếp các công thức (1.1.1)
Phép toán cộng có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử không là (0, 0)
(x, y) , (x, y) + (0, 0) = (x, y)
Mọi phần tử có phần tử đối là -(x, y) = (-x, -y)
(x, y) , (x, y) + (-x, -y) = (0, 0)
Phép toán nhân có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử đơn vị là (1, 0)
(x, y) , (x, y) ì (1, 0) = (x, y)
Mọi phần tử khác không có phần tử nghịch đảo là (x, y)
-1
= (

*
với
*
= - { (0, 0) }
z - z = z + (- z),
'z
z
= z
ì
(z)
-1
và z
0
= 1, z
1
= z và z
n
= z
n-1

ì
z (1.1.2)

Bằng cách đồng nhất số thực x với số phức (x, 0)
Chơng 1. Số Phức
Trang 6 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
x (x, 0), 1 (1, 0) và 0 (0, 0)
tập số thực trở thành tập con của tập số phức. Phép cộng và phép nhân các số phức hạn
chế lên tập số thực trở thành phép cộng và phép nhân các số thực quen thuộc.
x + x (x, 0) + (x, 0) = (x + x, 0) x + x, ...


+

+
=
22
yx
yyxx

+


+

+ i
22
yx
yxyx

+




, ... (1.2.2)

Ví dụ Cho z = 1 + 2i và z = 2 - i
z ì z = (2 + 2) + i(-1 + 4) = 4 + 3i,
'z
z




ì



ì



Chơng 1. Số Phức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 7
1. 'zz +
= z + 'z
2. 'zz = z 'z
n
z =
n
)z(
3.
1
z

=
1
)z(


z

= ( z )
-1

Suy ra z/z

=
1
)z(z


= z
1
z




Với mọi số phức z = x + iy, số thực | z | =
22
yx + gọi là
module
của số phức z.
Nếu z = x 3 thì | z | = | x |. Nh vậy module của số phức là mở rộng tự nhiên của khái
niệm trị tuyệt đối của số thực. Từ định nghĩa suy ra
| Rez |, | Imz | | z | | z | = | -z | = | z | = | - z | z z = z z = | z |
2

z
-1
= z

=
|z|
|z|


4. | z + z | | z | + | z | || z | - | z|| | z - z |
Chứng minh

1. Suy ra từ định nghĩa
2. Ta có | zz |
2
= zz 'zz = (z z )(z z

) = (| z || z| )
2

Qui nạp suy ra hệ thức thứ hai.
3. Ta có | z z
-1
| = | z || z
-1
| = 1

| z
-1
| = 1 / | z |
Suy ra | z / z | = | z (z)
-1
| = | z | | (z)
-1

|z|
x
và sin

=
|z|
y
(1.3.1)
Tập số thực Argz = + k2, k 9 gọi là argument, số thực argz = gọi là argument
chính của số phức z. Chúng ta qui ớc Arg(0) = 0.
Kí hiệu r = | z | từ công thức (1.3.1) suy ra
x = rcos và y = rsin
Thay vào công thức (1.2.1) nhận đợc
z = r(cos + isin) (1.3.2)
Dạng viết (1.3.2) gọi là dạng lợng giác của số phức.

Từ định nghĩa suy ra
argz = arg(-z) = - , arg z = - và arg(- z ) = -
x > 0, argx = 0 x < 0, argx =
y > 0, arg(iy) = /2 y < 0, arg(iy) = -/2 ... (1.3.3)
Ngoài ra argument của số phức còn có các tính chất sau đây.

Định lý (n, z, z) ì ì
1. arg(zz) = argz + argz [2] arg(z
n
) = n argz [2]
2. arg(z
-1
) = - argz [2] arg(z / z) = argz - argz [2]
Chứng minh


)][2(cos
6

+ isin
6

)] = 2
2
(cos
12
5
+ isin
12
5
)
z
100
= (
2
)
100
[cos(100
4

) + isin(100
4

)] = -2
50

= e
i

e
i


(e
i

)
-1
= e
-i

(e
i

)
n
= e
in


Chứng minh
Suy ra từ công thức (1.3.4) và các kết quả ở trên

Hệ quả (n, ) ì 3
1. (cos + isin)
n

kcos
và S =

=

n
0k
ksin

Ta có C + iS =

=

n
0k
ik
e
=
1e
1e
i
)1n(i



+

Suy ra C =
1cos
1cosncos)1ncos(

n
e
in

= re
i


Suy ra
n
= r và n = + m2
Hay =
n
r
và =
n

+ m
n
2
với m 9
Phân tích m = nq + k với 0 k < n và q 9. Ta có

n

+ m
n
2

n

Trang 10 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
1. Số phức z = 1 + i =
2
(cos
4

+ isin
4

) có các căn bậc 3 sau đây
w
0
=
6
2 (cos
12

+ isin
12

), w
1
=
6
2 (cos
12
9
+ isin
12
9

, k = 0...(n - 1) là các căn bậc n của đơn vị.
1.
k

=
n-k
2.
k
= (
1
)
k
3.


=

1n
0k
k
= 0

Ví dụ Với n = 3, kí hiệu j =
3
2
i
e

=
1

ảnh
của số phức z,
còn số phức z gọi là
toạ vị phức
của vectơ
v
và kí hiệu là
v
(z).
Kí hiệu P là mặt phẳng điểm với hệ toạ độ trực giao (Oxy). Anh xạ
: P, z = x + iy M(x, y) (1.4.2)
là một song ánh gọi là
biểu diễn hình học
của số phức. Điểm M gọi là
ảnh
của số phức z
còn số phức z gọi là
toạ vị phức
của điểm M và kí hiệu là M(z).
Nh hình bên, M(z) với z = x + iy, M
1
(- z ), M
2
(-z) và M
3
( z ).
Nếu z = x 3 thì điểm M(z) (Ox), còn nếu z = iy thì điểm
M(z) (Oy). Do vậy mặt phẳng (Oxy) còn gọi là mặt phẳng
phức, trục (Ox) là trục thực và trục (Oy) là trục ảo. Sau này
chúng ta sẽ đồng nhất mỗi số phức với một vectơ hay một điểm


M
2

M
3