WWW.VNMATH.COM
Chương 8
Số phức
Bài 8.1 : 1. Mối quan hệ z = z đúng nếu và chỉ nếu z là số thực ;
2. Với bất kì số phức z quan hệ z = z là đúng ;
3. Với bất kì số phức z, số phức z.z ∈ R là một số thực không âm ;
4. z
1
+ z
2
= z
1
+ z
2
(liên hợp của một tổng bằng tổng các liên hợp) ;
5. z
1
.z
2
= z
1
.z
2
(liên hợp của một tích bằng tích các liên hợp) ;
6. Với bất kì số phức z  0, có z
−1
= (z)
−1
;
7.


2
∈ C. Chứng minh rằng số E = z
1
.z
2
+ z
1
.z
2
là một số thực.
Bài 8.3 : Chứng minh các khẳng định sau :
1. −|z| ≤ ℜ(z) ≤ |z| và −|z| ≤ ℑ(z) ≤ |z| ;
2. |z| = | − z| = |z| ;
3. z.z = |z|
2
;
4. |z
1
.z
2
| = |z
1
|.|z
2
| (môđun của một tích bằng tích các môđun) ;
5. |z
1
| − |z
2
| ≤ |z

|z
2
|
, z
2
 0 (môđun của một thương bằng thương các môđun) ;
8. |z
1
| − |z
2
| ≤ |z
1
− z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|.
Bài 8.4 : Chứng minh rằng
|z
1
+ z
2
|
2
+ |z
1
− z
2

1
z
2
là số thực.
Bài 8.6 : Giải sử a là một số thực dương và
M
a
=

z ∈ C
∗
:
¬
¬
¬
¬
z +
1
z
¬
¬
¬
¬
= a

.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z| khi z ∈ M
a
.
167

|z| − |x|
|z − x|
≥
|y| − |x|
|y − x|
.
Bài 8.11 : Giải phương trình trên tập số phức
z
2
− 8(1 − i)z + 63 − 16i = 0.
Bài 8.12 : Giả sử p, q là các số phức với q  0. Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình bậc hai x
2
+ px + q
2
= 0 có cùng
môđun, thì
p
q
là một số thực.
Bài 8.13 : Giả sử a, b, c là các số phức khác không với |a| = |b| = |c|.
1. Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình az
2
+ bz + c = 0 có môđun bằng 1, thì b
2
= ac.
2. Nếu mỗi phương trình
az
2
+ bz + c = 0 và bz
2

1. (2 − i)(−3 + 2i)(5 − 4i) ;
2. (2 − 4i)(5 + 2i) + (3 + 4i)(−6 − i) ;
3.

1 + i
1 − i

16
+

1 − i
1 + i

8
;
4.

−1 + i
√
3
2

6
+

1 − i
√
7
2


.i
2
.i
3
. . .i
2000
;
4. i
−5
+ (−i)
7
+ (−i)
13
+ i
−100
+ (−i)
94
.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 168
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 8.18 : Giải phương trình trong C :
1. z
2
= i ; 2. z
2
= −i ;
3. z
2


n
+

20 + 5i
7 + 6i

n
∈ R.
Bài 8.21 : Chứng minh các đẳng thức sau :
1. |z
1
+ z
2
|
2
+ |z
2
+ z
3
|
2
+ |z
3
+ z
1
|
2
= |z
1

2
= (1 + |z
1
|
2
)(1 + |z
2
|)
2
;
3. |1 − z
1
z
2
|
2
− |z
1
− z
2
|
2
= (1 − |z
1
|
2
)(1 − |z
2
|)
2

3
|
2
= 4(|z
1
|
2
+ |z
2
|
2
+ |z
3
|
2
).
Bài 8.22 : Giả sử z ∈ C
∗
sao cho
¬
¬
¬
¬
z
3
+
1
z
3
¬

¬
¬
¬
1
z
−
1
2
¬
¬
¬
¬
<
1
2
.
Bài 8.25 : Giả sử a, b, c là các số thực và ω = −
1
2
+ i
√
3
2
. Tính
(a + bω + cω
2
)(a + bω
2
+ cω).
Bài 8.26 : Giải các phương trình :

¬
¬
¬
1
z
¬
¬
¬
¬
.
Bài 8.30 : Giả sử z
1
, z
2
∈ C là các số phức sao cho |z
1
+ z
2
| =
√
3 và |z
1
| = |z
2
| = 1. Tính |z
1
− z
2
|.
Bài 8.31 : Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho

là các số phức với
|z
1
| = |z
2
| = |z
3
| = R > 0.
Chứng minh rằng
|z
1
− z
2
|.|z
2
− z
3
| + |z
3
− z
1
|.|z
1
− z
2
| + |z
2
− z
3
|.|z

Chứng minh rằng
z
2
1
+ z
2
2
+ z
2
3
= 0.
Bài 8.36 : Xét các số phức z
1
, z
2
, . . . ,z
n
với
|z
1
| = |z
2
| = ··· = |z
n
| = r > 0.
Chứng minh rằng số
E =
(z
1
+ z

| = |z
2
| = |z
3
> 0.|
Nếu z
1
+ z
2
z
3
, z
2
+ z
1
z
3
và z
3
+ z
1
z
2
là các số thực, chứng minh rằng z
1
z
2
z
3
= 1.

3
− 27 ; 3. x
3
+ 8 ; 4. x
4
+ x
2
+ 1.
Bài 8.40 : Tìm tất cả các phương trình bậc hai với hệ số thực có một nghiệm là :
1. (2 + i)(3 − i) ;
2.
5 + i
2 − i
;
3. i
51
+ 2i
80
+ 3i
45
+ 4i
38
.
Bài 8.41 (Bất đẳng thức Hlawka) : Chứng minh bất đẳng thức sau
|z
1
+ z
2
| + |z
2

= −4 + 2i ; z
3
= −5 − 4i ; z
4
= 5 − i ; z
5
= 1 ; z
6
= −3i ; z
7
= 2i ;
z
8
= −4.
Bài 8.43 : Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn mỗi số phức z thỏa mãn các trường hợp dưới đây :
1. |z − 2| = 3 ;
2. |z + i| < 1 ;
3. |z − 1 + 2i| > 3 ;
4. |z − 2| − |z + 2| < 2 ;
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 170
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
5. 0 < ℜ(iz) < 1 ;
6. −1 < ℑ(z) < 1 ;
7. ℜ

z − 2
z − 1


= −1 − i ; 2. z
2
= 2 + 2i ; 3. z
3
= −1 + i
√
3 ; 4. z
4
= 1 − i
√
3.
Bài 8.45 : Biểu diễn lượng giác của các số phức sau và xác định argument của chúng :
1. z
1
= 2i ; 2. z
2
= −1 ; 3. z
3
= 2 ; 4. z
4
= −3i.
Bài 8.46 : Tìm biểu diễn lượng giác của số phức
z = 1 + cos a + i sin a, a ∈ (0; 2π).
Bài 8.47 : Tìm tất cả các số phức z sao cho |z| = 1 và
¬
¬
¬
¬
z
z

3)
10
.
Bài 8.51 : Tính :
1. (1 − cos a + i sin a)
n
với a ∈ [0; 2π) và n ∈ N ;
2. z
n
+
1
z
n
, nếu z +
1
z
=
√
3.
Bài 8.52 : Giả sử z
1
, z
2
, z
3
là các số phức sao cho
|z
1
| = |z
2

+ z
3
¬
¬
¬
¬
= r.
Bài 8.53 : Giả sử z
1
, z
2
là các số phức sao cho
|z
1
| = |z
2
| = r > 0.
Chứng minh rằng

z
1
+ z
2
r
2
+ z
1
z
2


2
| = |z
3
| = 1
và
z
2
1
z
2
z
3
+
z
2
2
z
3
z
1
+
z
2
3
z
1
z
2
+ 1 = 0.
Chứng minh rằng