Câu I.1)Vớim=-1hệvônghiệm.
2) Bất phỷơng trình thứ nhất có nghiệm : -1 < x <
1
3
.
Để khảo sát bất phỷơng trình thứ hai, xét hàm số
f(x) = x
3
+3mx+1.
Ta có f(x) = 3x
2
+ 3m.
a) Nếu m 0, hàm số là đồng biến, vậy
min ( ) ( ) ,
[;]x
fx f m

==
1
1
3
13
tứclà:*nếum=0,tacóf(x) > 0 với mọi x ẻ (-1 ;
1
3
):
hệ vô nghiệm;
* nếu m > 0, ta có f(-1) < 0, nên tồn tại x
0
ẻ (-1;
1

1
3

, tức là
-
1
9
m<0
. Cần có
f(
-m
)=1+
2m -m
< 0 m < -
1
4
3
,
mâu thuẫn với điều kiện -
1
9
Ê m.
ii)
1
3
<
-m
, tức là m < -
1
9

Tỷơng tự ta đỷợc:
a-3
a
23

;
b-4
b
24

.
Từ đó:
f=
c-2
c
+
a-3
a
+
b-4
b
Ê
1
22
+
1
23
+
1
24

15
.
5
3
2x - x + 1 2x - x + 1
22













.
Đặtt=
5
3
2x - x + 1
2






2x-x
2
+1Ê -1 x
2
-2x-2 0 x Ê 1-
3
hoặc x
1+
3
.
b)
5
3
5
3
2x - x + 1
2







2x-x
2
+1 1 0 Ê x Ê 2.
Đáp số.0Ê x Ê 2 hoặcxÊ 1-
3
hoặcx 1+

2
- a(sinx + cosx)+1=0 a(cosx + sinx) = a
2
+1.
Phỷơng trình này có nghiệm khi và chỉ khi
a
2
+a
2
(a
2
+1)
2
ị a
4
+1Ê 0:vôlý.
Vậy phỷơng trình ban đầu chỉ có một nghiệm duy nhất:x=/4 trong khoảng (-3/4 ; ).
2)

2
- = + ị tg (

2
- )=
tg + tg
1 - tg tg


tgtg +tgtg =1-tgtg tgtg +tgtg +tgtg =1.
Theo Bunhicôpxki ta có: g

2
2
x
f(x)
x1
=

, ta có
2
23/2
x(x 2)
f'(x)
(x 1)

=


Suy r f(x) đồng biến trong (
2
; + ) f(x) đồng biến trong [2 ; 3]
Từ đó : y x [2 ; 3], f(x) < f(3) =
92
4

do đó
33
22
92 92
f(x)dx dx
44

y = 2x + 2
Suy ra tập hợp các tâm I là đờng thẳng có
phơng trình y = 2x + 2.
2) Bán kính của (C) là R = 1, của
m
(C )
là

2
m
R5m2m6=++.
Khoảng cách hai tâm
2
OI 5m 2m 1=++
. Xét hai trờng hợp :
m
(C )
tiếp xúc ngoài với (C)
m
R
+ R = OI

22
5m 2m 6 1 5m 2m 1+++= ++

: phơng trình này vô nghiệm.
m
(C )
tiếp xúc trong với (C)
m

1
I
(0, 2),
1
R
= 3.
Với m =
3
5
ta có đờng tròn
2
(C )
:
22
16 12
xy x y50
55
+ + =
,
tâm
2
86
I,
55




,
2

1
(C )
,
2
(C )
chỉ có hai tiếp tuyến chung ngoài song song với
12
II
. Hai tiếp tuyến đó có
phơng trình
2x y 3 5 2 0
+ =
.
Câu IVb.
1) H là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC,
2) CH cắt AB tại điểm I.
Trong SCI, kẻ IK SC, vì AB SC (do AB (SHC)),
nên (ABK) SC, nói cách khác (P) = (ABK).
Vì
n
ICS
là góc trong tam giác vuông SHC,
nên nó là góc nhọn. Để K thuộc đoạn SC,
n
ISC

phải là góc nhọn, muốn vậy điều kiện cần và đủ là :
22 2 2 2 2
IC SI SC 2SH IH HC<+ = + +


.
Từ đó suy ra diện tích tam giác ABK :
2
22
13ah
dt(ABK) AB.IK
2
4a 3h
==
+
.
2) Để hình chóp K.ABC có thể tích bằng
1
2
thể tích SABC, thì K phải là trung điểm của SC, mà
IK SC, vậy IS = IC hay 3
2
a
4
=
2
2
a
h
12
+
h =
2
a
3

. (2)
Các số a, b có vai trò nh nhau, vậy có thể coi rằng a b.
1) Nếu a b 0 thì với mọi số nguyên dơng k, ta có
kk
ab
, suy ra (2).