CHUYÊN ĐỀ I: CĂN THỨC BẬC HAI
B ài 1 :
1) Đơn giản biểu thức : P =
14 6 5 14 6 5+ + −
.
2) Cho biểu thức : Q =
x 2 x 2 x 1
.
x 1
x 2 x 1 x
 
+ − +
−
 
 
−
+ +
 

a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tìm x để
Q
> - Q.
c) T×m sè nguyªn x ®Ó Q cã gi¸ trÞ nguyªn.
H íng dÉn :
1. P = 6
2. a) §KX§ : x > 0 ; x
≠
1. BiÓu thøc rót gän : Q =
1
2

+
1
1
.
b) Với x =
1
2
thì P = - 3 – 2
2
.
B ài 3 : Cho biểu thức : A =
1
1
1
1
+
−
−
−
+
x
x
x
xx
a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
4
1
c) Tìm x để A < 0.
d) Tìm x để



a) Rt gọn biu thức sau A.
b) Xác định a đ biu thức A >
2
1
.
H ng dn :
a) KX : a > 0 v a

9. Biu thc rỳt gn : A =
3
2
+a
.
b) Vi 0 < a < 1 thỡ biu thc A >
2
1
.
B i 5 : Cho biu thc: A =
2
2
x 1 x 1 x 4x 1 x 2003
.
x 1 x 1 x 1 x

+ +
+

+


+

+

.
a) Rỳt gn A.
b) Tìm x để A < 0.
c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biu thc rỳt gn : A =
1
1

+
x
x
.
b) Vi 0 < x < 1 thỡ A < 0.
c) x =
{ }
9;4
thỡ A

Z.
B i 7 : Cho biu thc: A =
x 2 x 1 x 1

++ xx
< 2

2(
1++ xx
) > 2


xx +
> 0 ỳng vỡ theo gt thỡ x > 0. (2)
T (1) v (2) suy ra 0 < A < 2(pcm).
B i 8 : Cho biu thc: P =
a 3 a 1 4 a 4
4 a
a 2 a 2
+
+

+
(a

0; a

4)
a) Rỳt gn P.
b) Tớnh giỏ tr ca P vi a = 9.
H ng dn :
a) KX : a

0, a

KX . Suy ra N = 2005.
B i 10 : Cho biu thc
3x
3x
1x
x2
3x2x
19x26xx
P
+

+


+
+
=
a. Rỳt gn P.
b. Tớnh giỏ tr ca P khi
347x =

c. Vi giỏ tr no ca x thỡ P t giỏ tr nh nht v tớnh giỏ tr nh nht ú.
H ng dn :
a ) KX : x

0, x

1. Biu thc rỳt gn :
3x
16x











+

+
+
+
= 1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x

= -1 khi x = 0
Bài 12: Cho A=
1 1 1
4 .
1 1
a a
a a
a a a
 
+ −
 
− + +
 
 
 
− +
 
 
với x>0 ,x
≠
1
a. Rút gọn A
b. Tính A với a =
( ) ( )
(
)
4 15 . 10 6 . 4 15+ − −
( KQ : A= 4a )
B ài 13 : Cho A=
3 9 3 2

2x −
)
B ài 14: Cho A =
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
x x x x
− − +
+ −
+ − − +
với x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm GTLN của A.
c. Tìm x để A =
1
2
d. CMR : A
2
3
≤
. (KQ: A =
2 5
3
x
x
−

1.
a . Rút gọn A.
b. CMR :
0 1A
≤ ≤
( KQ : A =
1
x
x x− +
)
B ài 17: Cho A =
5 25 3 5
1 :
25
2 15 5 3
x x x x x
x
x x x x
   
− − + −
− − +
   
   
−
+ − + −
   
a. Rút gọn A.
b. Tìm
x Z∈
để

a
+
−
)
B ài 19: Cho A=
7 1 2 2 2
:
4 4
2 2 2
x x x x x
x x
x x x
   
− + + −
+ − −
   
   
− −
− − +
   
với x > 0 , x
≠
4.
a. Rút gọn A.
b. So sánh A với
1
A
( KQ : A =
9
6

a. Rút gọn A.
b. CMR : A
≥
0 ( KQ : A =
xy
x xy y− +
)
B ài 21 : Cho A =
1 1 1 1 1
.
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x
 
− + + −
 
− + − +
 
 
 
− + − +
 
 
Với x > 0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A = 6 ( KQ : A =
( )

6 2 5−
(KQ: A =
1 x−
)
B ài 23 : Cho A=
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 2x x x x x
   
+ − +
   
− + − +
   
với x > 0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A
b. Tính A với x =
6 2 5−
(KQ: A =
3
2 x
)
B ài 24 : Cho A=
3
2 1 1 4
: 1
1 1
1
x x

:
1
1 1 1
x
x
x x x x x x
 
−
 
− −
 
 
 
−
+ − + − −
 
 
với x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm
x Z
∈
để
A Z∈

c. Tìm x để A đạt GTNN . (KQ: A =

1
2
( KQ : A =
3
3a
−
+
)
B ài 27 : Cho A =
1 1 8 3 1
:
1 1
1 1 1
x x x x x
x x
x x x
   
+ − − −
− − −
   
   
− −
− + −
   
với x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A

b.So sánh A với 1
B ài 29 : Cho A =
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
x
x x x
   
− −
− + −
   
   
−
− + +
   
Với
1
0,
9
x x≥ ≠
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A =
6
5
c. Tìm x để A < 1.
( KQ : A =
3 1
x x

d. Tìm GTLN của A (KQ: A =
(1 )x x−
)
B ài 31 : Cho A =
2 1 1
:
2
1 1 1
x x x
x x x x x
 
+ −
+ +
 
 
− + + −
 
với x
≥
0 , x
≠
1.

a. Rút gọn A.
b. CMR nếu x
≥
0 , x
≠
1 thì A > 0 , (KQ: A =
2

1 1
x x x x
x x
x x
 
+ − − +
 
− +
 
 
 
− −
− +
 
 
với x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A.
b. Tính A khi x= 0,36
c. Tìm
x Z
∈
để
A Z∈

B ài 34 : Cho A=
3 2 2

+
)
ÔN THI HọC Kì I
CHUYấN II: HM S BC NHT
B i 1 :
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành.
B i 2 : Cho hm s y = (m 2)x + m + 3.
1) Tỡm iu kin ca m hm s luụn nghch bin.
2) Tỡm m th ca hm s ct trc honh ti im cú honh bng 3.
B i 3 : Cho hm s y = (m 1)x + m + 3.
1) Tỡm giỏ tr ca m th ca hm s song song vi th hm s y = -2x + 1.
2) Tỡm giỏ tr ca m th ca hm s i qua im (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
B i 5 : Cho hàm số y = (2m 1)x + m 3.
1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)
2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định
ấy.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x =
2 1
.
B i 6 : Gi s ng thng (d) cú phng trỡnh y = ax + b. Xỏc nh a, b (d) i qua hai im
A(1; 3) v B(-3; -1).
Bi 7 Cho hm s bc nht y = (2 - a)x + a . Bit th hm s i qua im M(3;1), hm s
ng bin hay nghch bin trờn R ? Vỡ sao?
Bi 8: Vit phng trỡnh ng thng (d), bit (d) song song vi (d) : y = - 2x v i qua
im A(2;7).
Bi 9: Cho hai ng thng : (d
1
): y =

) : y = (3m
2
+1) x +(m
2
-9)
a; Với giá trị nào của m thì (d
1
) // (d
2
)
b; Với giá trị nào của m thì (d
1
) cắt (d
2
) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2
c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d
1
) luôn đi qua điểm cố định A ;(d
2
) đi qua điểm cố
định B . Tính BA ?
Bi 11: Cho hàm số : y = ax +b
a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)
b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo bởi đờng thẳng trên với trục Ox ?
c; Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ?
d; Tìm giá trị của m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2
CHUYÊN ĐỀ III:
PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẦN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN .
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

a)
2
2 x
x

1 -x
x
=
+
+
ĐS : ĐKXĐ : x ≠ 1 ; x ≠ - 2. S =
{ }
4
.
b)
1 x x
1 - 2x
3
3
++
= 2
Giải : ĐKXĐ :
1 x x
3
++
≠ 0. (*)
Khi đó :
1 x x
1 - 2x
3

– 4 = 0 (1)
+ Nếu m
≠
2 thì (1)
⇔
x = - (m + 2).
+ Nếu m = 2 thì (1) vô nghiệm.
V í dụ 3 : Tìm m
∈
Z để phương trình sau đây có nghiệm nguyên .
(2m – 3)x + 2m
2
+ m - 2 = 0.
Gi ải :
Ta có : với m
∈
Z thì 2m – 3
≠
0 , vây phương trình có nghiệm : x = - (m + 2) -
3 - m2
4
.
để pt có nghiệm nguyên thì 4

2m – 3 .
Giải ra ta được m = 2, m = 1.
V í dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 7x + 4y = 23.
Gi ải :
a) Ta có : 7x + 4y = 23
⇔

− =

c)
2x y 3
5 y 4x
− =


+ =

d)
x y 1
x y 5
− =


+ =

e)
2x 4 0
4x 2y 3
+ =


+ = −

f)
2 5
2
x x y



+ = +

1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm m để x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
B i 4 : Cho h phng trỡnh:
(a 1)x y a
x (a 1)y 2
+ =


+ =

cú nghim duy nht l (x; y).
1) Tỡm ng thc liờn h gia x v y khụng ph thuc vo a.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca a tho món 6x
2
17y = 5.
3) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca a biu thc
2x 5y
x y

+
nhn giỏ tr nguyờn.
B i 5 : Cho h phng trỡnh:


+ =


(a l tham s).
1) Gii h khi a = 1.
2) Chng minh rng vi mi a h luụn cú nghim duy nht (x ; y) tho món x + y

2.
B i 8 (trang 22): Cho h phng trỡnh :



=+
=+
1 - m 4y 2)x - (m
0 3)y (m -x
(m l tham s).
a) Gii h khi m = -1.
b) Gii v bin lun pt theo m.
B i 9 : (trang 24): Cho h phng trỡnh :



+=
=
1 m 4y mx
0 y m -x
(m l tham s).
a) Gii h khi m = -1.

C.
Hường dãn :
Ta có hệ pt :



=+
=+
400 20y 100x
10 y x

⇔




=
=
7,5 y
2,5 x
Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 20
0
C.
B ài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít thì dung dịch mới có nồng độ 50%. Lại thêm 300g
nước vào dung dịch mới được dung dịch axít có nồng độ 40%. Tính nồng độ axít trong dung dịch
ban đầu.
Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dịch ban đầu.
Theo bài ra ta có hệ pt :



Vậy nồng độ phần trăm của dung dịch axít ban đầu là 40%.
CHUYÊN ĐỀ IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ĐỊNH LÝ VIET VÀ ỨNG DỤNG
A.Kiến thức cần ghi nhớ
1. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax
2
+ bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ
thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp
a)Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào
(1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể : - Có một nghiệm duy
nhất
- hoặc vô nghiệm
- hoặc vô số nghiệm
b)Nếu a
≠
0
Lập biệt số
∆
= b
2
– 4ac hoặc
∆
/
= b
/2
– ac
*
∆
< 0 (
∆

b
2
∆−−
; x
2
=
a
b
2
∆+−
(hoặc x
1
=
a
b
//
∆−−
; x
2
=
a
b
//
∆+−
)
2. Định lý Viét.
Nếu x
1
, x
2

2
= p thì hai số đó là nghiệm (nếu có ) của
phương trình bậc 2:
x
2
– S x + p = 0
3. Dấu của nghiệm số của phương trình bậc hai.
Cho phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) . Gọi x
1
,x
2
là các nghiệm của phương trình
.Ta có các kết quả sau:
x
1
và x
2
trái dấu( x
1
< 0 < x
2
)
⇔
p < 0
Hai nghiệm cùng dương( x
1

>
≥∆
0
0
0
S
p
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương( x
2
> x
1
= 0)
⇔





>
=
>∆
0
0
0
S
p
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x
1
< x
2

1
= -1 , x
2
= -
a
c
• Nếu x
1
+ x
2
= m +n , x
1
x
2
= mn và
0≥∆
thì phương trình có nghiệm
x
1
= m , x
2
= n hoặc x
1
= n , x
2
= m
b) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x
1
,x
2

2
– 2x
1
x
2
= S
2
– 2p
*) (x
1
– x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
– 4x
1
x
2
= S
2
– 4p
*) x
1
3

2
2
)
2
– 2x
1
2
x
2
2
*)
21
21
21
11
xx
xx
xx
+
=+
=
p
S
*)
21
2
2
2
1
1

2
*)
2
21
21
21
2
))((
2
11
aaSp
aS
axax
axx
axax
+−
−
=
−−
−+
=
−
+
−
(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trước phải thoả mãn điều kiện
0
≥∆
)
d)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm x = x
1

- Sau đó thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và
giải phương trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà phương trình bậc hai này
có
∆
< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x
1
cho trước.
• Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải phương trình (như cách
2 trình bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm được nghiệm
thứ 2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm được
nghiệm thứ 2
B . B ÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Giải và biện luận phương trình : x
2
– 2(m + 1) +2m+10 = 0
¤N THI HäC K× I
CHUYấN II: HM S BC NHT
B i 1 :
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành.
B i 2 : Cho hm s y = (m 2)x + m + 3.
1) Tỡm iu kin ca m hm s luụn nghch bin.
2) Tỡm m th ca hm s ct trc honh ti im cú honh bng 3.
B i 3 : Cho hm s y = (m 1)x + m + 3.
1) Tỡm giỏ tr ca m th ca hm s song song vi th hm s y = -2x + 1.
2) Tỡm giỏ tr ca m th ca hm s i qua im (1 ; -4).

b/ Gi A v B ln lt l giao im ca (d
1
) v (d
2
) vi trc Ox , C l giao im ca (d
1
) v (d
2
) Tớnh
chu vi v din tớch ca tam giỏc ABC (n v trờn h trc ta l cm)?
Bi 10: Cho các đờng thẳng (d
1
) : y = 4mx - (m+5) với m

0
(d
2
) : y = (3m
2
+1) x +(m
2
-9)
a; Với giá trị nào của m thì (d
1
) // (d
2
)
b; Với giá trị nào của m thì (d
1
) cắt (d