PHòNG gd&Đt quảng trạch đề thi hsg lớp 9 - Môn Toán
NĂM HọC 2010 - 2011
Thời gian: 150 phút - (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm)
Cho biểu thức:
x x 4x x 4
A
x x 7x 14 x 8
+
=
+
a) (1,0 im) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa, từ đó rút gọn biểu thức A.
b) (1,0 im) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Câu 2 (3,0 điểm)
a) (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị x, y nguyên thoả mãn: x
2
- 4y
2
= 5.
b) (2,0 điểm) Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện: x
2
+ y
2
+ z
2
= 1
và x
3
+ y
3
+ z

---- Hết ----
SBD:..
Lu ý: + Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu
+ Ngời coi thi không đợc giải thích gì thêm
PHòNG gd&Đt quảng trạch HƯớNG DẫN CHấM
Thi hs giỏi lớp 9 - Môn toán
Năm học 2010-2011
I. Hớng dẫn chung:
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho
đủ điểm từng phần nh hớng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn chấm
phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất trong Hội đồng
chấm thi.
3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25.
II. Đáp án, biểu điểm:
Câu
Tổng
điểm
Nội dung
Điểm
thành
phần
1a
1,0 đ
Để A có nghĩa, trớc hết
x 0

. Đặt
( )
t x t 0=

t 2
x 2
+ +
= =


0,25
0,25
0,25
0,25
1b
1,0 đ
( )
t 2 3
t 1 3
A 1
t 2 t 2 t 2
+
+
= = = +

Để A là số nguyên thì t - 2 là ớc của 3 nên t -2 bằng
1
hoặc
3
.
- Nếu
t 2 1 t 1 = =
( loại vì không thoả mãn điều kiện (*))
- Nếu

x 2y 1
x 2y 5
x 2y 1
=




+ =



=



+ =



=




+ =


=


2
+ y
2
+ z
2
= 1 suy ra:
|x| 1; |y| 1; |z| 1; (1)
Ta có: x
2
+ y
2
+ z
2
- (x
3
+ y
3
+ z
3
) = 0

x
2
(1 - x) + y
2
(1 - y) + z
2
(1 - z) = 0 (2)
Từ (1) suy ra: 1 - x



=

Kết hợp với điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 suy ra một trong ba số x, y, z
phải bằng 1, hai số còn lại bằng 0.
Do đó: x
2009
+ y
2010
+ z
2011
= 1.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3a
1,25đ
y
x

0
180 O
2

;
ã
OND
=
ã
FNC
=
ã
0
180 NCF
2

;
Mà
à
O
=
ã
NCF
(so le trong) suy ra
ã
OBA
=
ã
OND
Nên AB//FD (có 1 cặp góc đồng vị bằng nhau)



MHD vuông tại H
Nên

MHN vuông tại H
Do đó MN

HN hay MN

AB
Vậy MN nhỏ nhất bằng AB khi M và N trùng A và B.
0,25
0,25
0,25
4
4
2,0 đ
Ta có:

ABC vuông tại A;
ã
BCA
= 15
0
(gt) =>
ã
CBO
= 75
0

HMB =

ABC (c.g.c);
S uy ra:
ã
ã
0
MHB BAC 90= =

hay MH

OB, do đó MH vừa là đờng cao, vừa là đờng trung tuyến
của

OMB.
Suy ra:

MOB cân tại M =>
ã
0
BMO 150=
=>
ã
0 0 0 0
CMO 360 (150 60 ) 150= + =
Xét

OMB và

OMC có:

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
5
1,0 đ
Vì các nhãn dán ở ngoài hộp đều không đúng với các quả đựng
trong hộp nên hộp có nhãn CQ đựng 2 quả cam hoặc đựng 2 quả
quýt.
Do đó ta lấy 1 quả trong hộp mà bên ngoài có ghi nhãn CQ thì cú
cỏc kh nng sau:
Nếu: Hộp có nhãn
CQ QQ CC
- Quả lấy
ra là cam
Đựng 2 quả cam Đựng 1 quả cam,
1 quả quýt
Đựng 2 quả quýt
- Quả lấy
ra là quýt
Đựng 2 quả quýt Đựng 2 quả cam Đựng 1 quả cam,
1 quả quýt
0,25
0,25
0,25
0,25
M