ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG TOÁN 7
(Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1.
a) Tìm nghiệm của đa thức
2004
4
2005
3
2006
2
2007
1
)(
+
−
+
−
+
+
+
=
xxxx
xg
.
b) Chứng tỏ rằng đa thức
2
9
2
7
)(
2




+≥≥−
z

Câu 2. Một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c và ba đường cao tương ứng có độ dài là h
a
,
h
b
, h
c
. Biết rằng h
a
, h
b
, h
c
tỉ lệ với 20, 15, 12. Chứng tỏ rằng tam giác ABC là tam giác
vuông.
Câu 3. Cho tam giác ABC có
0
60
ˆ
=
A
. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D, tia
phân giác của góc C cắt cạnh AB tại F, hai tia phân giác này cắt nhau tại I. Các đường phân
giác ngoài của các góc B và C cắt nhau tại K. Gọi E là giao điểm của các đường thẳng BI

.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI KHẢO SÁT HSG
TOÁN 7
Câu 1 (3 điểm)
a) Ta có
⇔=
0)(xg
0
2004
4
2005
3
2006
2
2007
1
=
+
−
+
−
+
+
+
xxxx
0
2004
2008
2005
2008



−−++⇔
x
( )
200802008
−=⇔=+⇔
xx
Vậy đa thức có nghiệm duy nhất
2008
−=
x
1 điểm
b)Ta có
Rxyyyyh
∈∀>+






+=+






++=

3
6
1
4:
2
1
3
3
1
2
=+






+−






+
do đó từ đó
2
1
7
7

69
13,2 z
z = 2 vì z là số
nguyên. 1 điểm
Câu 2 (1,5 điểm)
Theo đề ra ta có
12:15:20::
=
cba
hhh
Mặt khác
==⇒==⇒===
cba
cba
cbaABC
hhh
cba
h
c
h
b
h
a
chbhahS
1
:
1
:
1
::

bac
+=⇒
suy ra tam giác ABC là tam giác vuông .
Câu 3 (2,5 điểm) Vẽ đúng hình (Trang sau) 0,5
điểm
a) + Theo tính chất phân giác và tổng ba góc trong tam giác tính được:
0
00
0
120
2
60180
180
ˆ
=
−
−=
CIB
+ Ta có FC⊥CE , EB⊥ BK (Tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù) ⇒
0
90
ˆ
=
ECI
,
0
90
ˆ
=
KBE

1 điểm
Câu 4 (2,5 điểm)
Với
[ ]
1;1
−∈∀
x
ta có
2
1
)(
≤
xf
, thay x=0, x=1, x= -1 vào
baxxxf
++=
2
)(
ta có:









−≤+−≤−
−≤+≤−

b
baf
baf
bf
Từ (2) và (3) ta được
2
1
2
3
−≤≤−
b
kết hợp với (1) suy ra
2
1
−=
b
Thay
2
1
−=
b
vào (2) và (3) ta được
01
≤≤−
a
và
10
≤≤
a
do đó a=0