Phòng GD Vĩnh Tờng
Đề khảo sát đội tuyển HSG lớp 9 lần 1
năm học 2006-2007
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1:
a, Tìm các số tự nhiên a, b, c thoả mãn hệ phơng trình:






+=
=
)(2
3
2
333
cba
abccba
b, Giải hệ phơng trình:





=
=+
xyyzx
xyz

xx
và x
2
+ y
2
2x = 11
b, Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho:
n
4
+ n
3
+1 là số chính phơng
Câu 4:
a, Cho đờng tròn tâm O bán kính r nội tiếp trong
ABC

. Đờng tròn (O, r) tiếp
xúc với BC, CA, AB tại M, N, P. Gọi p =
2
1
chu vi
ABC

.
Biết
=++
3
4
3
4

a,Phân tích pt (1) thành nhân tử , ta đợc
(a b c)(a
2
+ b
2
+ c
2
+ab bc + ac) = 0
Hay
2
1
(a b c) [(a + b )
2
+(a + c )
2
+ (b - c )
2
] = 0

(a b c) = 0 hoặc (a + b )
2
+(a + c )
2
+ (b - c )
2
= 0
*Nếu a b c = 0 thì a = b + c thay vào pt (2) ta có: a
2
= 2a


4
1
. Từ đó ta có hệ







=
=
=










=
=+
=
1
0
4
1

a
6
+ 1 = (a
2
+ 1)(a
4
a
2
+1)

)(
1
35
2
aaa
a
a
+
+
=

00)
1
(2)
1
(2
2
>>+=
+
= a

2
2
2
3
>+=+
a
a
a
(do a
1

)
Do đó: a
3
< 2

a
6
<4 (2)
Từ (1), (2) suy ra đpcm.
b, Ta có:
423
222
++++
zyxyzyx

0423
222
+++
zyxyzyx






=
=
=
1
2
1
01
01
2
0
2
z
y
x
z
y
y
x
0.5 đ
0.25 đ
0.5 đ
0.5 đ
0.5 đ
Câu 3 ( 2 điểm)
a, Giải pt (1) ta có:

11
)
b, Giả sử n
4
+n
3
+1 là số chính phơng
Vì
2234
)(1 nnn
=++
nên ta có:

2242234
2)(1 kknnknnn
++=+=++
(Với k là 1 số nguyên dơng nào đó)


01)2(
22
=
kknn
Đặc biệt
22
1 nk

Do đó: k
2
= 1 hoặc

suy ra n 2 k < 0 (Mâu thuẫn với ĐK
01)2(
22
=
kknn
Vậy n = 2 thoả mãn ĐK bài toán.
0.5 đ
Câu 4 (2 điểm)
áp dụng Bđt CôSi ta có:
APBP
BP
AP
BPBPBP
BP
AP
4*4
4
3
3
4
3
4
=+++
(1)
Tơng tự

MBMC
MC
BM
43

NA
CN
MC
BM
BP
AP
=++++
)(
3
4
3
4
3
4
Dấu = xảy ra tơng đơng với xảy ra các dấu bằng ở (1); (2); (3) tức là AP
= BP; MB = MC; CN= NA hay AB = BC = AC hay góc A, góc B, góc C
bằng nhau và bằng 60
0
.
b, BP, BM là tiếp tuyến của (O)
Suy ra
==
PMBOPBMO ,90
0
đờng tròn đờng kính BO.
Nh vậy 2 * 2007 tiếp điểm ( do 2*2007 tiếp tuyến kẻ từ B đến 2007 đờng
tròn) đềo thuộc đờng tròn đờng kính OB. Vậy 2*2007 tiếp điểm thuộc đ-
ờng tròn đờng kính BO.
0.25 đ
0.25 đ

cba
++

++
++

(1)
áp dụng Bđt Cô Si ta có:
O

3
3
abc
cba
≥
++
(2)
Tõ (1), (2) suy ra §pcm.
CÁC TÀI LIỆU KHÁC VUI LÒNG VÀO WEBSITE: