1

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ........................................................................................... 2
Chƣơng I TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ............................................... 3
1.1. TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ ............................................................................................. 3
1.2. CÔNG CỤ TOÁN HỌC ĐỂ THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ. .......................................................... 6
1.2.1. Phép biến đổi z ................................................................................................................. 6
1.2.2. Các tính chất của biến đổi z: ............................................................................................ 7
Chƣơng II: THIẾT KẾ BỘ LỌC IIR ........................................................ 9
2.1. CÁC PHƢƠNG PHÁP TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ IIR TỪ BỘ LỌC TƢƠNG TỰ ............... 9
2.1.1. Phƣơng pháp bất biến xung .............................................................................................. 9
2.1.2. Phƣơng pháp biến đổi song tuyến .................................................................................. 13
2.1.3. Phƣơng pháp tƣơng đƣơng vi phân ................................................................................ 16
2.2. TỔNG HỢP CÁC BỘ LỌC TƢƠNG TỰ THÔNG THẤP .................................................. 17
2.2.1. Bộ lọc tƣơng tự Butterworth: ......................................................................................... 17
2.2.2. Bộ lọc Chebyshev .......................................................................................................... 20
2.2.3. Bộ lọc tƣơng tự Elip (Cauer). ......................................................................................... 28
Chƣơng 3. THIẾT KẾ VÀ MÔ PHỎNG BỘ LỌC SỐ IIR BẰNG
CÔNG CỤ SPTOOL ....................................................................................... 30
3.1. GIỚI THIỆU VỀ CÔNG CỤ SPTOOL ................................................................................ 30
3.1.1 Thiết kế bộ lọc số bằng công cụ SPTool: ........................................................................ 30
3.1.2 Phân tích bộ lọc: .............................................................................................................. 33
3.1.3 Thiết kế những bộ lọc bổ sung: ....................................................................................... 33
3.1.4 Thể hiện những bộ lọc trên trong Fvtool (Filter Visualization Tool): ............................ 36
3.1.5 Export bộ lọc từ FDATool: ............................................................................................. 38
3.2. THIẾT KẾ VÀ MÔ PHỎNG BỘ LỌC SỐ IIR BẰNG SPTOOL ........................................ 39
3.2.1 Bài toán: .......................................................................................................................... 39
3.2.2. Các bƣớc thiết kế: .......................................................................................................... 40
3.2.3. Đánh giá các bộ lọc ........................................................................................................ 46
KẾT LUẬN ............................................................................................. 48

chƣơng này trình bày trình tự mô phỏng các bộ lọc số IIR thông thấp và đánh giá so
sánh các thông số đáp ứng biên độ của các bộ lọc.

3

Chƣơng I TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
Trong kỹ thuật tƣơng tự (Analog) bộ lọc tín hiệu đóng một vai trò quan
trọng. Ngƣời ta chia chúng làm 2 loại cơ bản: Bộ lọc tích cực và bộ lọc thụ động.
Song thành phần cơ bản tác động đến biên độ _tần số tín hiệu là các thành phần điện
kháng nhƣ : điện cảm L và điện dung C. Chúng đƣợc mắc với nhau theo những cấu
trúc riêng nhằm đáp ứng yêu cầu của bộ lọc nhƣ : Bộ lọc thông thấp, thông cao,
thông một dải hoặc các bộ chặn tần v.v... Để thiết kế chúng ngƣời ta phải giải các
phƣơng trình vi tích phân. Một phƣơng pháp phổ biến nữa là ngƣời ta xây dựng
hàm truyền đạt biên độ tần số H(jω), qua đó ta có thể xác định chính xác đáp ứng
của tín hiệu đầu ra Y(t) khi đầu vào là hàm X(t) xác định.
Khi kỹ thuật số (Digital) bùng nổ, việc xây dựng các bộ lọc số đƣợc xây
dựng trên nền tảng là các chƣơng trình, các thuật toán nhằm đáp ứng yêu cầu cho
các bộ lọc số. Các chƣơng trình, thuật toán này có thể đựơc thực hiện bằng phần
mềm hoặc bằng các kết cấu cứng.
Xét một cách tổng quát thì bộ lọc số và bộ lọc tƣơng tự có nhiều nét tƣơng
đồng kể cả về chức năng cũng nhƣ phƣơng pháp luận trong việc xây dựng chúng.
Trong chƣơng này chúng ta sẽ có cái nhìn tổng quát về các bộ lọc số và công cụ
toán học khi nghiên cứu bộ lọc số để làm cơ sở cho việc nghiên cứu các chƣơng tiếp
theo.
1.1. TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
Bộ lọc số là một hệ thống dùng để làm biến dạng sự phân bố tần số của các
thành phần của tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho. Bộ lọc số là hệ thống tuyến tính bất
biến theo thời gian. Thông số vào và ra của hệ thống quan hệ với nhau bằng tổng
chập
( ) ( )* ( )


Hình 1.1: Sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn tắc 1 của hệ IIR đệ quy
Đối với các hệ xử lý số TTBBNQ, đổi thứ tự của hai khối liên kết nối tiếp không
làm thay đổi phản ứng y(n), nên có thể đƣa sơ đồ cấu trúc trên hình 1.1 về dạng
chuyển vị trên hình 1.2.

Hình 1.2: Sơ đồ cấu trúc chuyển vị của hệ IIR đệ quy
5

Thay hai dãy trễ của sơ đồ cấu trúc ở hình 1.2 bằng một dãy trễ, nhận đƣợc
sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn tắc 2 trên hình 1.3 với N phần tử trễ ít hơn (khi giả thiết
M > N ). Xét phƣơng trình (1.1) khi các hệ số a
r
=0 thì phƣơng trình trở thành:

0
( ) ( )
M
k
k
y n b x n k



(1.2)
Lúc này hệ là tuyến tính bất biến nhân quả không đệ quy FIR (không còn
thành phần phản hồi). Nó có hai dạng cấu trúc nhƣ các hình sau :
Hệ xử lý số TTBBNQ có quan hệ vào trên là hệ có số phần tử hữu hạn và
không đệ quy, nên sơ đồ cấu trúc của hệ không có phản hồi và có thể thực hiện
đƣợc nhƣ trên hình 1.4






(1.3)
Miền xác định của hàm X(z) là các giá trị của z để chuỗi hội tụ. Ký hiệu:
ZT[x(n)] = X (z) (1.4)
Hay:
7 ( ) ( )
ZT
x n X z
(1.5)
( ZT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh : Z - Transform).
* Biến đổi Z một phía:
Biến đổi Z một phía của dãy x(n) là chuỗi lũy thừa của biến số phức z :

1
0
( ) ( ).
n
n
X z x n z








(1.9)
Tích phân (1.9) chính là biểu thức của phép biến đổi Z ngƣợc, nó đƣợc ký
hiệu nhƣ sau : IZT[X (z)] = x(n) (1.10)
Hay:
( ) ( )
IZT
X z x n
(1.11)
(IZT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh : Invertse Z Transform).
1.2.2. Các tính chất của biến đổi z:
Khi phân tích hệ xử lý số qua biến đổi Z, vận dụng các tính chất của
biến đổi Z sẽ giúp cho việc giải quyết bài toán đƣợc dễ dàng hơn.
1.2.2.1. Các tính chất của biến đổi Z hai phía
* Tính chất tuyến tính : Hàm ảnh Z của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp
tuyến tính các hàm ảnh Z thành phần.
Nếu
 
( ) ( )
ii
ZT x n X z
với
 
( ) :
i i i
RC X z R z R



( ) ( ) . ( ) .
dX z
Y z ZT y n n x n z
dz
   
(1.13)
* Tính chất tích chập : Hàm ảnh Z của tích chập hai dãy bằng tích hai hàm
ảnh thành phần.
Nếu:
 
11
( ) ( )ZT x n X z
với
 
1 1 1
( ) :RC X z R z R



Và:
 
22
( ) ( )ZT x n X z
với
 
2 2 2
( ) :RC X z R z R




1
(z) và X
2
(z).
Đƣờng cong kín C của tích phân (1.14) phải bao quanh gốc tọa độ và thuộc
miền hội tụ của cả X
1
(z) và X
2
(z) trong mặt phẳng phức.
* Định lý giá trị đầu của dãy nhân quả : Nếu x(n) là dãy nhân quả và
X (z) = ZT[x(n)] thì :
lim ( ) (0)
x
X z x



* Hàm ảnh Z của dãy liên hợp phức
Nếu : ZT[x(n)] = X (z) với
 
( ) :
xx
RC X z R z R



Thì:
[ *( )] *( *)ZT x n X z
với

RC X z z R



Thì: với k>0:
1 1 1 ( )
1
( ) [ ( )] ( ) ( ).
k
k i k
i
Y z ZT x n k z X z x i z


    


Với
11
[ ( )] [ ( )]RC Y z RC X z
, trừ điểm z=0.
* Tính chất vƣợt trƣớc của biến đổi Z một phía
9

Nếu:
11
[ ( )] ( )ZT x n X z
với
1
[ ( )]:

2.1. CÁC PHƢƠNG PHÁP TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ IIR TỪ BỘ LỌC
TƢƠNG TỰ
Tƣơng tự nhƣ bộ lọc số FIR, ngƣời ta thƣờng dùng một số phƣơng pháp tổng
hợp bộ lọc số IIR có đáp ứng xung có chiều dài vô hạn. Phƣơng pháp đƣợc đƣa ra ở
đây là biến đổi từ bộ lọc tƣơng tự sang bộ lọc số theo các phép ánh xạ. Việc tổng
hợp bộ lọc tƣơng tự đã đƣợc giới thiệu ở phần trƣớc, khi tổng hợp bộ lọc số IIR ta
sẽ bắt đầu việc tổng hợp bộ lọc trong miền tƣơng tự tức là xác định hàm truyền đạt
H
a
(s) và sau đó biến đổi sang miền số.
Có 3 phƣơng pháp chính để chuyển từ bộ lọc tƣơng tự sang bộ lọc số tƣơng
đƣơng:
- Phƣơng pháp bất biến xung
- Phƣơng pháp biến đổi song tuyến
- Phƣơng pháp tƣơng đƣơng vi phân
Ngoài ra ta có thể sử dụng phƣơng pháp biến đổi dải tần bộ lọc số thông thấp
đã đƣợc thiết kế để thiết kế các bộ lọc thông thấp khác với tần số cắt khác hoặc bộ
lọc thông cao, thông dải, chắn dải.
2.1.1. Phƣơng pháp bất biến xung
Phƣơng pháp này dựa trên quan hệ cuả đáp ứng xung h
a
(t) cuả bộ lọc tƣơng tự
và dãy h(n) rời rạc đƣợc xác định bởi lấy mẫu h
a
(t):
10

h(n) = h
a
(nT)

h n h t t nT h t t nT


 
   


Trong miền thời gian liên tục, gọi :
- Biến đổi Fourier của h
a
(t) là
()
aa
H

- Biến đổi Fourier của
()
n
t nT





là
_
12
()
a
n

  




=
_
12
( ) ( )
a a a
n
n
H
TT

  





Mà
2 2 2
( ) ( ) ( ). ( ) ( )
a a a a a a a
n n n
H H d H
T T T
  
     
Hình 2.1
- Đối với tín hiệu tƣơng tự :x(t)= Acosω
a
t, trong đó ω
a
là tần số góc ( rad/s),
khi lấy mẫu đều ở các thời điểm t=nT ( với T là chu kỳ lấy mẫu ) thì ta đƣợc tín
hiệu số :
x(n)= Acosω
a
T. Vậy đối chiếu với tín hiệu số :
x(n) = A cos(nω)
Ta có mối quan hệ : ω= ω
a
T
 Thiết kế xung bất biến có thể tóm tắt theo các bƣớc sau :
- Cần đặt chỉ tiêu cho bộ lọc rời rạc bằng đặc tuyến tần số
()
j
He

, và cần
thiết lập chỉ tiêu tƣng tự tƣơng ứng với việc lựa chọn tần số lấy mẫu đúng
(ω
a≤
2
s
T

diễn hàm truyền đạt của mạnh lọc tƣơng tự H(s) dƣới dạng khai triển thành các
phân thức tối giản nhƣ sau :
12

1
()
N
k
a
k
pk
A
Hs
ss




với S
pk :
là các điểm cực đơn của H
a
(s).
Qua các phép biến đổi Laplace ngƣợc, lấy mẫu với điều kiện hội tụ S
pk
<0 ta
có hàm truyền đạt H(z) của bộ lọc số đƣợc chuyển tƣơng đƣơng theo phƣơng pháp
bất biến xung sẽ là :
1
1





1
1
()
(1 )
pk s
N
k
sT
k
A
Hz
ez






Hay các điểm cực S
pk =
δ +jω của H
a
(s) lọc tƣơng tự đƣợc chuyển thành các
điểm cực

pk s

s
T



Nếu : σ<0 hay các điểm cực của H
a
(s) sẽ nằm bên trái mặt phẳng S =>
1
pk
Z 
hay các điểm cực của H(z) sẽ nằm bên trong vòng tròn đơn vị. Nhƣ vậy
điều kiện ổn định vẫn đƣợc bảo đảm khi chuyển H
a
(s) thành H(z).
Ví dụ 1 : Hãy chuyển sang mạch số bằng phƣơng pháp bất biến xung, biết
mạch điện tƣơng tự cho nhƣ sau :

Giải:
13

Hàm truyền đạt của mạch tƣơng tự :
1
1
1
()
()
1
( ) ( )
()

11
1
1
1
()
(1 )
(1 )
(1 )
ps
s
k
ST
T
RC
Ab
RC
Hz
az
ez
eZ




  



với
0

bên ngoài của vòng tròn đơn vị của mặt phẳng Z.Phép biến đổi này cho phép ánh xạ
các giá trị trên trục jω
a
lên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z mà không bị chồng
chập tần số nhƣ phép biến đổi xung bất biến.
- Biến đổi song tuyến tính gắn các hàm truyền đạt tƣơng tự H
a
(s) và hàm
truyền đạt số H(z) trên cơ sở tích phân các phƣơng trình vi phân và tính tích phân
gần đúng bằng phƣơng pháp số.
- Để xác định quan hệ, chúng ta bắt đầu từ phƣơng trình vi phân bậc 1 có
dạng :
14 1 0 0
()
( ) ( )
a
aa
dy t
C C y t D x t
dt

(2.3)
Hàm truyền tƣơng tự :
0
10
(s)
()

= (n-1)T ta có phƣơng
trình :

 
( 1)
()
( ) ( 1)
nT
a
aa
nT
dy t
Y t dt Y n T
dt

  


Thay vì lấy tích phân ta chọn cách tính gần đúng theo quy tắc hình thang, ta
có :

Hình 2.1

 
( ) ( 1)
( ) ( 1)
2
aa
aa
dy nT dy n T

trình sai phân sau:
15  
0 0 0
1 1 1
1 ( ) 1 ( 1) ( ) ( 1)
2 2 2
C T C T D T
y n y n x n x n
C C C
   
      
   
   
(2.7)
Biến đổi Z của phƣơng trình sai phân (2.7) ta đƣợc :

1
0
0
1
1
11
0
1
0
1
1

  


  




(2.8)
So sánh (2.8) với (2.4) ta có :

1
1
21
1
z
s
T
z





( 2.9)
Phép biến đổi này gọi là phép biến đổi song tuyến tính.
Quan hệ giữa các hàm truyền đạt H
a
(s) với H(z) là :


v
Us
Hs
U s RCs



Hàm truyền đạt của mạch số tƣơng ứng là :
1
1
1
1
1
()
2
2(1 )
1
1
(1 )
ss
s
s
TT
z
KK
Hz
T RC
z
z
RC

az






Với b
o
=
1
s
T
b
K

và
1
2
s
T RC
a
K



=>Phƣơng trình sai phân : y(n) + a
1
y(n-1) = b
0

T



(2.11)
Hàm hệ thống của bộ lọc số IIR đạt đƣợc nhờ lấy gần đúng phép đạo hàm
bằng phép sai phân hữu hạn là:
17 1
1
( ) ( )
a
z
s
T
H z H s




(2.12)
()
a
Hs
: là hàm hệ thống của bộ lọc tƣơng tự.
Ta hãy khảo sát phép nội suy của ánh xạ từ mặt phẳng z với

1

Nhận xét:
- Bậc của bộ lọc n càng tăng thì càng gần với bộ lọc lý tƣởng.
- Đáp ứng biên độ luôn bằng
1
2
ở tần số cắt với mọi giá trị của n.
 Vị trí các điểm cực:
Ta biết rằng
22
a
s j s

   

Vì
   
aa
H s H s
tính tại
sj


cho
 
2
aa
H

nên




 
21
2
k
j
n
pk
se



k = 1,2,3…2n
- Nếu n lẻ
 
21
2
1
jk
n
pk
se




   
2 1 1
2


Với k = 1,2,3…2n
19

Để bảo đảm hệ thống là ổn định thì các điểm cực của
 
a
Hs
phải nằm bên
trái trục ảo. Vậy trong các điểm cực của
   
aa
H s H s
ta sẽ chọn ra các điểm cực
nằm bên trái trục ảo để làm cực của
 
a
Hs
đối với bộ lọc ổn định.
Ta có thể viết:
 
 
0
1
a
n
pk
k
H
Hs


Với k = 1,2,3…n
- Theo tần số không chuẩn hóa
0
n
ac
H



1 2 1
22
k
j
n
pk
se







Với k = 1,2,3…n

Hình: 2.5
 Gọi

là độ suy giảm của đặc tuyến mạch lọc tại tần số: