o

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ MẠNH HÙNG

MỘT SỐ HIỆU ỨNG ĐỘNG
TRONG CÁC HỆ BÁN DẪN THẤP CHIỀU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÍ

Hà nội-2011


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ MẠNH HÙNG

MỘT SỐ HIỆU ỨNG ĐỘNG
TRONG CÁC HỆ BÁN DẪN THẤP CHIỀU

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số:

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÍ
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. HƯỚNG DẪN CHÍNH: GS.TS. NGUYỄN QUANG BÁU
2. HƯỚNG DẪN PHỤ: GS.TS. BẠCH THÀNH CÔNG


2.2.1. Trƣờng hợp vắng mặt từ trƣờng ngoài.................................................... 39
2.2.2. Trƣờng hợp có mặt từ trƣờng ngoài.......................................................... 42
2.3. Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong
siêu mạng hợp phần........................................................................................................................ 45


2.3.1. Trƣờng hợp vắng mặt từ trƣờng ngoài, tán xạ điện tử-phonon
quang........................................................................................................................................ 45
2.3.2.Trƣờng hợp vắng mặt từ trƣờng ngoài, tán xạ điện tử-phonon
õm.............................................................................................................................................. 48
2.3.3. Trƣờng hợp có mặt từ trƣờng ngoài.............................................. …….50
2.4. Tính toán số vẽ đồ thị và thảo luận kết quả.............................................................. 52
2.4.1. Trƣờng hợp vắng mặt từ trƣờng ngoài.................................................... 52
2.4.2. Trƣờng hợp có mặt từ trƣờng ngoài.......................................................... 54
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2........................................................................................................... 55
CHƯƠNG 3: HỆ SỐ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH
BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP.....................56
3.1. Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng pha tạp........................ 56
3.1.1. Trƣờng hợp vắng mặt từ trƣờng ngoài.................................................... 56
3.1.2. Trƣờng hợp có mặt từ trƣờng ngoài.......................................................... 57
3.2. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp.............58
3.2.1. Trƣờng hợp vắng mặt từ trƣờng ngoài.................................................... 58
3.2.2. Trƣờng hợp có mặt từ trƣờng ngoài.......................................................... 60
3.3. Biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong
siêu mạng pha tạp............................................................................................................................ 64
3.3.1. Trƣờng hợp vắng mặt từ trƣờng ngoài.................................................... 64
3.3.2. Trƣờng hợp có mặt từ trƣờng ngoài......................................................... .67
3.4.Tính toán số vẽ đồ thị và thảo luận kết quả............................................................... 70
KẾT LUẬN CHƢƠNG 3........................................................................................................... 73
CHƯƠNG 4: HỆ SỐ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH

5.2.2. Hệ phƣơng trình động lƣợng tử cho phonon âm giam cầm và
phonon quang giam cầm trong giếng lƣợng tử......................... ………..…93
5.3. Cộng hƣởng tham số giữa phonon âm giam cầm và phonon quang giam
cầm trong giếng lƣợng tử .. ……………………………………………...….95
5.3.1. Phƣơng trình tán sắc của phonon âm giam cầm và phonon quang
giam cầm trong giếng lƣợng tử............................................................... ………..95
5.3.2. Biểu thức giải tích của biên độ trƣờng ngƣỡng..................………98
5.4. Biến đổi tham số giữa phonon âm giam cầm và phonon quang giam cầm
trong giếng lƣợng tử................................................................................................................... 104
5.5. Tính toán số và thảo luận kết quả............................................................................... 106
KẾT LUẬN CHƢƠNG 5........................................................................................................ 108
KẾT LUẬN...................................................................................................................................... 110
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ............................................................. 112
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................................ 114
PHỤ LỤC......................................................................................................................................... 122


DANH SÁCH HÌNH VẼ
Hình 2.1. Sự phụ thuộc của  vào E0 (tán xạ điện tử-phonon quang).............52
Hình 2.2. Sự phụ thuộc của  vào E0 , (tán xạ điện tử -phonon âm).................52
Hình 2.3. Sự phụ thuộc của  vào T, (tán xạ điện tử-phonon quang)..............53
Hình 2.4 Sự phụ thuộc của  vào T, (tán xạ điện tử -phonon âm)......................53
Hình 2.5. Sự phụ thuộc của  vào , (tán xạ điện tử-phonon quang)............53
Hình 2.6. Sự phụ thuộc của  vào B, (tán xạ điện tử-phonon quang).........53
Hình 3.1. Sự phụ thuộc của  vào E0. (không có từ trƣờng)...............................70
Hình 3.2. Sự phụ thuộc của  vào E0 . (có từ trƣờng).............................................. 70
Hình 3.3. Sự phụ thuộc của  vào nD và T. (không có từ trƣờng)......................71
Hình 3.4. Sự phụ thuộc của  vào nD và T. (có từ trƣờng)...................................... 71
Hình 3.5. Sự phụ thuộc của  vào . (không có từ trƣờng)...............................72
Hình 3.6. Sự phụ thuộc của  vào . (có từ trƣờng)............................................. 72

Hằng số Boltzmann Chiết suất

e

của mẫu.

m*

Điện tích của điện tử.

c


Khối lƣợng hiệu dụng của điện tử.
s

Vận tốc ánh sáng.

k

Vận tốc sóng âm.

k

Vector sóng của điện tử.



q


bq

Toán tử sinh phonon ở trạng thái q

q

Toán tử hủy phonon ở trạng thái q

0

Tần số của phonon âm





Tần số của phonon quang.

0

Hệ số điện thẩm cao tần

q


V0

Hệ số điện thẩm tĩnh
Thể tích chuẩn hóa


thấp chiều đã làm thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng các
tính chất vật lý của vật liệu như: tính chất quang, tính chất động (tán xạ điện tửphonon, tán xạ điện tử-tạp chất, tán xạ bề mặt, v.v…). Nghiên cứu cấu trúc cũng
như các hiện tượng vật lý trong hệ bán dẫn thấp chiều cho thấy, cấu trúc thấp

1


chiều đã làm thay đổi đáng kể nhiều đặc tính của vật liệu. Đồng thời, cấu trúc
thấp chiều làm xuất hiện nhiều đặc tính mới ưu việt hơn mà các hệ điện tử chuẩn
ba chiều không có. Các hệ bán dẫn với cấu trúc thấp chiều đã giúp cho việc tạo
ra các linh kiện, thiết bị điện tử dựa trên nguyên tắc hoàn toàn mới, công nghệ
cao, hiện đại có tính chất cách mạng trong khoa học kỹ thuật nói chung và
quang- điện tử nói riêng [38, 41, 44, 49, 50]. Việc nghiên cứu và tạo ra các bán
dẫn có cấu trúc thấp chiều, chính là cơ sở của sự phát triển mạnh mẽ máy tính,
các thiết bị điện tử hiện đại thế hệ mới siêu nhỏ, thông minh và đa năng như hiện
nay. Đặc biệt, các hiệu ứng động của hệ thấp chiều đã tạo tiền đề quan trọng cho
việc chế tạo hầu hết các thiết bị quang điện tử hiện đại mà ưu điểm của chúng
vượt trội so với các linh kiện, vật liệu chế tạo theo công nghệ cũ. Hàng loạt các
linh kiện, thiết bị điện tử được ứng dụng công nghệ bán dẫn thấp chiều đã và
đang được tạo ra, chẳng hạn như: các lase bán dẫn chấm lượng tử, các điôt
huỳnh quang điện, pin mặt trời, các vi mạch điện tử tích hợp thấp chiều,…. Đó là
các ứng dụng quan trọng mà các các nhà khoa học vật lý đạt được khi nghiên
cứu về các hiệu ứng động trong hệ bán dẫn thấp chiều. Một trong nhiều thành
tựu khoa học nổi bật đã được ghi nhận bằng giải Noben Vật lý năm 2000 cho hai
nhà vật lý Zhores Alferov (Học viện kỹ thuật Ioffe-Nga) và Herbert Kroemer
(Đại học California tại Santa Barbara, Hoa Kỳ).
Trong những thập niên cuối thế kỷ 20, bằng phương pháp Epitaxy hiện đại
như Epitaxy chùm phân tử [22-25, 33, 36, 38, 39], Epitaxy pha hơi kim loại hữu
cơ bao gồm cả lắng đọng hơi kim loại hữu cơ [74]. Các nhà khoa học đã tạo ra
các lớp bán dẫn có cấu trúc thấp chiều như: giếng lượng tử, siêu mạng pha tạp,

của nhiều nhà vật lý trong và ngoài nước và chiếm một phần khá lớn các bài báo
các tạp chí trên thế giới (tạp chí Physical Review B giành riêng một phần khá lớn
cho hệ bán dẫn thấp chiều).
Bài toán về hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử tự do trong
bán dẫn khối đã được nghiên cứu ở công trình [70] bằng phương pháp phương
trình động lượng tử. Loạt bài toán về hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam
cầm trong hệ bán dẫn thấp chiều đã được nghiên cứu khá kỹ và được khảo sát
bằng nhiều phương pháp khác nhau. Cụ thể, hệ không chiều đã được nghiên cứu
bằng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn có các công trình [21, 45]; hệ một chiều

3


được nghiên cứu bằng phương pháp lý thuyết hàm Greeen và phương pháp
Kubo-Mori có các công trình [22, 36, 42, 50, 62]. Đối với hệ bán dẫn hai chiều
như: giếng lượng tử có các công trình [56, 59, 61, 67], bán dẫn siêu mạng (siêu
mạng pha tạp, siêu mạng hợp phần) có các công trình [57, 60, 69, 71] đã được
các tác giả khảo sát bằng phương pháp Kubo-Mori. Tuy nhiên, trong các công
trình này các tác giả mới chỉ xem xét đến ảnh hưởng của điện tử giam cầm trong
các hệ thấp chiều khi hệ đặt trong trường ngoài có cường độ sóng điện từ yếu
mà chưa xét đến trường hợp sóng điện từ mạnh; chỉ nghiên cứu các hiệu ứng
động tuyến tính và bỏ qua các hiệu ứng động phi tuyến lên hệ số hấp thụ sóng
điện từ. Loại bài toán về cộng hưởng tham số và biến đổi tham số giữa phonon
âm và phonon quang trong bán dẫn khối đã được khảo sát ở [77]. Trong hệ hai
chiều như: giếng lượng tử [61], siêu mạng pha tạp [82],... Nhưng còn nhiều vấn
đề mà các công trình này vẫn chưa được đề cập khi nghiên cứu, đó là bỏ qua ảnh
hưởng của phonon giam cầm (phonon 2 chiều, phonon 1 chiều, phonon không
chiều) khi xem xét và nghiên cứu các tính chất động liên quan đến cộng hưởng
tham số, biến đổi tham số giữa phonon âm và phonon quang trong hệ bán dẫn
thấp chiều nói chung và giếng lượng tử nói riêng,…. Với những phân tích ở trên,

dẫn có cấu trúc nano, bán dẫn thấp chiều, việc sử dụng lý thuyết lượng tử là cần
thiết. Về phương diện lý thuyết lượng tử, có thể áp dụng nhiều phương pháp
khác nhau như: lý thuyết nhiễu loạn, phương pháp phương trình động lượng tử,
lý thuyết hàm Green hoặc phương pháp Kubo-Mori cho tenxo độ dẫn điện. Vì
mỗi phương pháp có những ưu điểm và nhược điểm riêng của nó, nên việc sử
dụng phương pháp nào tốt nhất chỉ có thể được đánh giá vào từng bài toán cụ
thể. Với các bài toán đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng phương pháp
phương trình động lượng tử (nhờ phương trình chuyển động Heisenberg và
Hamiltonian cho hệ điện tử-phonon trong hình thức luận lượng tử hoá lần thứ
hai) trong lý thuyết hệ nhiều hạt của vật lý thống kê để nghiên cứu hệ số hấp thụ
phi tuyến sóng điện từ mạnh trong hệ hai chiều. Đồng thời phương pháp này
cũng được sử dụng khi nghiên cứu ảnh hưởng của phonon giam cầm lên cộng
hưởng tham số và biến đổi tham số giữa phonon âm giam cầm và phonon quang
giam cầm trong giếng lượng tử. Khi nghiên cứu bài toán về các tính chất động
của hệ bán dẫn thấp chiều, thì phương pháp phương trình động lượng tử tỏ ra ưu

5


việt hơn so với phương pháp khác và cho hiệu quả cao.
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
Là một trong các hướng nghiên cứu quan trọng ở trong nước và trên thế
giới, những kết quả mới mà luận án nghiên cứu đã:



Góp phần hoàn chỉnh lý thuyết, làm phong phú thêm kết quả nghiên
cứu về các tính chất quang phi tuyến của bán dẫn hai chiều; chỉ ra các tính chất
khác biệt giữa bán dẫn hai chiều với bán dẫn khối thông thường; xây dựng lý
thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong các vật liệu có cấu trúc hai



trong siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp và giếng lượng tử. Cũng trong mục
1.1, chúng tôi giới thiệu sơ lược về đặc điểm, tính chất và phổ năng lượng của
điện tử trong hệ bán dẫn có cấu trúc một chiều và không chiều, mô tả hàm sóng
và phổ năng lượng của điện tử trong các hệ này. Trong mục 1.2, chúng tôi trình
bày về Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong bán dẫn khối, phương trình
động lượng tử và biểu thức giải tích tổng quát hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện
từ mạnh trong bán dẫn khối. Từ biểu thức tổng quát hệ số hấp thụ sóng điện từ,
chúng tôi trình bày hai trường hợp giới hạn về hấp thụ, đó là hấp thụ gần ngưỡng
và hấp thụ xa ngưỡng sóng điện từ. Ở mục 1.3, chúng tôi trình bày về cộng
hưởng tham số và biến đổi tham giữa phonon âm và phonon quang trong bán dẫn
khối. Các biểu thức giải tích của biên độ trường ngưỡng và hệ số biến đổi tham
số giữa phonon âm và phonon quang trong bán dẫn khối.
Chƣơng 2, Chúng tôi nghiên cứu, tính toán hệ số hấp thụ phi tuyến sóng
điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần. Chúng tôi thiết
lập biểu thức giải tích hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh cho hai trường
hợp: vắng mặt từ trường và có mặt từ trường ngoài. Cụ thể, mục 2.1, chúng tôi
xây dựng biểu thức Hamiltonian tương tác của hệ điện tử-phonon (phonon quang
và phonon âm), cho hai trường hợp có mặt và vắng mặt từ trường ngoài. Mục
2.2, chúng tôi thiết lập phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm cho
từng trường hợp tương ứng. Từ phương trình động lượng tử lập được, chúng tôi
thiết lập biểu thức giải tích hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh tổng quát
(mục 2.3) trong siêu mạng hợp phần, tính hệ số hấp thụ sóng điện từ cho các
trường hợp giới hạn (hấp thụ gần ngưỡng và hấp thụ xa ngưỡng sóng điện từ).
Tiếp theo, trong mục (2.4) chúng tôi tính số, vẽ đồ thị sự phụ thuộc của hệ số hấp
thụ phi tuyến sóng điện từ vào các thông số của hệ; thảo luận kết quả thu được
và so sánh kết quả này với bán dẫn khối thông thường để làm rõ hiệu ứng điện tử
giam cầm trong siêu mạng hợp phần.
Chƣơng 3, dành cho việc nghiên cứu hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ

tham số giữa phonon âm giam cầm và phonon quang giam cầm trong giếng
lượng tử.Tìm được điều kiện cộng hưởng tham số giữa phonon âm giam cầm và
phonon quang giam cầm trong giếng lượng tử dưới tác dụng của trường laser. Cụ
thể, ở mục 5.1, chúng tôi giới thiệu về cơ chế cộng hưởng tham số và biến đổi

8


tham số giữa phonon âm giam cầm và phonon quang giam cầm trong giếng
lượng tử. Mục 5.2.1, xây dựng biểu thức Hamiltonian của điện tử-phonon quang
giam cầm. Mục 5.2.2, xây dựng hệ phương trình động lượng tử của phonon âm
giam cầm và phonon quang giam cầm trong giếng lượng tử, từ đó thiết lập
phương trình tán sắc của phonon âm giam cầm và phonon quang giam cầm. Dựa
trên phương pháp phương trình động lượng tử, chúng tôi xây dựng công thức
tính biên độ trường ngưỡng (Eth) của sóng điện từ laser khi điều kiện cộng
hưởng thỏa mãn trong giếng lượng tử (mục 5.3). Tiếp theo, trong mục 5.4, chúng
tôi thiết lập biểu thức giải tích hệ số biến đổi tham số giữa phonon âm giam cầm
và phonon quang giam cầm trong giếng lượng tử. Để làm rõ kết quả nghiên cứu
lý thuyết, ở mục 5.5 chúng tôi đã tính số, vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của
biên độ trường ngưỡng Eth vào độ lớn vector sóng q ở nhiệt độ T xác định. Trong
phần phụ lục, chúng tôi liệt kê một số chương trình mẫu dùng để tính toán số và
vẽ đồ thị sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào tham số cấu
trúc vật liệu cũng như các tham số đặc trưng cho sự giam cầm của điện tử
(phonon) khi vật liệu đặt trong trường sóng điện từ kích thích từ bên ngoài.
Kết quả của luận án đã được công bố thành 12 công trình dưới dạng các bài
báo, các báo cáo khoa học ở các tạp chí trong nước và quốc tế, cụ thể như sau:
01 bài báo đăng trong Journal of the Korean Physical Society.
01 bài báo đăng trong Journal of the Advances in natural sciences.
01 bài báo đăng trong Journal of the USA Physical Progress In Electromagnetic
Research L.

(chiều bị giới hạn có kích thước vào cỡ bước sóng De Broglie). Phổ năng lượng
của điện tử bị gián đoạn dọc theo hướng tọa độ bị giới hạn và hàm mật độ trạng
thái của hệ bán dẫn hai chiều có dạng bậc thang. Vật liệu bán dẫn với cấu trúc
khí điện tử hai chiều có một loạt các tính chất khác thường so với đặc tính của hệ
điện tử ba chiều thông thường. Hiện nay, vật liệu với cấu trúc khí điện tử hai
chiều, một mặt tiếp tục phát triển hết sức nhanh chóng và chiếm một vị trí chủ
đạo trong vật lý hiện đại, mặt khác, được hệ thống hóa bởi một loạt luận điểm
xây dựng công phu bởi các nhà vật lý hàng đầu trên thế giới và được công nhận
rộng rãi.
1.1.1.1. Siêu mạng hợp phần
Siêu mạng hợp phần là vật liệu bán dẫn mà hệ điện tử có cấu trúc chuẩn
hai chiều, được cấu tạo từ một lớp mỏng bán dẫn với độ dày d 1, ký hiệu là A, độ
rộng vùng cấm hẹp gA (ví dụ như GaAs) đặt tiếp xúc với lớp bán dẫn mỏng có

10


dy d2 ký hiu l B cú vựng cm rng gB (vớ d AlAs). Cỏc lp mng ny
xen k nhau vụ hn dc theo trc siờu mng (hng vuụng gúc vi cỏc lp trờn).
Trong thc t tn ti nhiu lp mng k tip di dng B/A/B/A, v rng
ro th hp cỏc lp mng k tip nhau nh mt h tun hon b sung vo
th mng tinh th. Khi ú, in t cú th xuyờn qua hng ro th di chuyn t lp
bỏn dn vựng cm hp ny sang lp bỏn dn cú vựng cm hp khỏc. Do ú, in
t ngoi vic chu nh hng ca th tun hon ca tinh th nú cũn chu nh
hng ca mt th ph. Th ph ny c hỡnh thnh do s chờnh lch nng
lng gia cỏc cn im ỏy vựng dn ca hai bỏn dn siờu mng, v cng bin
thiờn tun hon nhng vi chu k ln hn rt nhiu so vi hng s mng. S cú
mt ca th siờu mng ó lm thay i c bn ph nng lng ca in t. H
in t trong siờu mng hp phn khi ú l khớ in t chun hai chiu. Cỏc tớnh
cht vt lý ca siờu mng c xỏc nh bi ph in t ca chỳng thụng qua


Trong cụng thc (1.3), d0 l rng ca h th bit lp; U0 c v l sõu
ca h th bit lp; c cA cB l sõu ca h th giam gi in t c xỏc
nh bi cc tiu ca hai vựng dn ca hai bỏn dn A v B; v vA vB l

11


sâu của hố thế giam giữ lỗ trống được xác định bởi hiệu các cực đại của các khe
2 2
năng lượng giữa hai bán dẫn A và B; n là chỉ số mini vùng; n  2m d 2 n2 là các
mức năng lượng trong hố thế biệt lập.
cos k z d 

k1 

Từ đó ta có:
k

n 

  r   c v là thế siêu mạng được xác định bởi hiệu các khe năng lượng
hai

bán dẫn. Như vậy, thế của siêu mạng bằng tổng năng lượng chênh lệch của các
vùng dẫn c và độ chênh lệch năng lượng các vùng hóa trị v của hai lớp bán
dẫn kế tiếp. Như đã trình bày ở trên, vì chu kỳ của siêu mạng lớn hơn nhiều so
với hằng số mạng, trong khi đó biên độ của thế siêu mạng lại nhỏ hơn nhiều so
với biên độ của thế mạng tinh thể [1]. Do đó, ảnh hưởng của thế tuần hoàn trong
siêu mạng chỉ thể hiện ở các mép vùng năng lượng. Tại các mép của vùng năng


12


1.1.1.2. Siêu mạng pha tạp
Siêu mạng pha tạp (doping superlattices) là vật liệu bán dẫn, ở đó hệ điện
tử có cấu trúc chuẩn hai chiều. Siêu mạng pha tạp được cấu tạo từ hai bán dẫn
đồng chất nhưng được pha tạp một cách khác nhau và xếp chồng lên nhau. Trong
siêu mạng pha tạp, thế siêu mạng được tạo nên nhờ sự phân bố tuần hoàn trong
không gian của các điện tích. Sự phân bố điện tích đóng vai trò quyết định đối
với việc tạo nên bán dẫn pha tạp [1, 2, 53, 54, 73, 79, 81]. Ví dụ về một siêu
mạng như vậy được tạo nên nhờ sự sắp xếp tuần hoàn của các lớp bán dẫn mỏng
GaAs loại n (GaAs:Si) và GaAs loại p (GaAs:Be), ngăn cách bởi các lớp không
pha tạp (gọi là tinh thể n-i-p-i). Khác với siêu mạng hợp phần, thế tuần hoàn
trong siêu mạng pha tạp được tạo ra bởi các điện tích trung gian. Nguyên nhân
của sự khác biệt này là do khe hở các thành phần của mạng tạo ra sự thay đổi
chu kỳ ở các mép vùng năng lượng. Trong tinh thể n-i-p-i, thế siêu mạng pha tạp
Vsc z  bao gồm ba phần:
Vsc z   VH z  Vxc z Vi z 

(1.6)

ở đây, VH z là thế Hartree do các hạt tải dòng linh động có nồng độ là n(z) đóng
góp vào thế siêu mạng.
H

V





giải trong trường tự hợp có dạng:






2



 2  Vsc z  n , k r

2m

n= 0, 1, 2,…. Nếu bỏ qua sự chồng chéo của các vùng năng lượng khác nhau do
thế Vsc z  , phương trình (1.12) có nghiệm:

trong đó
r   x, y

và:



 n k  

