PHƯƠNG TRÌNH ,BẤT PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
  
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BM_ TOÁN
BÁO CÁO
GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG
Sinh viên thực hiện_nhóm 1:
1.Trần Thị Điệp 1090039
2.Huỳnh Vĩnh Sang 1090058
3.Nguyễn Hữu Tài 1090059
4.Nguyễn Minh Sơn 1090024
Giáo viên hướng dẫn:
Bùi Phương Uyên
ĐH CẦN THƠ 9/2010
(Phương trình_bất phương trình_hệ phương trình vô tỉ)
PHƯƠNG TRÌNH ,BẤT PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
A.PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ:
Lược đồ để giải các phương trình vô tỉ:
Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình
Bước 2: Lựa chọn phương pháp thực hiện:
• Phương pháp 1: Biến đổi tương đương
• Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ ,có 4 dạng đặt ẩn phụ
a.Sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình
với một ẩn phụ
b.Sử dụng một ẩn phụ chuyển một phương trình ban đầu thành một phương
trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x
c.Sử dụng k ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình
với k ẩn phụ

∈

⇔ = ≥ ⇔

=

Điều kiện (*) được lựa chọn tùy theo độ phức tạp của
( , ) 0 & ( , ) 0f x m g x m≥ ≥
Dạng 2: Phương trình:
( , ) ( , )f x m g x m=
Trang 1

{
Dạng 3:Phương trình:
( , ) ( , ) ( , )f x m g x m h x m+ =

{
2.Ví dụ:
Ví dụ 1:Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2 2
3 2 2x x m x x− + − = + −
Giải:
Phương trình được biến đổi tương đương về dạng:
2 2
3 2 2 0x x m x x− + − = + − ≥
2
1 2
3 2 0
1
1

x m x m
I
x x m mx m
+ ≥ ≥ −
 
⇔ ⇔
 
− = + = − −
 
a.Với m=1 ,hệ (I) được chuyển về dạng:
1
1
2 2
x
x
x
≥ −

⇔ = −

= −

Vậy với m=1 phương trình có nghiệm x = -1
b.Ta xét các trường hợp:
 Với m = 0 ,khi đó (2) vô nghiệm. Do đó (1) vô nghiệm
 Với m
≠
0
Khi đó (I) có nghiệm
⇔

-1
≤
m<0
Kết luận:
• Với m
≥
1 hoặc
1 m
− ≤
<0 ,phương trình có nghiệm:
2
1
2
m
x
m
+
= −
• Với m<-1 hoặc
0 m≤
<1 ,phương trình vô nghiệm
Ví dụ 3: Giải phương trình:
3 4 2 1 3x x x+ − + = +
Giải:
Viết lại phương trình:
3 4 2 1 3x x x+ − + = +
3 4 0
3 0
3 4 3 2 (1 )(1 2 ) 2 1
x

2
• Nếu bài toán chứa
( ), ( ) & ( ) ( )f x g x f x g x k=
( k=const ) có thể đặt
t =
( )f x
,điều kiện tối thiểu
0t
≥
,khi đó
( )
k
g x
t
=
• Nếu bài toán chứa
( ) ( ), ( ) ( )f x g x f x g x+
& f(x) + g(x) = k
( k=const) có thể:
Đặt
( ) ( )t f x g x= ±
,khi đó
2
( ) ( )
2
t k
f x g x
−
=
• Nếu bài toán chứa


Đặt
sint a t=
,với
2 2
t
π π
− ≤ ≤
hoặc
cosx a t=
,với
0 t
π
≤ ≤
• Nếu bài toán chứa
2 2
x a−
có thể:
Đặt
sin
a
x
t
=
với
{ }
, \ 0
2 2
t
π π

t
π π
∈ −
hoặc
cotx a t=
với
(0, )t
π
∈
• Nếu bài toán chứa
a x
a x
+
−
hoặc
a x
a x
−
+
có thể đặt x = acos2t
• Nếu bài toán chứa
( )( )x a b x− −
có thể đặt x = a+(b-a)sin
2
t
2.Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2 2
11 31x x+ + =
Giải:

2
-3x + 3 ,ta có:

2
3 3 3
( )
2 4 4
t x= − + ≥
Khi đó phương trình trở thành:
3 3 3 2 ( 3) 9t t t t t t+ + = = + + + + =
2
3 0
3
( 3) 3 1
1
( 2) (3 )
t
t
t t t t
t
t t t
− ≥
≤


⇔ + = − ⇔ ⇔ ⇔ =
 
=
+ = −



− ≥

Thấy:
2 2
( ) ( 1 ) 1x x+ − =
Ta đặt:
cos
1 sin
x t
x t

=


− =


,với
0,
2
t
π
 
∈
 
 
Khi đó phương trình trở thành dạng:
cost + sint = m
os( )

t k x c k
x c
π
α α π
π π
α π α π
π
α
− = ⇔ − = ± +
⇔ = ± + ⇔ = ± +
⇔ = ±
Ví dụ 4: Giải phương trình:
2 2
1 1 (1 2 1 )x x x+ − = + −
Giải:
Điều kiện:
2
1 0 1 1x x− ≥ ⇔ − ≤ ≤
Đặt x = sint với
[ ]
0,t
π
∈
Khi đó phương trình trở thành:
2 2
1 1 sin sin (1 2 1 sin )t t t+ − = + −
Trang 5
os 0
1
2


=
=
=





Vậy nghiệm của phương trình là :
x=1/2 hoặc x=1
III.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ _DẠNG 2:
1 cos sin (1 2cos )
2 os sin sin 2
2
3
2 os 2sin os
2 2 2
3
2 cos (1 2 sin ) 0
2 2
t t t
t
c t t
t t t
c c
t t
⇔ + = +
⇔ = +
⇔ =

⇔ − − − =
Ta có:
2 2
2 1 ( 1)x x x
′
∆ = + + = +
Do đó phương trình có nghiệm:
2 2
2 2
2
2 ( 1)
3 1 0
2 (3 1)
3 1
1
1 0
2 ( 1)
1
3
8 4 1 0
1
1
4
t x x
x
x x x
t x
t x
x
x x x






+ + =


⇔

≥





=




Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Trang 6
IV.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ_DẠNG 3:
1.Phương pháp:
• Sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một hệ phương
trình với k ẩn phụ
• Trong hệ mới thì k-1 phương trình nhận được từ các mối liên hệ giữa
các đại lượng tương ứng .Chẳng hạn đối với phương trình:
( ) ( )


2.Ví dụ:
3
2 1 1x x− = − −
Giải:
Điều kiện:
1 0 1x x− ≥ ⇔ ≥
Đặt
3
2
, 0
1
u x
v
v x

= −

≥

= −


Suy ra
3 2
1u v+ =
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
3 2
3 2 3 2
3

⇔ = ⇔ − = ⇔ =

 

 
= − =
− = −
 


Vậy phương trình có 3 nghiệm x = 2 ,x = 1 ,x = 10
V.SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ:
1.Phương pháp:
Cho phương trình f(x)=0 ,để chứng minh phương trình có k nghiệm phân
biệt trong
[ ]
,a b
,ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn các số a < T
1
< T
2
< … < T
k-1
< b chia đoạn
[ ]
,a b
thành k
khoảng thỏa mãn:


3
3
1 1 1 1 1
1 1 & (1,9)t x x t x= − ⇒ = − ∈
• f(0)f(1) = -3 <0 ,phương trình có ít nhất 1 nghiệm
2
(0,1)t ∈
khi đó
3
3
2 2 2 2 2
1 1 & (0,1)t x x t x= − ⇒ = − ∈
• f(1)f(2) = -39 <0 ,phương trình có ít nhất 1 nghiệm
3
(1, 2)t ∈
khi đó
3
3
3 3 3 3 3
1 1 & ( 7,0)t x x t x= − ⇒ = − ∈ −
Vậy phương trình có 3 nghiệm trên khoảng (-7,9)
VI.SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1.Phương pháp:
Ta có 3 hướng áp dụng sau:
Hướng 1: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x) = k (1)
Bước 2: Xét hàm số y = f(x)
Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến)
Bước 3: Nhận xét
• Với

Bước 2: Xét hàm số y = f(u)
Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến)
Bước 3: Khi đó
(3)
1
( , )u v u v D⇔ = ∀ ∈

2.Ví dụ: Giải phương trình:
2
1 3x x x− = + −
Giải:
Điều kiện :
1x ≥
Xét hàm số
( ) 1f x x= −
,là hàm đồng biến trên
[
)
1,D = +∞
Xét hàm số g(x) = 3 + x - x
2

MXĐ:
[
)
1,D = +∞
Đạo hàm:
2
( ) 1 0,g x x x D
′