Tải Bài tập phương trình bậc hai Có đáp án - Chuyên đề phương trình bậc hai hệ thức và đáp án - Pdf 70

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài tập và đáp án
Bài tập 1: Giải các phơng trình bậc hai sau:

TT PTBH TT PTBH

1 x2 - 11x + 30 = 0 41 x2 - 16x + 84 = 0

2 x2 - 10x + 21 = 0 42 x2 + 2x - 8 = 0

3 x2 - 12x + 27 = 0 43 5x2 + 8x + 4 = 0

4 5x2 - 17x + 12 = 0 44 2

√3+√¿ ¿ √6 x

2 – 2(x + 4 = 0

5 3x2 - 19x - 22 = 0 45 11x2 + 13x - 24 = 0

6 √2 √2 x2 - (1+)x + = 0 46 x2 - 11x + 30 = 0

7 x2 - 14x + 33 = 0 47 x2 - 13x + 42 = 0

8 6x2 - 13x - 48 = 0 48 11x2 - 13x - 24 = 0

9 3x2 + 5x + 61 = 0 49 x2 - 13x + 40 = 0

10 √3 √6 x2 - x - 2 - = 0 50 3x2 + 5x - 1 = 0

11 x2 - 24x + 70 = 0 51 5x2 + 7x - 1 = 0

24 5x2 + 2x - 3 = 0 64 x2 + 16x + 39 = 0

25 x2 + 13x + 42 = 0 65 3x2 - 8x + 4 = 0

26 x2 - 10x + 2 = 0 66 4x2 + 21x - 18 = 0

27 x2 - 7x + 10 = 0 67 4x2 + 20x + 25 = 0

28 5x2 + 2x - 7 = 0 68 2x2 - 7x + 7 = 0

29 4x2 - 5x + 7 = 0 69 -5x2 + 3x - 1 = 0

30 x2 - 4x + 21 = 0 70

√3 x2 - 2x - 6 = 0

31 5x2 + 2x -3 = 0 71 x2 - 9x + 18 = 0

32 4x2 + 28x + 49 = 0 72 3x2 + 5x + 4 = 0

33 x2 - 6x + 48 = 0 73 x2 + 5 = 0

34 3x2 - 4x + 2 = 0 74 x2 - 4 = 0

35 x2 - 16x + 84 = 0 75 x2 - 2x = 0

36 x2 + 2x - 8 = 0 76 x4 - 13x2 + 36 = 0

37 5x2 + 8x + 4 = 0 77 9x4 + 6x2 + 1 = 0

một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.

Bài giải:

1 2

x  a) Thay v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc : 
1

4 4 5 0

p p

    

1 2 5
x x  2

1
5 5
2
x
x
 

T ừ suy ra
1 5

x x x

  

 



 

  

  c) Vì vai trị của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử 
và theo VI-ÉT ta có , ta giải hệ sau:

1 2 18

q x x  Suy ra 
1 2 2

x  x x x 1 2 50d) Vì vai trị của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử và theo VI-ÉT ta có . Suy ra
2

2 2 2

2 2

2
5

P x x

  




 

 x x1; 2Bµi gi¶i: Theo hệ thức VI-ÉT ta có vậy là nghiệm của phương trình có dạng:

2 2

0 5 6 0

x  Sx P   x  x 

2 3 2 0
x  x  x x1; 2

1 2
1
1
y x

x

  2 1

               

 

1 2 2 1 1 2

1 2 1 2

1 1 1 1 9

( )( ) 1 1 2 1 1

2 2

P y y x x x x

x x x x

            

2 0

y  Sy P  Vậy phương trình cần lập có dạng: 
2 9 9 0 2 2 9 9 0

2 2

y  y   y  y 

hay

9 81 2 81 20

2
a b
a b   a b   a  ab b   ab   

T ừ
1

2
4
9 20 0

5
x
x x
x


    


 Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : 
Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5

nếu a = 5 thì b = 4

13
a b
a b
a b
 

    
 

13
a b 

1
2

2
4
13 36 0

9
x
x x
x


    


 *) Với và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
4

        
11
11
a b
a b
 

   

 T ừ: a2 + b2 = 61

a b 

1
2

2
5
11 30 0

6
x
x x
x


    


</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2 2

1 1 2 2

3 3
1 2 1 2

6 10 6

5 5

x x x x

x x x x

 





 

2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

3 3 2 2

1
1

1 0 1

' 0 ( 1)( 4) 0 5 4 0

5
m
m

m m

m m m




   
  
  
   
       
   

 
    
 
   

 

    
   
 

Rút m từ (1) ta có :

1 2

2 2

2 1

1 x x m 2

m      x x  (3)
Rút m từ (2) ta có :

1 2

HD: Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

1
1

1 0 1

' 0 ( 1)( 4) 0 5 4 0

5
m
m

m m

m m m




   
  
  

 1 2 1 2

2 4 6 2 8 8( 1) 0

3 2 8 3. 2. 8 0

1 1 1 1

m m m m m

A x x x x

m m m m

    
         
   
1
m 
4
5
m 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

   

2 2 2 1 0

x  m x m  x x1; 2 x x1; 2 x x1; 2

Bµi tËp 11Cho phương trình : có 2 nghiệm . Hãy lập hệ

  

  
 

  
  
 

Từ (1) và (2) ta có:

 

1 2

1 2 1 2 1 2

2 2 5 0

2
x x

x x     x x  x x  

   

2 4 1 2 4 0

     
 

 
   
 

Từ (1) và (2) ta có:

1 2 1 2 1 2 1 2

(x x ) 1 2x x 16 2x x (x x ) 17 0

         

   

2 6 1 9 3 0

mx  m x m 

Bµi tËp 13 : Cho phương trình :

x x2 x1x2 x x1. 2 Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :

  2  2  2  

m


 




 


 x1x2 x x1 2Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: v à t ừ gi ả thi ết: . Suy ra:
6( 1) 9( 3)

6( 1) 9( 3) 6 6 9 27 3 21 7

m m

m m m m m m

m m

 

            

(thoả mãn điều kiện xác định )

1

4 7 0

4
m m
    
1 2
2
1 2
2 1
2

x x m

x x m

  




 

 3x x1 2 5x1x2 7 0Theo hệ thức VI-ÉT ta có: và từ giả thiết . Suy ra
2

3( 2) 5(2 1) 7 0

mx  m x m   1. Cho phương trình :

x x2 x1 2x2 0 Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức :

 

2 1 5 6 0

x  m x m 

2. Cho phương trình :
1

x x24x13x2 1 Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức:

   

3x  3m 2 x 3m1 0

3. Cho phương trình : .
1

x x23x1 5x2 6 Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
HD:

1 2 2 0
x  x 

1 2 2 2

1 2 1 2

1 2 1

2( ) 9

2( ) 3

x x x

x x x x

x x x

 



  







 

 - Theo VI-ÉT:

1 2
4x 3x 1

   

1 1 2

1 2 1 2 1 2

2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 3( )

1 3( ) . 4( ) 1
4( ) 1

7( ) 12( ) 1

(3m 2) 4.3(3m 1) 9m 24m 16 (3m 4) 0

           BT3: - Vì với mọi số thực m nên phương

trình ln có 2 nghiệm phân biệt.

1 2
1 2
3 2
3 (1)
(3 1)
3
m
x x
m
x x


 



 
 


 - -Theo VI-ÉT:

1 2

  

     

  


      - Từ giả thiết: . Suy ra: (2)

(45 96) 0 32

15
m
m m
m



  
 

 - Thế (1) vào (2) ta được phương trình: (thoả mãn )

2 0

ax bx c  Bµi tËp 16 Cho phương trình: (a  0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2
nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….

2 3

0 0 ( 3)( 2) 0

m m m

m m

m

m m

P P P m m

      
      
 
     
    
      
  


2 m 3






 Bài giải: Theo VI-ÉT:

 2

2 2

1 2 6 1 2 1 2 8 1 2
A x x  x x  x x  x x

Theo đ ề b ài :

 2

2 1 8

4 12 1

(2 3) 8 8

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

minA8 2m 3 0 hay



  

1 2

1 2 1
x x m
x x m

 




 

 Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì :

 

1 2 1 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 3 2 3 2( 1) 3 2 1

2 1 ( ) 2 2 2

B
m m
    
  
 
   
2
2
2
1

1 0 0 1

2
m
m B
m

     
 Vì

max B=1  Vậy m = 1

Với cách thêm bớt khác ta lại có:

     
 

2 2 2 2 2

2 2
m
m B
m

     

Vì
1
min 2
2

B  m

Vậy

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để

phương trình đã cho ln có nghiệm với mọi m.
2

2
2 1

2 2 1 0

2
m

B Bm m B

2

2 1 0 1

2
1 0
1
B
B
B B
B
B
B
B
B
 



   


 
   
 

      
   
 
 

10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau   0 và P = 1

11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn

 a.c < 0 và S > 0

a
b


a
c

(ở đó: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = )

Bài 20: Giải phương trình (giải và biện luận): x2- 2x+k = 0 ( tham số k)
Giải

’ = (-1)2- 1.k = 1 – k

Nếu ’< 0  1- k < 0  k > 1  phương trình vơ nghiệm

Nếu ’= 0  1- k = 0  k = 1  phương trình có nghiệm kép x1= x2=1
Nếu ’> 0  1- k > 0  k < 1  phương trình có hai nghiệm phân biệt

k


1 1 k x1 = 1- ; x2 = 1+

+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m  thì phương trình có nghiệm

2
3

b) + Nếu m-1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0  x = (là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2

3
2

(1) có nghiệm duy nhất  ’ = 3m-2 = 0  m = (thoả mãn m ≠ 1)
3
1
3
2
1
1
1






m

Khi đó x =







x
m

Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 =

4
3

Vậy m = và nghiệm còn lại là x2 = 6

Bài 22: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

 d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22 10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m

f) Hãy biểu thị x1 qua x2
Giải
4
15
2

Hay phương trình ln có hai nghiệm (đpcm)

b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0  – 3 – m < 0  m > -3
Vậy m > -3

c) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm

Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm  S < 0 và P > 0

3
3
1
0
)
3
(
0
)
1
(
2







































0
3
2
0
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m

2
3

Vậy m  hoặc m  0

e) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm










2
1
2
1
m
x
x
m
x
x
m
x
x
m
x
x

Theo định lí Viet ta có:
 x1 + x2+2x1x2 = - 8

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

2
2
1
2
1
8
x
x
x


2
1
1
1
x
x
y  

1
2
2
1
x
x
y  

c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn ; với x1; x2 là nghiệm của phương trình ở
trên

Giải

a) Ta có ’ = 12 – (m-1) = 2 – m

Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
2
2
2
1
1
0

m
P

Vậy m = 2

b) Ta có ’ = 12 – (m-1) = 2 – m

Phương trình có nghiệm    0  2 – m  0  m  2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3)

2 2 2 4 5 5

1 2 1 2 1 1

3 1 2 2 1 3 1 2 2 1 1 2 2 2 7

x x x x x x

x x x x x x x

     
   
   
  
   
      
   

    Từ (1) và (3) ta có:

1 1 1 1

( )( ) 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 1

2 1 1 2

m

y y x x x x m

x x x x m m

          
 
(m≠1)
m
m

1
2
1
2

m
m

 y1; y2 là nghiệm của phương trình: y2 - .y + = 0 (m≠1)

Bài 25: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0

Híng dÉn

 ⇔ Nếu m – 3 = 0 m = 3 thì phơng trình đã cho có dạng

⇔ 1

2 - 6x – 3 = 0 x = -

⇔ Δ❑ * Nếu m – 3 0 m 3 .Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số = m2 –
(m – 3)(m – 6) = 9m – 18

Δ❑ ⇔ ⇔ - NÕu = 0 9m – 18 = 0 m = 2 .phơng trình có nghiệm kép

b

a =
2

2 3 x1 = x2 = - = - 2

Δ❑ ⇔ - NÕu > 0 m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biệt

m 3m 2

m −3 x1,2 =

Δ❑ ⇔ - NÕu < 0 m < 2 .Phơng trình vô nghiệm

Giải ;

Phơng trình bâc hai x2 3x – 7 = 0 cã tÝch ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt 
x1 , x2 .

Theo hƯ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = 3 vµ p = x1x2 = -7
a)Ta cã

+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23

|x1− x2| √S2

− 4 p=√37 + (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = = 
1

x1−1+
1
x2− 1

(x1+x2)−2
(x1−1)(x2− 1)=

S −2
p − S +1=−

9 + C = =

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2

1

9
1

9 X

2 – SX + p = 0 X2 + X - = 0 9X2 + X - 1 = 0

Bài 27 : Cho phơng trình :

x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k lµ tham sè)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0
Giải.

1. Ph¬ng trình (1) là phơng trình bậc hai có:

6

5
9

5 = (k -1)

2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 - k + )
3
5
9

4 -(k - )

2 - < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu 
với mọi k

3. Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2)

Vì phơng trình có nghiệm với mäi k .Theo hÖ thøc viÐt ta cã
x1 + x2 = k – 1 vµ x1x2 = - k2 + k – 2

 x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1)
= (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)]
= (k – 1) (4k2 – 5k + 7)

5
4

16 = (k – 1)[(2k - )
2 + ]

⇔ 5

4
87

16 Do đó x1

4 = m

2 + 2.m. + + = (m + )2 + > 0 víi mäi m
Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2

3. Vì phơng trình có nghiệm với mäi m ,theo hÖ thøc ViÐt ta cã:
x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m – 4

Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4)
1

2
19

4 = 4m

2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ]

|x1− x2| m+
1
2¿
2
+19
4
¿
√¿

2√19

2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành;

⇔ 5x – 5 = 0 x = 1

+ Nếu : m + 2 0 => m - 2 .Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số :

Δ = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = 1 – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > 0 
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt

2 m− 1+5
2(m+2)

2 m+4
2 m+4=1

2 m− 1− 5
2(m+2) =

2(m− 3)
2(m+2)=

m− 3

m+2 x1 = = x2 =

Tóm lại phơng trình đã cho ln có nghiệm với mọi m

3)Theo câu 2 ta có m - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần
nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp

1. BiƯn ln theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)

2. Tỡm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.

3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Giải

⇔ 3

4 1. + NÕu m = 0 thay vµo (1) ta cã : 4x – 3 = 0 x =
Δ❑ + NÕu m 0 .LËp biÖt sè = (m – 2)2 – m(m-3)
= m2- 4m + 4 – m2 + 3m
= - m + 4

Δ❑ ⇔ ⇔ < 0 - m + 4 < 0 m > 4 : (1) v« nghiƯm

Δ❑ ⇔ ⇔ = 0 - m + 4 = 0 m = 4 : (1) cã nghiÖm kÐp

b❑

a =
m−2

m =
4 − 2

2 =
1

2 x1 = x2 =

m−3

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

⇔

¿m− 3>0
m<0
¿
¿
¿
m −3<0
¿
m>0
¿
¿
¿
¿
¿
⇔
¿m>3
m<0
¿
¿
¿
m<3
¿
m>0
¿
¿
¿

4 - §èi chiÕu với điều kiện (*), giá trị m = - thoả m·n

Δ❑ 9

4
9
4
9
4
9
4
9

4 ⇔ *) Cách 2: Không cần lập điều kiện 0 mà thay x = 3 vào
(1) để tìm đợc m = -.Sau đó thay m = - vào phơng trình (1): -x2 – 2(- - 2)x - - 3 = 0 -9x2 +34x 
– 21 = 0

Δ❑

x1=3

x2=

7
9
¿
¿
¿

 34

9
34

9
7

9 x2 = - x1 = - 3 =
9

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

m−3
m =

−9
4− 3
−9
4
=21
9
21
9
21
9
7

9 x1x2 = => x2 = : x1 = : 3 =
Bài 31: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) víi k lµ tham sè

1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép

b

a=¿ Víi ®iỊu kiƯn(*) , ¸p dơng hƯ trøc vi Ðt: x1 + x2 = - - 2k vµ x1x2 = 2 – 5k
⇔ VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 2k2 + 5k – 7 = 0

2 (Cã a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = -

Δ❑ Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào = k2 + 5k – 2
Δ❑

+ k1 = 1 => = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; tho¶ m·n
7
2 Δ
❑ 49
4 −
35
2 −2=

49 −70 −8
4 =−

8 + k2 = - => = không thoả mÃn
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm

Cách 2 : Không cần lập điều kiện 0 .Cách giải là:

b/ ' = 4 - m - 1 = 3 - m, phơng trình có nghiệm 3 - m 0 m 3.
c/ Để phơng trình có 2 nghiệm thì phải có 0 m  3.

Khi đó: x12 + x22 = 10  (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10  16 - 2(m + 1) = 10  m = 2
d/ Để phơng trình có 2 nghiệm thì phải có   0  m  3.

x13 + x23 = 34  (x1 + x2)[(x1 + x2)2 -3x1x2] =34  4[16 -3(m + 1)] =34  m +1 =10  m = 9

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Cho phơng trình: x2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0.

a/ Chứng minh rằng phơng trình ln có nghiệm với mọi m.
b/ Tìm để phơng trình có một nghiệm x = 2, tìm nghiệm kia

c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 + x22  10

d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 sao cho P = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất

Gi¶i

a/ ' = m2 - 2m + 1 + m + 3 = m2 - m + 4 = (m- 1/2)2 + 15/4 > 0  với mọi m thì phơng trình luôn có
nghiệm.

b/ x = 2 thay vào phơng trình ta có: 5m = 5  m = 1. Khi đó phơng trình có dạng: x2 - 4 = 0  x = 2 ẩ
x = -2.

c/ x12 + x22  10  (x1 + x2)2 - 2x1x2  10  [2(m - 1)]2 + 2(m + 3)  10 

 4m2 -8m + 4 + 2m + 6  10  4m2 - 6m  0  m(2m - 3)  0  m  3/2 È m  0.
d/ P = x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = [2(m - 1)]2 + 2(m + 3) = 4m2 - 6m + 10 =

NÕu x1 = -1, x2 = 2m + 1 thì ta có: -1 = (2m + 1)2 vô lý. Vậy m = 0.

Bài 35

Cho phơng trình: (m - 1)x2 + 2(m - 1)x - m = 0.

a/ Tìm m để phơng trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép này
b/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm
d/ Tìm m để phơng trỡnh cú 2 nghim phõn bit u dng

Giải

a/ Phơng rình có nghiệm kép m 1 và ' = 0  m2 - 2m + 1 + m2 - m = 0
 2m2 - 3m + 1 = 0  (m - 1)(2m - 1) = 0  m = 1 È m = 1/2

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

c/ Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm 

d/ Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều dơng 

Lo¹i

Vậy khơng tồn tại m để phơng trình cú 2 nghim phõn bit u dng.

Bài 36

0 (m 1)(2m 1) 0

m 1
m 0

x x 0 m

0 m 1

m 1




   
 
 

 
  
     
   
 
  
 

    
  
 
'

    

 
 
 
  
    
   
 
   
     
   

 
'
1 2
1 2

m 1 m 1

m 1 (m 1)(2m 1) 0

m 1 / 2

0 m

0 m 1
0

x x 0 m 1

 

 

2m 3 3

m 3
2

 


2m 3 3

m
2
 
     È   È 
 

    
  
 
  
  
  
       
  
2

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.

❑1 x2 d) Với m tìm đợc ở câu c, hãy viết một hệ thức giữa xvà độc lập đối với m.
Lời giải

a) Ph¬ng trình (1) có một nghiệm bằng -1 nên:

12+(m+1)(1)+5 m=0 m=5
2
¿

x2+7
2x +

5
2=0⇒

2 Khi đó ta có phơng trình: nghiệm cịn lại của PT là:

x2−5 x +11=0 Δ=−19<0 ⇒ b) Víi m = -6 ta cã PT: cã ph¬ng trình vô nghiệm.

=m2+6 m 19 c) Ta có: .

=m2

+6 m 19 Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi >0.

Δ Ta xÐt dÊu

 

 

 

 

a b p c d q

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

t1=1⇒ x2=1⇒ x=± 1 * Víi

t2=3⇒ x2=3⇒ x=±√3 * Víi

3;3 Vậy phơng trình có 4 nghiệm : x = -1; 1; .

x 0 x+1

x=t b) ĐK: . Đặt
t2− 4 t+3=0 t

1=1, t2=
c

a=3 Ta đợc: .Theo câu a/
t1=1⇒ x+

Lời giải

x2+6 x +2=0 a) Khi m = -2, ph¬ng trình (I) trở thành:
'=b'

ac=32 1. 2=7 >0 Ta có phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
x1= 3+√7

1 =−3+√7 ; x2=

−3 −√7

1 =− 3 −√7
⇔ Δ'≥ 0⇔(m −1)2− 1.

(m2− 2

)≥ 0⇔−2 m+3≥ 0 ⇔ m≤3

2 b) Ph¬ng trình (I) có nghiệm
Phơng trình (I) có hai nghiệm phân biệt

'

>0(m 1)2 1.(m2 2)>0 2m+3>0 m<3
2
c

x1; x2 m≤3

2 e) Điều kiện để phơng trình có nghiệm là:
¿

x1+x2=2 (m− 1) (1)
x1x2=m2−2 (2)
x1=2x2 (3)

¿{ {
¿

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

x2=2 (m− 1)
3 ; x1=

4 (m −1)
3

m=−8+3√10
¿

m=− 8 −3√10
¿

¿
¿
¿

¿

m>2

m<2

2<m3
2

m<2

{

f) Phơng trình (I) cã 2 nghiÖm cïng dÊu

⇔
Δ'≥0
− b

a <0

Δ'≥ 0

− b
a >0
c
a>0

⇔

¿m≤ 3
2
m>1

¿
m>√2

¿
m<−√2

¿⇔√2<m≤3
2
¿
¿
¿

h) Ph¬ng trình (I) có hai nghiệm cùng dơng

a+b+c =0 1 2 (m1)+m22=0m2 2m+1=0 (m 1)2=0m=1 i) Phơng trình (I)

2 m
3

4 m −6
3 .

2 m
3 =m

−2⇔2 m( 4 m− 6)=9(m2−2)⇔ m2

+12 m− 18=0⇔
m=− 6+3√6

¿
m=−6 −3√6

¿
¿
¿
¿
¿

Tõ (1) vµ

(3) ta có thay vào (2), ta đợc (TM)

Bài 42 : Xác định m để phơng trình 

m

 




 

 1

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25></div>
(26)<div class='page_container' data-page=26></div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

VËy m < thì phơng trình
có hai nghiệm trái dấu

b) Phơng trình có hai
nghiƯm ©m ph©n biƯt
<=> <=>

0
0

a

P
S



 




  




 


   

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

<=> <=>

Vậy thì phơng trình có hai nghiệm âm ph©n biƯt

29
12

1
3

m

x  x 2

1 2

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

<=> <=> <=>

<=> m > hc m <

- Theo hƯ thøc Vi – Ðt, ta cã:

 2

m  10m 12   0

(m 5)  24  0

55 2 6 2 6

1 2 1 2

m 1 2

x x ; x .x

m m



m  10  3,m  10  3

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Bµi 44: Cho phơng trình

x1 v x2 l hai nghim phõn biệt của phơng trình. Khơng giải phơng trình, tìm giá trị của m để :

3 0

x  x  m 

1 2 6

x12  x22 34

x  x 

2 2

1 2 30

S x x

P x x m

  




 



1 2 6

x  x 

 x1  x2  2 36

2 2

1 2 1 2 2 36
x  x x  x 

 x1 27x2  2  4 x x1 2 936

4 4

 27

2 2

1 2 30

x1 2 x1 2

( x  x )( x  x ) 30

1 2 10

x  x 

2 1 10

x2  2   x 

1 2 2 1 2 100 (gi¶ sö x > x )2 1

x x x x

 x1 91x2  2  4 x x1 2 9100

4 4

 

91
4

m1  2



</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Theo định lí Vi- ét: m =
Vậy m = 2

e) Giải hệ Ta đợc

1 2

9
2

x x  

1 2

3 2 20

x x

 

1 2

9
754

x x  

( 5) 6 0

x  m  x  m  

1 , 2

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Hớng dẫn:

Phơng trình có hai nghiÖm <=>

<=> . Sau khi giải bất phơng trình này đợc kết quả: (*)

a) Gi¶ sư

1 2

2 x  3 x 13

    

  

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

(1) + (2) => . Thay vµo (1) =>

Thay vào (3) => m = 0 hoặc m = -14 tháa m·n ®iỊu kiƯn (*)
VËy m = 0 hc m = -14

b) Ta có hệ Từ hệ này tìm đợc m = 0 hoặc m = 1

6
2

m

x1   4
2

m

x  

1 , 2

x x1 2
1 2

3 x  mx  2 0

1 , 2

x x1 2 1

3 x x 2 x  2

1 , 2

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Hớng dẫn: Phơng trình có hai nghiệm <=>
<=>

Ta có: . Tìm đợc

1 , 2

x xm2 24 m 0

   

2 6 hc 2 6

m  m 

1 2 1
1 2

1 2




1 2

2, , 7

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Bài 47: Cho phơng tr×nh bËc hai

Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức

Híng dÉn: Ta cần có điều kiện (*)

Theo nh lớ Vi - ét

7 0

x  ax  a  

1 , 2

x x12 22 10

x  x 

a 2 4

a 

7 0

x  2mx  m  2

1 2

x13  x23

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

b) Tìm giá trị của m để

c) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm bằng - 2 rồi tính nốt nghiệm thứ hai.
Hớng dẫn:

a) =

Theo Vi - ét ta tính đợc =

2 2

1 2 10

x  x 

2 2

a) Tỡm nhng giỏ tr ca m phơng trình có nghiệm

b) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm bằng - 2. Tìm nt nghim kia
Hng dn:

1 6( loại ) và m = - 4 (nhËn)2

m 

1 2, 2 9

x  x

3 0

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

a) Phơng trình có nghiệm <=>

b) Thay x1 = - 2 vào phơng trình ta cã: 4 - 6 - m = 0 <=> m = - 2 tháa m·n

Theo định lí Vi ột. Ta cú:

Bài 50: Với giá trị nào của b thì phơng trình

a) có một nghiÖm b»ng 5

9
0

15 7 0

b x  x  

( b  1) x  ( b  1) x  72 0

4 7
7

 24

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Cho phơng trình ax2 +
bx + c = 0 (a0) có một
nghiệm x = x1.

Cách giải:

Thay x = x1 vào phơng
trình ax12 + bx1 + c =
0. Giải phơng trình có
ẩn là tham số.

Bài 52:

Cho phơng trình: x2 
(3m + 2n + 4)x + 4m +
10n + 38 = 0

1 1

2 2

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Theo hÖ thøc Vi- et

Thay x = x1; x = x2vào hệ và giải ta đợc giá trị của tham số.
Bài 53: Lập phơng trình bậc hai nhận hai số 2 và 3 làm nghiệm
Hớng dẫn: Phơng trình có dạng (x - 2)(x - 3) = 0 <=> x2 – 5x + 6 = 0
Bài 54:




 





 




x x x x m
x x m x x

  




  


1


1 2

x  x

1 2

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

ĐK:

Phơng trình cần tìm là: víi

Bài 56: Tìm hệ thức độc lập với m giữa những nghiệm số của phơng trình

Híng dÉn:

2 2 5

' 0

a 




 


 





 


 2

1 0,

2 0

m

2 hc m 2

 




 



1 2 1 2 1 0

x  x  x x  

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Híng dẫn: Để phơng trình có nghiệm, ta phải có: <=>

Theo Vi – Ðt:

, đó là hệ thức độc lập với k giữa những nghiệm số của phơng trỡnh
Bi 58:

Cho phơng trình x2 - 2(m + 5)x + 4m - 3 = 0

a) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.

Kết quả: b)
Bài 59:


   

   
      
 
 
 
    

  

1 2 1 2

Hay 3( x  x ) 2x x  8 0

1 2 1 2

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.

Kết quả:

Bài 60 :
Cho phơng
trình
a) Giải
phơng
trình

2

biƯt ;

 113 23

B x  x

2 4 1 0

x  x  

 1

' 4 4.1.1 16 4 12 0
      



4 2 3

2 3
2.1

x2   4 2 3  2 3

2.1

x  x x  x x  x  x x  x x

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

= . VËy = - 52

Bµi 61 Cho phơng trình gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình
1) Không giải phơng trình hÃy tính giá trị của các biÓu thøc sau:

  4 3  3.1. 4    64 12  52

3 3
1 2

x  x

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

a) ; b) c)

1 2

x  x

1 . 2

x x13 23

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

2) Xác định phơng trình bậc hai nhận và là nghiệm.
Gii:

1) Xét phơng trình .

2

. 2

x x

x x



 




 

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

b) Ta cã: = =

3 3
1 2

x  x

 3 2 2 3   2 2 

1 3 .1 1 3 1 2 2 3 .1 1 3 1 2

x  x x  x x  x  x x  x x

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

c) =

2) Đặt u = và v =

1 2

x  x

1 14 8 2

2 

1 2

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

Ta cã: u + v = += - =-

= =

 2 

1 2

x  x

 2 

2 1

4 2 4 4
 

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

u + v

19

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

Mµ: u . v = .=- + = - +

 2 

1 2

x  x

 2 

2 1

x 2  x 2

1 . 2

x x

 3 3 

1 2

x  x

127

8


</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

Vì 2 số u và v có tổng u + v và tích u. v. Nên u ; v là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai:

19
4



127
8




2 19 127 0

4 8

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

Vậy phơng trình cần tìm là:

Bài 62: Cho phơng trình gäi x1 ; x2 lµ hai nghiệm của phơng trình
1) Không giải phơng trình hÃy tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ; b)

Phơng
trình có 2
nghiƯm ph©n
biƯt ;

1 2

22 xx2  33xx1

2 x   9 x  6 0

9 4.2.6 81 48 33 0

       



x2

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

áp dụng định lí Vi – ét, ta có:

1 2

1 3 .1 1 3 1 2 2 3 .1 1 3 1 2

x  x x  x x  x  x x  x x

 x1  x2  3  3 .x x x1 2  1  x2 

9 9

3.3.

2 2

   



   

   

729 81 729 324 405
8 2 8 8



</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

VËy =

3 3

 2 x1  3 x2 

 2 x2  3 x1 

1 2

4 . x x12 22 

6 x  x

1 2

9 .25 .x xx x1 2

2
1 2

6 x x

 

9 243 150 243 93
25.3 6 75

2 2 2 2
 

Bài 63:

Cho phơng
trình
a) Giải
phơng
trình

2 9 93 0

2 2

  

X X

2 9 93 0

2 2

  

X X

2 x  5 x  6 0

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

b) Gọi x1; x2

5 4.2. 6 25 48 73 0

       

 73
 



5 73 5 73
2.2 4

x2   5 73  5 73
2.2 4

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

b) ¸p dơng ®inh lÝ Vi – Ðt ta cã:

1 2

5
2

. 3

 x1  x2  3  3 .x x x1 2  1  x2 

 

5 5 125 45 125 180 305
3. 3 .

2 2 8 2 8 8
  
   

       
   

</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

VËy =

Bµi 64: Cho phơng trình gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình

3 3
1 2

x 305 x

</div>
(91)<div class='page_container' data-page=91>

- áp dụng đinh lí Vi Ðt ta cã: ;

1 2

7
2
1

x x

x x



 





 



1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

</div>
(93)<div class='page_container' data-page=93>

( V× A >
0 )

. VËy =

Bài 65: Chứng minh với bất kì giá trị nào của k, phơng trình:

a) có hai nghiệm trái dÊu



2 7 1 7 2 7 2 2

A 2 2.

2 2 2 2 2



    

7 2 2
A

2


Bài 66: Cho phơng trình

a) Chứng minh rằng phơng trình có hai nghiệm trái dấu với mọi m

70 0
12

 k 

  

k

  

2 2

( 1) 2 0

</div>
(96)<div class='page_container' data-page=96>

b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là . Tìm giá trị của m để đạt giá trị nhỏ nhất
Hớng dẫn:

a) TÝnh ac = < 0 , nên phơng trình có hai nghiệm trái dÊu víi mäi m

1 , 2

x x12 22

x  x

</div>
(98)<div class='page_container' data-page=98>

2 2

1 2

x3 m  x23

</div>
(99)<div class='page_container' data-page=99>

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi = 0 <=> m =

Bài 67 Cho phơng trình x2 – 2(m – 4)x – 2m – 8 = 0
a) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biÖt.

b) Cho A = x2(x2 – 2) + x1(x1 – 2). Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Hớng dẫn:

a) TÝnh

b) MinA = 32 <=> m = 4

Bµi 68 Cho phơng trình x2 2(m 1)x + 2m – 4 = 0 
a) Chøng minh ph¬ng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Cho B = . Tìm m để B đạt giá trị nhỏ nhất.
Hớng dẫn:

11
3

(2m 3)  3 3

</div>
(102)<div class='page_container' data-page=102>

Bài 69 Cho phơng trình bậc hai 
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm

b) Cho biểu thức P = . Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính giá trị ấy.
Hớng dẫn:

b) Tính đợc P =

Khi

VËy MinP = 32 <=> m = - 3

b) Cho P = x12 + x22 26x1x2 - x12. x22 . Chứng minh giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào tham số
m.

Kết quả: b) P = 196 => giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào tham số m.

x 2(m 1)x  2m 10 0

Bài 72 Cho phơng trình . Tìm m sao cho hai nghiệm của phơng trình thỏa mãn A = t giỏ tr nh nht.

Hớng dẫn: Để phơng tr×nh cã hai nghiƯm th×

x  2(m 1)x  m 4 0

1 2 2 1

x (1 x )  x (1 x )

1 2

x  2 7 , x  2 7

2 19

' (m ) 0

2 4

    

x  2(m 1)x  2m 102  20

6


 m 34.36 482 19236

  

2 2

x  y 25 vµ xy 12

</div>
(106)<div class='page_container' data-page=106>

giải phơng trình ta đợc

Do x, y có vai trị nh nhau nên có hai cặp số (x , y) thỏa mãn là
b) Đặt Y = - y, ta có x + Y = 5, xY = - 66. Giải nh câu a tìm đợc

Hay
c) Tìm
x + y =

Kết
quả:

1 2

X 4, X 7

x 4 x 7

y 6 y 11
 
 
 
 
 
7


x 3 x 4 x 3 x 4
hc hc hc

y 4 y 3 y 4 y 3
   
   

   

</div>
(107)<div class='page_container' data-page=107>

Bài 74: Tìm giá trị của tham số m để hai phơng trình bậc hai sau có ít nhất một nghiệm chung, tìm
nghiệm chung đó :

Giải:
Cách 1:

- Hai phơng trình có nghiƯm chung khi vµ chØ khi hƯ cã nghiƯm

- Trõ vế với vế của hai phơng trình trong hệ ta có phơng trình: (m - 1)x = m - 1 (*)
+) NÕu m = 1. Thay trùc tiÕp vµo hai phơng trình ta có:

. Hai phng trỡnh ny u vơ nghiệm nên khơng có nghiệm chung

ph-ơng trình thứ nhất => không là nghiệm chung của hai phph-ơng trình.

Nếu . Từ hai phơng trình rút ra

m11

xx2 1 02

m , m x x

 

</div>
(109)<div class='page_container' data-page=109>

Ta cã: <=> , đây là nghiệm chung của hai phơng tr×nh => m = - 2
VËy m = - 2 thì hai phơng trình có nghiệm chung x = 1

Bài 75: Tìm giá trị của tham số k để hai phơng trình bậc hai sau có ít nhất một nghiệm chung, tìm nghiệm
chung đó :

Gi¶i:

- Hai phơng trình có nghiệm chung khi và chỉ khi hệ

có nghiệm

- Trừ vế với vế của hai phơng trình trong hệ ta có phơng trình: (k + 2)x = 4

+) Nếu k = - 2. Thay vào phơng trình (1), ta cã:

2x  5x  9 0

1 2

5 97 5 97

x , x

4 4

 

</div>
(110)<div class='page_container' data-page=110>

Thay k = - 2 vào phơng trình (2), ta cã:

Giải phơng trình này ta đợc hai nghim l

=> k = - 2 thì hai phơng trình không có nghiệm chung

+) Nếu . Từ phơng trình (*) => x = . Thay vào phơng trình (1), ta cã:

6x  15x 19 0

3 4

15 681 15 681

k2 2

2x  7x  9 0

5 6 9

x 1, x

2


 

</div>
(112)<div class='page_container' data-page=112>

=> thì hai phơng trình có nghiệm chung x = 1

7 8 19

x 1, x

2


 

</div>
(113)<div class='page_container' data-page=113>

Tơng tự với , hai phơng trình có nghiệm chung x =
- KÕt luËn:

Phng trỡnh = 0 vô nghiệm => Nghiệm chung là x = - 2, khi đó m = - 1
Bài 77 Tìm a để hai phơng trình sau có nghiệm chung

Hớng dẫn:

- Hai phơng trình có nghiệm chung khi vµ chØ khi hƯ

cã nghiƯm

2 2

x  (2m 3)x  6 0 (1) vµ 2x + x + m - 5 = 0 (2)

2
2

x (2m 3)x 6 0 (1)
2x + x + m - 5 = 0 (2)
    






3 2 2

4x  3x  7x  6  0 ( x  2)(4x  5x 3) 0

2

nhất, ta
nhận
đ-ợc a =
- Thay a
= 2 vào
cả hai
phơng
trình,
tìm
nghiệm
và kết
luận về
nghiệm
chung
là gì ?
- Thay a
= - 2
vào cả
hai

ph-ơng trình, tìm nghiệm và kết luận về nghiệm chung là gì ?
- Tãm

lại: a =
thì hai
phơng
trình có
nghiệm
chung.
Bài 78

liên lạc với nhau bởi hệ thức

2
2

x 3x k 0

x kx 3 0

   




   



3


2 2

1 1 2 2

</div>
(118)<div class='page_container' data-page=118>

th× có ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm
Giải:

Cách 1: Gọi lần lợt là biệt thức của hai phơng trình

1 2

   

 a1  a02  2

01

02

1 , 2

0

1 0, 2 0

   

2 2

1 1 2 2

a  4 b vµ a  4 b

2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2

</div>
(120)<div class='page_container' data-page=120>

, vì



2 2

x  2ax  b 0, x  2bx  a 0

13 1
a ; x

10 5


 

2 2
1 2

' ' (a 2a 1) ( b 2b 1) (a b 2)
' ' (a 1) ( b 1) (a b 2) 0

</div>
(123)<div class='page_container' data-page=123>

=> hc hc

Vậy ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm
Bài 81: Tìm m để hai phơng trình tơng đơng

m 8 (m 3)
m 3

 



</div>
(125)<div class='page_container' data-page=125>

Hai phơng trình tơng đơng <=> = => m = - 6
Vậy m = - 6 thì hai phơng trình tơng đơng

 Tr êng hỵp 1 : Hai phơng trình có nghiệm chung

m 8

m 3

m 3

2 2

</div>
(126)<div class='page_container' data-page=126>

- Hai phơng trình có nghiệm chung khi vµ chØ khi hƯ cã nghiƯm

</div>
(127)<div class='page_container' data-page=127>

-Với m = - 2, phơng trình thứ nhất lµ : . TËp nghiƯm S =

- Víi m = - 2, phơng trình thứ hai là : .

x  2x 1  0 x 1

 1

1 2

</div>
(128)<div class='page_container' data-page=128>

TËp nghiÖm S’ =

=> S . Vậy m = - 2 thì hai phơng trình khơng tơng đơng

 1; 2 

</div>
(129)<div class='page_container' data-page=129>

 Tr êng hỵp 2 : Hai phơng trình cùng vô nghiệm <=>

<=>

 

   
 

 

 

</div>
(130)<div class='page_container' data-page=130>

Kết luận : thì hai phơng trình tơng đơng

Bài 82: Tìm m và n để hai phơng trình sau tơng đơng

Híng dÉn:

- NhËn thÊy phơng trình thứ hai có ac < 0 nên luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2

- Vy hai phơng trình tơng đơng thì nghiệm x1 và x2 của phơng trình thứ hai cũng là nghiệm của phng
trỡnh th nht

- áp dụng vi - ét cho cả hai phơng trình, ta có:
- Kết quả: m = 2 vµ n = 1

1 m 2

4  

2 2

x  (2m  n )x 3m 0 vµ x - (m + 3n)x - 6 = 0

2 2

1 2 b c 4( b c )

</div>
(132)<div class='page_container' data-page=132>

Theo đề bài => b + c = . Từ đó => (đpcm)
Bài 84: Cho ba phng trỡnh sau:

Chứng minh rằng trong ba phơng trình có ít nhất một phơng trình có nghiệm

1 1 1

b bc c  2

1 2 ( b c ) 0

     

2 2 2

</div>
(133)<div class='page_container' data-page=133>

Híng dẫn: Chứng minh

Bài 85 Cho phơng trình:

Tỡm m và n để phơng trình có hai nghiệm là x1 = 1 và x2 = 2

2 2 2

1
2

2 2 3 1 2

x Sx P 0 x x 0 2x 3x 1 0
2 2

</div>
(138)<div class='page_container' data-page=138>

b) Tơng tự:

Bài 87 Cho phơng trình . Không giải phơng trình, hÃy tính giá trị của biểu thức

a) b) c)

x  2x  4 0

x  5x  2 0

2 2

1 2

</div>
(139)<div class='page_container' data-page=139>

d) e)
Híng dÉn:

a) 21 b) - 9 5 c) 433 d) - 20 e)

5 m 1
  

   

2 m 1 m 7

m 8m 7

2 2

 

</div>
(141)<div class='page_container' data-page=141>

Với điều kiện trên thì

 

2 9 (m 4)

m 8m 7 9
m 1 m 7 0 A

2 2 2

 
  

8m  18m  9

(m 1) 0, m

    

</div>
(144)<div class='page_container' data-page=144>

3. Phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia, giả sử

Bài 90Cho phơng trình

a) Xỏc định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm

1 2 3

m 3,m

4


 

2 1



</div>
(147)<div class='page_container' data-page=147>

a) §K: => m < - 3

b) Tính đợc

<=>

Giải hai phơng trình trên ta đợc

Bài 91 Cho phơng trình

25 0.
1 2 

x m 3, x m 2

3 3

1 2

x  x 50

3 3

(m 3)  (m 2) 50

</div>
(149)<div class='page_container' data-page=149>

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức

Híng dÉn:

b) m < - 1

c) m = 0 hoặc m = - 2

Bài 92 Cho phơng tr×nh

a) Xác định m để phơng trình vơ nghiệm

1 2

x , x

2
1 2 2 1

x (1 2x )  x (1 2x ) m

1 2

1 3 1 3
x , x

2 2



 


1 2

x 1  x2 2 1

( x1  x )2 1

9 273 9 273

m ,m

8 8

  

</div>
(152)<div class='page_container' data-page=152>

Bài 8: Cho phơng trình . Không giải phơng trình, hÃy tính:

;

</div>
(154)<div class='page_container' data-page=154>

i) k)

3 3

1 2

x14  x 24
x 12  x22

2 2

2 1

x x



2 3 3 2
1 2 1 2

</div>
(155)<div class='page_container' data-page=155>

1 2 1 2

6x 5x x 6x
8x x 8x x

 

</div>
(156)<div class='page_container' data-page=156>

a) 3

b) 1 vµ

c) 7

d) e) 3 f) 2

</div>
(157)<div class='page_container' data-page=157>

g) h) 8

i) 18 k) 47 m) 47 n) 3

</div>
(158)<div class='page_container' data-page=158>

p) 21

</div>
(159)<div class='page_container' data-page=159>

Bài 93 a) Cho phơng trình . Tìm giá trị của m để (1) có nghiệm thỏa mãn

m ,m

2 2

 

 

</div>
(160)<div class='page_container' data-page=160>

Bµi 94 Cho phơng trình 
a)

b) Tìm m để phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó tính tổng hai nghiệm của phơng trình
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức

(m 1)x  2mx  m 1 0

1


1 2

Bài 95 Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn

1
3


x  mx  m 1 0

1 2 1 2

</div>
(163)<div class='page_container' data-page=163>

KÕt qu¶: m = 6

Bài 4: Xác định k để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn
Kt qu: k = 7

Bài 96 Cho phơng trình

a) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

c) Xỏc nh m sao cho phơng trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.
Kết quả:

c) Phơng trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau

' 0, m
x x 0

x x 0
  







  


</div>
(165)<div class='page_container' data-page=165>

a) Xét hai trờng hợp m = 0 và m => kết quả là:
b) - 1 < m < 0

Bài 98 Cho phơng trình

a) Xỏc nh m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng
Kết quả:

0


2 2

1 2

x 2  x 2

1 2

1 1

x x



3 3

1 2

</div>
(167)<div class='page_container' data-page=167>

KÕt qu¶: a) b) c) d)

Bài 100 Cho phơng trình

a) Xỏc nh m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2 và tính nghiệm kia

15
5

2x  6x  m 0

1 2

2 1

x x

</div>
(171)<div class='page_container' data-page=171>

KÕt qu¶: a) 0 < m b) m =

Bài101 : Cho phơng trình

9
2

</div>
(172)<div class='page_container' data-page=172>

b) Tìm m để

Hớng dẫn: b) Kết hợp vi – ét = với , tìm đợc => m = ?

m  1

x x  0

x  mx  n 3 0

1 2

x , x1 2

2 2
1 2

x x 1

x x 7

 





 

</div>
(174)<div class='page_container' data-page=174>

KÕt qu¶: 1) a. Thay n = 0 vào phơng trình, ta có =>
b. m = 2

2) Từ điều kiện đề bài



 


 




x  (2m 3)x  m 3 0

1 2

</div>
(175)<div class='page_container' data-page=175>

b) A = =>

VËy MinA = 17 <=> m = - 1

 x1  x2  2 (2m  2)2  17 17

1 2

</div>

Nhờ tải bản gốc

Tài liệu, ebook tham khảo khác

Tải Bài tập phương trình bậc hai Có đáp án - Chuyên đề phương trình bậc hai hệ thức và đáp án - Pdf 70

Tài liệu, ebook tham khảo khác

Học thêm