Giáo trình Giải tích 12 - Trang 1 - Soạn cho lớp LTĐH
I. ĐẠO HÀM
1) Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của các hàm số:
a) y = f(x) = cosx b) y = f(x) =
1x
|x|
+
tại x
0
= 0.
2) Cho hàm số y = f(x) = x
3
−3x
2
+1, có đồ thò (C).
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) ≤ 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Cho (C) : y = f(x) = x
4
− 2x
2
.
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
1. Tại điểm có hoành độ bằng
2
.
2. Tại điểm có tung độ bằng 3.
3. Biết tiếp tuyến song song với d
1
: y = 24x+2007

– 3x + 2 ) ( x
4
+ x
2
– 1 ) b) y =
1xx
x2x
2
3
++
−
c) y =
qpx
cbxax
2
+
++
9) Tìm đạo hàm các hàm số :
a) y = ( 5x
3
+ x
2
– 4 )
5
b) y = sin
2
(cos 3x)
c) y = ln
3
x d) y = e

2
+ x – 2 ) h) y = cotg
2
x + cotg2x
11) Tính đạo hàm của hàm số

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 2 - Soạn cho lớp LTĐH
f(x) =



≥
<
0x nếu x
0x nếu x
2
3
tại điểm x
0
= 0
12) Tìm đạo hàm cấp n ( n nguyên dương) của các hàm số sau :
a) y = lnx b) y = e
Kx
c) y = sin x
d) y = cos x e) y = ln (x
2
+ x – 2 )
13) Chứng minh rằng :
a) Với y= 3 +

4x
+2e
−
x
. Chứng minh rằng : y’’’−13y’−12y = 0
d) Cho y =
4x
3x
+
−
. Chứng minh rằng : 2(y’)
2
= (y−1)y’’
e) Cho y =
73xgxcotxgcot
3
1
3
++++−
. Chứng minh rằng: y’ = cotg
4
x
15) Cho f(x) =
xsin1
xcos
2
2
+
. Chứng minh rằng :
3)

c)

f(x) = sinx.e
x
d) f(x) =
xxcosxsin3
+−

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 3 - Soạn cho lớp LTĐH
18) Giải bất phương trình f
/
(x) < 0 với f(x) =
3
1
x
3
−2x
2
+ π .
19) Cho các hàm số f(x) = sin
4
x + cos
4
x; g(x) =
x4cos
4
1
Chứng minh rằng : f ’(x) = g’(x), ∀x∈R
20) Tìm vi phân của mỗi hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:

−3x
2
+1. b) y = f(x) = 2x
2
−x
4
.
c) y = f(x) =
2x
3x
+
−
. d) y = f(x) =
x1
4x4x
2
−
+−
.
e) y = f(x) = x+2sinx trên ( −π ; π). f) y = f(x) = xlnx.
g) y = f(x) =
)5x(x
3
2
−
. h) y= f(x) = x
3
−3x
2
.

−
−
đồng biến trên các khoảng xác đònh
của nó. Kq: m = 0

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 4 - Soạn cho lớp LTĐH
27) Đònh m để hàm số y = f(x) =
2x
2x6mx
2
+
−+
nghòch biến trên nửa khoảng
[1;+∞). Kq: m ≤
5
14
−
28) Chứng minh rằng :
x1e
x
+>
, ∀x > 0.
29) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác đònh (trên từng
khoảng xác đònh) của nó :
a) y = x
3
−3x
2
+3x+2. b)

b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+∞)
31) Tìm m để hàm số :
mx
2mmx2x
y
2
−
++−
=
luôn đồng biến trên từng khoảng xác
đònh của nó.
32) Tìm m để hàm số :
mx
1mx)m1(x2
y
2
−
++−+
=
luôn đồng biến trên khoảng
(1;+∞). Kq:
223m
−≤
33) Tìm m để hàm số y = x
2
.(m −x) −m đồng biến trên khoảng (1;2). Kq: m≥3
34) Chứng minh rằng :
a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0. b) cosx >1 −
2
x

+(m
2
−1)x+2 đạt cực đại tại x=2.
( Đề thi TNTHPT 2004
−
2005) Kết quả : m=11
38) Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3
−3x
2
+3mx+3m+4
a.Không có cực trò. Kết quả : m ≥1
b.Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m <1
c. Có đồ thò (C
m
) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trò (đạt cực trò 4 khi x = 0).
Hd: M(a;b) là điểm cực trò của (C): y =f(x) khi và chỉ khi:





=
≠
=
b)a(f
0)a(''f
0)a('f
Kết quả : m=0
d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O.

−m+1)x+1. Có giá trò nào của m để hàm số
đạt cực tiểu tại x = 1 không? Hd và kq : Sử dụng đkc,đkđ. Không
42) Cho hàm số y = f(x) =
3
1
x
3
−mx
2
+(m+2)x−1. Xác đònh m để hàm số:
a) Có cực trò. Kết quả: m <−1 V m > 2
b) Có hai cực trò trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m > 2
c) Có cực trò trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m <−2 V m > 2
43) Biện luận theo m số cực trò của hàm số y = f(x) = −x
4
+2mx
2
−2m+1.
Hd và kq : y’=−4x(x
2
−m)
 m ≤ 0: 1 cực đại x = 0
 m > 0: 2 cực đại x=
m
±
và 1 cực tiểu x = 0
44) Đònh m để đồ thò (C) của hàm số y = f(x) =
1x
mxx
2

47) Tìm cực trò của các hàm số :
a)
x
1
xy
+=
. b)
6x2
4
x
y
2
4
++−=
. c) y =
21x
3
+−
48) Đònh m để hàm số có cực trò :
a)
2mxx3xy
23
−+−=
. Kết quả: m<3

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 7 - Soạn cho lớp LTĐH
b)
1x
2mmxx

2
< 1. Kết quả: m>−1
51) Chứng minh rằng : e
x
≥ x+1 với ∀x∈|R.
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
52) Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x
2
−2x+3. Kq:
R
Min
f(x) = f(1) = 2
53) Tìm giá trò lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x
2
−2x+3 trên [0;3].
Kq:
]3;0[
Min
f(x)=f(1)=2 và
]3;0[
Max
f(x)=f(3)=6.
54) Tìm giá trò lớùn nhất của hàm số y = f(x) =
1x
4x4x
2
−
+−
với x<1.
Kết quả :

−

58) Tìm trên (C): y =
2x
3x
2
−
−
điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai
trục tọa độ là nhỏ nhất. Kết quả :M(0;
2
3
)
59) Tìm giá trò nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 8 - Soạn cho lớp LTĐH
60) Tìm GTLN: y=−x
2
+2x+3. Kết quả:
R
Max
y=f(1)= 4
61) Tìm GTNN y = x – 5 +
x
1
với x > 0. Kết quả:
);0(
Min
±∞

1
Kết quả:
4)1(fyMax
]1;
2
1
[
==
−
;
1)0(fyMin
]1;
2
1
[
−==
−
64) Tìm GTLN, GTNN của:
a) y = x
4
-2x
2
+3. Kết quả:
R
Min
y=f(±1)=2; Không có
R
Max
y
b) y = x

3x3x
y
2
2
++
++
=
. Kết quả:
R
Min
y=
3
1
;
R
Max
y=3
65) Cho hàm số
2xx
1x3
y
2
++
+
=
. Chứng minh rằng :
1y
7
9
≤≤−

+
Hướng dẫn và kết quả : Txđ: (0; +∞ ) . Đặt t= lg
2
x, t≥0, ⇒ hàm số
y=g(t)=t+
2t
1
+
xác đònh trên [0; +∞), dùng đạo hàm đưa đến y’=0

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 9 - Soạn cho lớp LTĐH
⇔ t=−3 ∉[0; +∞ ) V t=−1 ∉[0; +∞ ) ⇒ hàm số y=g(t) đồng biến trên
[0;+∞ ) ⇒
);0[
Min
+∞
g(t) = g(0) =
2
1
⇒
);0(
Min
+∞
f(x) = f(1) =
2
1
68) Tìm giá trò LN và giá trò NN của hàm số y=2sinx−
xsin
3

m
):y = f(x) = x
3
−3(m−1)x
2
+m
2
x−3 nhận I(1;−1) làm điểm uốn.
Kết quả: m = 2 .
71) Đònh m để đồ thò (C
m
):y = f(x) = x
4
−6mx
2
+ 3
a) Có hai điểm uốn. Kết quả: m > 0
b) Không có điểm uốn. Kết quả: m ≤ 0
72) Chứng minh rằng đồ thò (C):
1xx
1x2
y
2
++
+
=
có 3 điểm uốn thẳng hàng. Viết
phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn này.
Hướng dẫn và kết quả:
(C) có 3 điểm uốn A(−2;−1), B(−

2
(x-1)+1⇔ y=
3
2
x +
3
1
.
73) Tìm điểm uốn và xét tính lồi, lõm của (C):y = f(x) = x
2
−3x+2
Kết quả: Lõm trên các khoảng (−∞;1) và (2; +∞). Lồi trên khoảng (1;2).
Điểm uốn : I
1
(1;0) và I
2
(2;0)
74) a) Chứng minh rằng nếu (C): y = f(x) = ax
3
+bx
2
+cx+d (a≠0) cắt Ox tại 3 điểm
cách đều nhau thì điểm uốn của (C) nằm trên Ox.
b) Tìm m để (C
m
):y = x
3
−3mx
2
+2m(m−4)x+9m

+x
3
=
a
b
−
⇒ x
2
=
a3
b
−
. Vậy điểm uốn I(x
2
;0)∈Ox.
b) Tìm I(m;m
2
−m).
Điều kiện cần : I∈Ox ⇒ m
2
−m = 0 ⇒ m = 0 V m = 1.
Điều kiện đủ : Chọn m = 1.
75) Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) :
a) y=x
3
−3x
2
+2. b)
2x
4xx

3
+bx
2
+x+1 nhận I(1;−2) làm điểm uốn.
c) Biện luận theo m số điểm uốn của (C
m
) :y=x
4
+mx
2
+m−2 .
78) Tìm m để đồ thò (C
m
):y = f(x) = x
3
−3x
2
−9x+m cắt Ox tại 3 điểm theo thứ tự có
hoành độ lập thành cấp số cộng. Kết quả : m = 11.
79) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax+b cắt đồ thò (C) :
y=x
3
−3x
2
−9x+1 tại ba điểm phân biệt A, B, C và AB = BC.
Hướng dẫn và kết quả :
• Lập phương trình hoành độ giao điểm :
ax+b = x
3
−3x

1x
1x
2
+
+
.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 11 - Soạn cho lớp LTĐH
Kq:y =
4
3
x
4
1
+
81) Tìm m để (C
m
):y = x
3
−3mx
2
+2m(m−4)x+9m
2
−m có điểm uốn :
a) Nằm trên đường thẳng (d) : y = x. Kết quả : m = 0 V m = 2 .
b) Đối xứng với M(−3;−6) qua gốc tọa độ O. Kết quả : m= 3 .
c) Đối xứng với N(5;−20) qua Ox. Kết quả : m= 5 .
d) Đối xứng với P(−7;42) qua Oy. Kết quả : m= 7 .
V. TIỆM CẬN

1x
2
+
.Kết qua û: y = ±x
85) Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số: y =
3
32
xx3
−
. Kết quả : y = −x+1.
86) Cho (C
m
) :
( )
1x
mmx1mx
y
222
+
++++
=
.
a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thò (C
m
).
b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thò (C
m
) đi qua I(1;2).
87)Tìm trên đồ thò (C):y =
1x

+3x−4 d) y = (1-x)
3

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 12 - Soạn cho lớp LTĐH
e) y =
2
1
x
2
x
2
4
+−
f) y = x
4
+x
2
-2.
g) y=2x
2
−x
4
-1 h) y=x
4
-1
i) y =
1x
1x
−

90) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thò:
a) (C): y =
2x
3x6x
2
+
+−
và d: y = x−m. Hd: Lý luận x=
2
m8
3m2
−≠
−
+
b) (H):
1x
1x
y
−
+
=
và d: y= −2x+m. Hd: x=1 không là nghiệm phương trình hoành
độ giao điểm.
91) A.Vẽ đồ thò (C) hàm số y = x
3
+3x
2
−2
B.Biện luận bằng đồ thò (C) số nghiệm của pt: x
3

−2x+2 và đường thẳng d: y=2x+m.
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (P)
b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P).
c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tập hợp trung điểm M của
đoạn AB.
96) Cho hàm số
1x
1x
y
−
+
=
, có đồ thi (H).
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (H).
b) Cho đường thẳng d: y= −2x+m. Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N. Tìm tập
hợp trung điểm I của MN.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 13 - Soạn cho lớp LTĐH
97) Chứng minh rằng đồ thò (C) của hàm số y=f(x)=x
3
−3x
2
+1 nhận điểm uốn của nó
làm tâm đối xứng.
98) Cho hàm số y = x
4
−4x
3
−2x

2x
+
−
. Từ đồ thò (C) đã vẽ, hãy
suy ra đồ thò của các hàm số:
a) (C
1
): y = f
1
(x) =
2x
2x
+
−
b) (C
2
): y = f
2
(x) =
2x
2x
+
−
c) (C
3
): y = f
3
(x) =
2x
2x

3
−3x
2
+2.
b) Từ đồ thò (C), suy ra đồ thò (C’): y = g(x) = | x|
3
−3x
2
+2. Từ đó biện luận
theo m số nghiệm của phương trình: | x|
3
−3x
2
+1 − m = 0.
102) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=x
2
+(2m+1)x+m
2
−1 (1) luôn tiếp xúc với một đường
thẳng cố đònh. Xác đònh phương trình đường thẳng đó.
Lời giải 1:
1. Dự đoán đường thẳng cố đònh:
Cách 1: Chuyển (1) về phương trình m
2
+2xm+x
2
+x−1−y=0, phương trình này
có ∆= (x)

2
=0 ⇔ x=−m (nghiệm kép)
Vậy (C
m
) luôn tiếp xúc d:y=x−1.
Chú ý: Chỉ có đường thẳng và đường bậc 2,mới có khái niệm “ 2 đường tiếp xúc
nhau
⇔
phương trình hoành độ giao điểm ( bậc 2 ) có nghiệm kép” .
Trong các hàm số khác và hàm bậc nhất ta phải dùng hệ điều kiện tiếp xúc.
Lời giải 2:

Gọi d: y=ax+b là đường thẳng cố đònh. d tiếp xúc (C
m
) khi và chỉ
khi phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép với mọi m:
x
2
+(2m+1)x+m
2
−1= ax+b⇔ x
2
+(2m+1−a) x+m
2
−b−1=0 có nghiệm kép với ∀ m
⇔ ∆ =(2m+1−a)
2
−4.1(m
2
−b−1)=0 với ∀ m⇔−4(a−1)m+(a−1)

+−+
(1), m ≠ 0 luôn tiếp xúc với hai
đường thẳng cố đònh. Xác đònh phương trình hai đường thẳng đó.
1. Dự đoán các đường thẳng cố đònh: Biến đổi (1) về phương trình bậc hai ẩn m:
m
2
+(y−1−3x)m+(y−1)x=0 (2), đặt t=y−1 ta có phương trình: m
2
+(t−3x)m+tx=0(3)
Phương trình (3) có ∆=0 ⇔ (t−3x)
2
−4tx=0 ⇔ t
2
−10xt+9x
2
=0⇔ t=9xV t=x.
Thay t=y−1,suy ra hai đường thẳng d
1
:y=9x+1, d
2
:y=x+1 cố đònh tiếp xúc (C
m
)
2. Chứng tỏ (C
m
) tiếp xúc với d
1
, và tiếp xúc d
2
: ( Bắt đầu lời giải)

m
Vậy d
1
:y=9x+1 tiếp xúc (C
m
) tại điểm có hoành độ x= −
3
m
(m ≠ 0).
• Tương tự : d
2
:y=x+1 tiếp xúc (C
m
) tại điểm có hoành độ x= m (m ≠ 0).
104) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=mx
3
−3(m+1)x
2
+x+1 luôn tiếp xúc với một đường thẳng
cố đònh tại một điểm cố đònh.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 15 - Soạn cho lớp LTĐH
Hướng dẫn giải: Tìm được (C
m
) đi qua hai điểm cố đònh A(0;1) và B(3;−23) và tiếp
tuyến của (C
m

f(x)=
1x
C
)1x(
B
)1x(
A
23
−
+
−
+
−
. Kq: A= -1; B=3 và C=1
2) Từ đó tính
dx
)1x(
3xx
3
2
∫
−
−+
107) Tính
dx
)2x(
2xx
3
3
∫

Hàm số Kết quả Hàm số Kết quả
a) y=
x
1x
+
b) y=2
2
x
sin
2
)1
3
x
(x2
+
+C
x−sinx+C
c) y=
xcos.xsin
1
22
d) y=
xsinxcos
x2cos
+
tgx−cotgx+C
sinx+cosx+C

112) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x)= x
3

+−
+

Từ đó, hãy tìm họ nguyên hàm của hàm số:
2x3x
1x
)x(f
2
+−
+
=
Kết quả:A=3; B= −2. F(x) = 3 l nx−2−2 l nx−1+ C= l n
2
3
)1x(
2x
−
−
+C
115) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
∫
dx.gxcot
b)
∫
dx.xgcot
2
c)
∫

−
+C
l n
2
x
tg
+C
116) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
∫
+
2
1
2
2
dx
x2
2x
b)
∫
+
3
1
2
dx
x
x4x
c)
∫

xgcot23
f)
∫
π
π
−
4
6
2
3
dx
xsin
xsin1
g)
∫
π
2
0
2
xdxcosxsin
3
15311
−
2
223
−+
3
1
117) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả