UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2010 - 2011
Mụn thi: Toỏn
Thời gian làm bài: 180 phỳt (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 08 tháng 10 năm 2010
==========
Câu 1. (4 điểm)
Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau thoả mãn với mọi cặp số thực x, y
không âm:
yxk
yxyx
−+
+
≤
+
22
4
1010
.
Câu 2. (3 điểm)
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình sau:

2 2 2 2010
2. 3. 4x y z+ + =
.
Câu 3. (5 điểm)
Cho hàm số
:f R R→
thoả mãn

2
1
kk =−≥
(1 điểm)
+) Ta chứng minh: khi k = k
0
, bđt dã cho đúng với mọi cặp số thực x, y không âm.
_ Dễ thấy bđt đúng khi x không âm và y = 0.
- Xét trường hợp x
≥
y > 0.Đặt
1≥=
y
x
t
, bđt trở thành:
(*) 0 )1(
2
1
2
1
0
4
4
≤−−
+
−
+
tk
tt

4
4
3
4
3
−
+t
t
Từ
1≥t
suy ra f
,
(t) < 0.
Do đó f(t) là hàm nghịch biến trên [1; +
∞
)
0)1()( =≤⇒ ftf
, tức là (*) đúng với
1≥t
.
Vậy giá trị cần tìm là:
2
1
2
1
4
−=k
(3 điểm)
Câu 2.
+) Gọi (x

Do đó x
0
và z
0
cùng chẵn hoặc cùng lẻ, dẫn đến (x
0
2
+ 3.z
0
2
) chia hết cho 4, rồi 2y
0
2
chia
hết cho 4, suy ra 2y
0
2
chia hết cho 8, suy ra (x
0
2
+ 3.z
0
2
) chia hết cho 8, do đó x
0
, z
0
cùng
chẵn.
Như vậy x

432
,,
2009200920092010
200920092009
2
2009
2
2009
2
2009
200920092009



=⇒=⇒
=++
∈
zyx
zyx
Nzyx

+) Dễ thấy
)2;2;2(),0;0;2();;(
2009200920092010
=zyx
thoả mãn pt đã cho.
Vậy đó là nghiệm cần tìm
( 3 điểm)
A
D

uu
- Nếu u
0
> 3 thì, bằng quy nạp:
. từ (1) suy ra u
n
> 3
. từ (2) suy ra 3 < u
n+1
< u
n
với mọi n tự nhiên
Do đó tồn tại lim(u
n
) = L và 36 =⇒+= LLL
- Nếu 0 < u
0
< 3 3 thì, bằng quy nạp:
. từ (1) suy ra u
n
< 3
. từ (2) suy ra 3 > u
n+1
> u
n
với mọi n tự nhiên
Do đó tồn tại lim(u
n
) = L và 36 =⇒+= LLL .
Tóm lại, luôn có lim(u

B
D =∠
.
Vì
, , , 0
60CDA ADB A DB A DB∠ = ∠ = ∠ ⇒ ∠ =
Suy ra:
000,,
1004060
2
=⇒=⇒=+=∠=∠=∠ AB
B
BDBAADBCDA

( 4 điểm)
Cách 2.
Ap dụng định lý sin cho các tam giác ABD và ABC và đặt B = 2t ta thu được:
Sin4t = sin5t
Câu 5.
Ký hiệu S
n
là tập hợp cách xếp n bi thành hàng và thoả mãn đề bài; X
n
, D
n
, V
n
là tập hợp
cac cách xếp n bi thoả mãn đề bài mà viên bi cuối có màu xanh, đỏ, vàng tương ứng.
Ta có:

V X Y V S
+
= + + =

Suy ra:

(*) 2)(2
11 −+
+=+++=
nnnnnnn
SSVVYXS
Ta có:
{ }
1 2 2
3; 7 ( , , , , , , )S S S XX XV DD DV VX VD VV= = =
áp dụng (*) ta có
577 239,S99,;41 ;17
76543
===== SSSS
( 4 điểm)