ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI
BẬC THCS. NĂM HỌC 2006 -2007
MÔN THI: Toán
LỚP: 9
Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề )
Câu 1:(4 điểm). Giải hệ phương trình:
x
2
- 4y = 1
y
2
- 6x= -14
Câu 2:(4 điểm). Toạ độ đỉnh của tam giác ABC là: A(2;2), B(-2;-8), C(-6;-
2)
Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Câu 3:(3 điểm). Cho phương trình: 2x
2
+ (2m - 1) + m - 1
a) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x
1,
x
2
thoả mãn 3x
1
-
4x
2
= 11
b) Chứng minh rằng phương trình không có hai nghiệm số dương.
Câu 4:(2 điểm). Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
3x + 2y = 3

2
-4y + 4 = 0
<=> (x - 3)
2
+ (y - 2)
2
= 0
2,0

x - 3 = 0 x = 3
y - 2 = 0 y = 2
Vậy hệ PT có nghiệm duy nhất: x = 3
y = 2
1,0
2
(4đ)
-PT đường thẳng qua hai điểm là: y = ax + b
0,25
-Đường thẳng qua A(2;2), B(-2;-8) nên:
2 = 2a + b => a =2,5 ; b = 1
-2 = -2a + b Vậy Y
AB
= 2,5x -3
0,75
-Đường thẳng qua A(2;2), C(-6;-2) nên:
2 = 2a + b => a =0,5 ; b = 1
-2 = -6a + b Vậy Y
AC
= 0,5x + 1
0,75

0
≥
với
mọi giá trị của m. Vậy PT đã cho luôn luôn có nghiệm
1,0
Theo định lí Viét ta có: x
1
- x
2
=
2
21 m
−
(1) và x
1
x
2
=
2
1
−
m
(2)
Muốn có 3x
1
- 4x
2
= 11 (3)
Giải hệ PT (1) và (3) ta được x
1

−
m
m < 1/2
<=> <=>
x
1
x
2
> 0
0
2
1
>
−
m
m > 1
Hệ bất PT vô nghiệm. Vậy không có giá trị nào của m thoả mãn
điều kiện của đề bài.
1,0
4
(2đ)
3x + 2y = 3 <=> y =
2
1
22
2
33
−
+−=
−

∆
ABD có BC
⊥
AD (Góc ACB = 1v góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn
0,5
Mặt khác C là trung điểm của AD (vì D nằm trên tia AC và AD =
2AC)
Nên BC là trung tuyến của
∆
ABD . Vậy
∆
ABD là tam giác cân
Nên
DA
∠=∠
1,0
Muốn BD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O thì
∠
ABD = 90
o
=>
∠
A=45
o
. Góc A là góc nội tiếp chắn cung BC, vậy số đo của cung BC=
90
o
.
Vậy điểm C là trung điểm của cung AB