GV
Nguyễn Bá C

Trên bớc đờng thành công không có dấu chân của kẻ lời biếng
Một số vấn đề hay toán học
Trong một lần tình cờ tôi đọc đợc bài viết này trên máy tính của một ngời bạn.
Tôi thấy đây là một bài viết hay, tôi muốn chia sẻ với các bạn, mong rằng đây là một tài
liệu bổ ích và phục vụ tốt cho quá trình giảng dạy cũng nh học tập của các bạn.
Chúc thành công!
Bn v mt dng phng trỡnh cha hai hm ngc nhau. Vớ d 1: Gii phng
trỡnh: .
t .
Vy ta cú h phng trỡnh :
. Tr hai phng trỡnh ca h:
(Do ) Thay vo h ta cú:
.
Vy phng trỡnh cú ba nghim: .
Bỡnh lun: Bi toỏn trờn l bi toỏn khỏ n gin v cú l nhiu bn khụng my khú khn
gii bi toỏn ny. Tuy nhiờn t bi toỏn trờn ta cú th tng quỏt c dang phng trỡnh trờn
nh sau:
* Dng tng quỏt bi toỏn trờn: (I)
gii phng trỡnh ny ta t ta cú h: . õy l
h i xng loi II vi hai n t v y.
* T dng trờn ta cho bng nhng biu thc c th v bin i i ta cú c nhng
phng trỡnh m ta thng gi l cha hai hm ngc nhau. Do ú khi gp phng trỡnh cha
hai hm ngc nhau ta tỡm cỏch bin i v dng trờn. Ta xột mt s vớ d sau:
Vớ d 2: Gii phng trỡnh :
Gii: iu kin :
PT
t .
Ta cú h :

2
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
Vậy phương trình có hai nghiệm: .
Ví dụ 5: Giải phương trình :
Ta thấy không là nghiệm của phương trình . Chia hai vế phương trình cho ta được:
.
Đặt , ta có:
.
Đặt , ta có hệ phương trình :
Thử lại ta thấy ba nghiệm này thỏa phương trình
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: .
Những ví dụ trên ta đã thay b ở (II) bằng một biểu thức chứa x. Vậy nếu thay a bằng một biểu
thức chứa x thì như thế nào ? ta còn giải quyết được theo cách trên nữa hay không?. Ta xét ví
dụ sau.
Ví dụ 6: Giải phương trình : .
Giải:
PT
Đặt ,
Ta có hệ phương trình :
*
phương trình vô nghiệm.
*
hệ vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Trong các kí thi chúng ta thường bắt gặp các phương trình lượng giác và những bài phương
trình lượng giác này đã gây không ít khó khăn đối với nhiều em học học sinh, có lẽ lí do mà

“Là phương trình có dạng trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn
hoặc cùng lẻ.”
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho (k là số mũ cao nhất) ta được phương
trình một hàm số là .
Ví dụ: Giải các phương trình sau
1) Giải bài thi ĐH Khối B – 2008 nêu trên
2)
3)
Những phương trình trên xin dành cho các bạn tự giải (vì đã có phương pháp giải).
Bây giờ tôi xin đi vào cách phân tích để tìm lời giải cho loại phương trình mà chúng ta không
ưa gì mấy mà ta thường gọi là phương trình lượng giác không mẫu mực. Không riêng gì
phương trình lượng giác không mẫu mực mà đối với mọi phương trình đại số hay phương trình
mũ, logarit.. để giải những phương trình này ta phải tìm cách biến đổi phương trình đã có cách
giải và một trong những phương pháp ta thường dùng là biến đổi về phương trình tích và đưa
về phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác.
Ví dụ 1: Giải phương trình : (Trích đề thi ĐH Khối A –
2008 )
Với bài toán này có lẽ khó khăn mà chúng ta gặp phải là đó là sự xuất hiện hai cung và
cung . Các bạn lưu ý là ta luốn tính được giá trị đúng các giá trị lượng giác của các cung
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
4
GV
Nguyễn Bá C

Trên bớc đờng thành công không có dấu chân của kẻ lời biếng
cú dng trong ú nờn iu u tiờn ta ngh ti l s dng cụng thc cng
phỏ b hai cung ú
Ta cú:
Nờn phng trỡnh ó cho


nhng cỏch gii ú theo tụi nú t nhiờn v cỏc bn d tỡm ra li gii nht. Cỏch gii ngn gn
v p nht i vi phng trỡnh trờn l ta bin i v phng trỡnh tớch nh sau
PT \Leftrightarrow (cos3x-cosx)-(1-cos2x)=0 \Leftrightarrow-2sin2x.sinx-2sin^2x=0 [/tex]
Mọi thắc mắc xin liên hệ: 0946.242.840
5
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
giải phương trình này ta được nghiệm như trên.

Ví dụ 3: Giải phương trình : (Dự bị Khối B – 2003 ).
Lời giải:
Ta chuyển cung về cung
Ta có:
Nên phương trình đã cho
Đặt . Ta có:
. Từ đây ta tìm được các nghiệm

Chú ý : Vì trong phương trình chỉ chứa lũy thừa bậc chẵn của cos, do đó ta có thể chuyển về
cung 2x nhờ công thức hạ bậc và công thức nhân đôi .
PT
.Ví dụ 4: Giải phương trình : (ĐH Khối D – 2008
).
Lời giải: Trong phương trình chỉ chứa hai cung 2x và x, nên ta chuyển cung 2x về cung x.
PT
.

tích được! Nguyên nhâ mà ta không nghĩ tới đưa về một cung thì quá rõ, còn vì sao mà ta lại
không sử dụng biến đổi tổng thành tích được là các hàm số xuất hiện ở hai vế của phương trình
đều chứa lũy thừa bậc hai mà công thức biến đổi chỉ áp dụng cho các hàm số có lũy thừa bậc
nhất thôi. Điều này dẫ tới ta tìm cách đưa bậc hai về bậc nhất và để thực hiện điều này ta liên
tưởng đến công thức hạ bậc.
Phương trình
.
Khi giải phương trình lượng giác ta phải sử dụng các công thức biến đổi lượng giác. Tuy nhiên
những công thức này chỉ sử dụng khi hàm số lượng giác có số mũ bằng 1, do đó nếu trong
phương trình có số mũ của các hàm số lượng giác là chẵn thì ta có thể hạ bậc để thuận tiện cho
việc biến đổi .
Vậy nguyên tắc thứ ba mà tôi muốn trao đổi với các bạn là nguyên tắc hạ bậc

Ví dụ 8 : Giải phương trình ( ĐH Khối A – 2005 ).
Phương trình
.

Nhận xét: * Ở (1) ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay
và chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm số lượng giác .
* Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình đã cho về
phương trình chỉ chứa cosx và đặt .
Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và
công thức biến đổi tích thành tổng ( Vì công thức nhân ba chúng ta không được học).

Ví dụ 9 : Giải phương trình (ĐH Khối B – 2004 ).
Trước hết ta đặt điều kiện cho phương trình
Đk: .

Phương trình
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840

ban đầu về phương trình chỉ chứa hàm tan như trên.
Ví dụ 2: Giải phương trình : ( ĐH Khối B – 2003 ).
Giải: Điều kiện:
Phương trình

(do
)
.
Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức: và .
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
8
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
Ví dụ 3: Giải phương trình : (HVBCVT TPHCM – 2001 ).
Giải:
Ta có
Nên phương trình
.
Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức
.
.
Ví dụ 4: Giải phương trình: (ĐH Khối D
– 2005 ).
Giải: Ta có: .
Nên phương trình
.
.


Giải: Đk: .
Phương trình
.
Ví dụ 3: Giải phương trình: .
Giải: Đk:
Phương trình
.
Ví dụ 4: Giải phương trình: .
Giải:
Phương trình
( Lưu ý : ).
Nhận xét: Khi sử dụng công thức nhân đôi, ta cần lưu ý là có ba công thức để thay nên
tuy từng phương trình mà chúng ta chọn công thức phù hợp.
PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ PHỤ
Áp dụng cho BDT Côsi
Ví dụ 1 : Cho x,y >= 0 thỏa mãn
Tìm GTLN của biểu thức :
Giải :
Đặt Áp dụng BDT Côsi cho 6 số :
Cộng vế theo vế :
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
10
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
Vậy ta cần xác định a,b thỏa hệ :
Từ (2) : thay vào (1) :

Thay vào (4) :

Thỏa mãn (3)
Thay lại vào (2) :
Thay vào (*) : Vậy GTLN của hàm số là 3 . Đạt được khi .
Ví dụ 5 : (DH - B 2008)
Cho x,y là các số thực thỏa mãn :
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức :
Lời giải :
GS k là cực trị của P ta có :

Ta cần xác định k sao cho :

Vậy :
;
Để thuần thục hơn phương pháp này các bạn làm thêm các bài tập sau :
BÀI TẬP :
1. Cho các số dương x,y thỏa mãn :
Tìm GTNN của biểu thức :
2. Cho a,b là các số dương thỏa mãn :
Tìm GTNN của biểu thức :
3. Tìm GLNN của hàm số :
4. Tìm GTNN của hàm số :
với
5. Tìm GTLN của hàm số :
6. Tìm GTNN của hàm số :
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
12
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng

Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
13
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
ta có :
(vô nghiệm vì : )
* Với , ta có :
Do không là nghiệm của phương trình nên :

Bình phương hai vế và rút gọn ta được : (thỏa mãn)
TQ :
Ví dụ 3 :

Lời giải :
Đặt .
Phương trình đã cho viết thành :
Từ đó ta tìm được hoặc
Giải ra được : .
* Nhận xét :
Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở
ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ thì không dễ để giải quyết trọn vẹn
nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự
do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn .
ví dụ 4 :
Lời giải :
ĐK : ; Đặt .
phương trình đã cho trở thành :
Giải ra : hoặc (loại)

Sau õy l bi vit :
B. Ni dung phng phỏp
I. Phng phỏp lng giỏc hoỏ
1. Nu thỡ ta cú th t hoc
Vớ d 1 :
Li gii :
K : ; t Phng trỡnh ó cho tr thnh :
cos( )( ) = 0
Kt hp vi iu kin ca t suy ra :
Vy phng trỡnh cú 1 nghim :
Vớ d 2 :
Li gii :
K : Khi ú VP > 0 .
Nu
Nu .
t , vi ta cú :
Mọi thắc mắc xin liên hệ: 0946.242.840
15
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
( ) ( ) = 0
Vậy nghiệm của phương trình là
Ví dụ 3 :

Lời giải :
ĐK : ; Đặt
phương trình đã cho trở thành :


TQ :
Ví dụ 6 :

Lời giải :
ĐK : ; Đặt
phương trình đã cho trở thành :
(thỏa mãn)
TQ :
với a,b là các hằng số cho trước :
3. Đặt để đưa về phương trình lượng giác đơn giản hơn :
Ví dụ 7 :
(1)
Lời giải :
Do không là nghiệm của phương trình nên :
(1) (2)
Đặt .
Khi đó (2) trở thành :

Suy ra (1) có 3 nghiệm :
Ví dụ 8 :

Lời giải :
ĐK :
Đặt
phương trình đã cho trở thành :Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
17
GV

2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số
.
Chú ý : Nếu hàm số liên tục trên D và , thì
phương trình : có nghiệm

Ví dụ 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
18
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
Giải:
1)Xét hàm số có tập xác định là D=R.
Ta có:
thay vào (1) ta thấy không thỏa
mãn. Vậy phương trình vô nghiệm không đổi dấu trên R, mà
đồng biến.
Mặt khác: và .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm .

2) ĐK:
Xét hàm số với
Ta có: .
vô nghiệm
không đổi dấu trên D, mà
Mặt khác:
phương trình có nghiệm .



Giải:
Ta thấy (1) là bất phương trình một ẩn nên ta sẽ đi giải bất phương trình này
Ta có: .
Hệ có nghiệm có nghiệm .
với
có .
Vậy hệ có nghiệm .

Ví dụ 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm:
Giải:
Ta có: .
* Nếu vô nghiệm.
* Nếu đúng
có nghiệm
Suy ra hệ có nghiệm có nghiệm
Ta có: . Xét hàm số f(x) với , có:
.
Dựa vào bảng biến thiên hệ có nghiệm .

Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
.
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
20
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
Giải:
Ta thấy (2) là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết (2) trước

Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
21
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
Xét hàm số : với
Ta có: với nghịch biến.
Mà: và
Vậy phương trình có đúng một nghiệm
.

Ví dụ 9: Tìm m để hệ phương trình : có ba cặp nghiệm phân biệt .
Giải:
Ta có : (do x=0 không là nghiệm phương
trình ).
Thay vào phương trình thứ nhất ta được: (a) .
Hệ có ba cặp nghiệm (a) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn .
Xét hàm số với .
.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (a) có ba nghiệm phân biệt
.
Vậy là những giá trị cần tìm.

Chú ý : Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài toán ẩn phụ trên
miền xác định vừa tìm. Cụ thể:
* Khi đặt , ta tìm được và phương trình (1) trở thành
(2). Khi đó (1) có nghiệm (2) có nghiệm .
* Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác
định của t chính là miền giá trị của hàm ).

Suy ra l hm ng bin trờn
Vy phng trỡnh cú nghim .

3) iu kin : .
Ta thy khụng l nghim ca phng trỡnh nờn ta chia hai v phng trỡnh cho ,
ta c: ( * ).
t

Khi ú ( * ) tr thnh: (3).
Phng trỡnh ó cho cú nghim cú nghim .
Xột hm s f(t) vi , cú: .
.
Vy phng trỡnh cú nghim .

Chỳ ý : Trong cỏc bi toỏn trờn sau khi t n ph ta thng gp khú khn khi xỏc nh min
xỏc nh ca t . trờn chỳng ta ó lm quen vi ba cỏch tỡm min xỏc nh ca t. Tuy nhiờn
ngoi nhng cỏch trờn ta cũn cú nhng cỏch khỏc tỡm min xỏc nh ca t. Chng hn:
cõu 2) ta cú th ỏp dng BT Cụsi tỡm xỏc nh ca t :
.
cõu 3 tỡm min xỏc nh ta cú th lm nh sau:
Mọi thắc mắc xin liên hệ: 0946.242.840
23
GV
NguyÔn B¸ C

Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
vì .

Ví dụ 11: Tìm m để các phương trình
có nghiệm .


Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng
SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
1)
2) .
3) 4) .
Giải:
1) Đặt và f(0)=1
.
2) Đặt và f(1)=0.
.
3) Đặt .
4) Đặt
.
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau
1)
2) .
3)
Giải:
1) Đặt
và .
Khi đó: .
Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840
25