BÀI TOÁN 1 LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ - SỐ MŨ THỰC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT GV : Nguyễn Văn Bình
I. Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho
*n N
∈
và
a R
∈
. Khi đó
•
. ....
n
a a a a=
(n thừa số a)
0
1 ( 0)a a• = ≠

1
( 0)
n
n
a a
a
−
• = ≠

Chú ý :
0
0
và

còn giá trị âm là
n
b−
.
2. Tính chất của căn bậc n
•
.
n n n
a b ab=n
n
n
a a
b
b
• =

( )
nm m
n
a a• =
•
m
n mn
a a=

,


α
là một số vô tỷ. Ta thừa nhận rằng luôn có một dãy số hữu tỷ
( )
n
r
có giới hạn là
α
và dãy số tương ứng
( )
n
r
a
có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số
( )
n
r
. Khi đó

lim
n
r
n
a a
α
→+∞
=
với
lim
n
n

( ) .ab a b
α α α
=

( )
a a
b b
α
α
α
• =
• Nếu
1a >
thì
a a
α β
α β
< ⇔ <
.
• Nếu
0 1a< <
thì
a a
α β
α β
< ⇔ >
.
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1 : Áp dụng định nghĩa và tính chất lũy thừa với số mũ thực
Bài 1 : Tính giá trị của các biểu thức sau (không sử dụng máy tính)

3 3 3 3
.
a a a a
a
a a a a
−
−
− −
−
− +

4
4 4 4 4
.
a b a ab
b
a b a b
− +
−
− +

5 3 2 5
5 2
1
5 2
. ( ) .
a a
c
b
b

và
400
5
c.
3
7 15+
và
3
10 28+

d.
5
3
( 5 2)−
và
3
( 5 2)
−
+
e.
2
( )
2
π
và
3
( )
5
π
−

=
được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là
log
a
b
.
Vậy
log
a
b a b
α
α
= ⇔ =

• Chú ý :
 Không có lôgarit của số âm và số 0
 Cơ số của lôgarit phải dương và khác 1
2. Tính chất
Cho a, b, c > 0 và
, 1a c ≠
. Khi đó :

log 1 0
a
=
;
log 1
a
a =


α
=
 Công thức đổi cơ số :

log
log
log
c
a
c
b
b
a
=
hay
log .log log
c a c
a b b=

1
log
log
a
b
b
a
=
hay
log .log 1
b a

a
b b=
;
log log
n
n
a
a
b b=
Mở rộng :
log logc a
b b
a c=
3. So sánh hai lôgarit cùng cơ số
Cho a, b, c > 0 và
1a ≠
. Khi đó :
log log
a a
b c b c• = ⇔ =
• Nếu
1a >
thì
log log
a a
b c b c< ⇔ <
• Nếu
0 1a< <
thì
log log

e
n
→+∞
= + ≈
Lôgarit cơ số e của x được kí hiệu là
ln x
.
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1 : Áp dụng định nghĩa và các quy tắc tính lôgarit
Bài 1 : Tính giá trị của các biểu thức sau :
a.
3 4 5
2
1
log 9 6log 2 3log ( ) log 16
25
A = + − +
Đáp : 19
b.
3
7 7 7
1
log 36 log 14 3log 21
2
B = − −
Đáp : - 2
c.
5 5
5
log 36 log 12

Đáp : 0
h.
2 2
log (2sin ) log (cos )
8 8
H
π π
= +
Đáp : -
1
2
Bài 2 : Tìm
log
a
x
biết
log 5; log 4
a a
b c= = −
và
a.
5 3
3
x a b c=

5
4
6
.
a b

và
4
log 63

0,5
. log 3b
và
7
log 2
6 6
. 3log 2 log 3c +
và
6
log 5

4
log 1,05
. 5d
và
6
log 0,995
7
Dạng 2 : Áp dụng công thức đổi cơ số
Bài 5 :
1. Chứng minh
2
1 1 1 ( 1)
...
log log log 2log
n

. Chứng minh
1
log ( 3 ) 2log 2 (log log )
2
a a a a
x y x y+ − = +
4. Cho
1 1
1 lg 1 lg
10 ; 10
x y
y z
− −
= =
với x, y, z > 0. Chứng minh
1
1 lg
10
z
x
−
=
.
Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A có
1a b
± ≠
. Chứng minh
log log 2log .log
a b a b a b a b
c c c c

1
lim 1
x
x
e
x
→
−
=0
ln(1 )
lim 1
x
x
x
→
+
=

3. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit.
 Đạo hàm của hs mũ :
•
' .ln
x x
y a y a a= ⇒ =
Đặc biệt :
'
x x

u a
= ⇒ =
Đặc biệt :
'
ln '
u
y u y
u
= ⇒ =
Ví dụ :
4. khảo sát sự biến thiên và vẽ đths mũ và lôgarit.
 Hàm số mũ
x
y a=
(
0, 1a a> ≠
) Hàm số lôgarit
log (a>0, a 1)
a
y x= ≠

• TXĐ : D = ..... TXĐ : D = .....
•
' ...................y =

' ...................y =
Nếu
1a >
: ta có lna ..............
⇒

log
a
y x=
(
0, 1a a> ≠
) luôn đi qua
điểm A(O;1) và B(1;a) và nhận trục Ox làm TCN. Điểm A(1;0) và B(a;1) và nhận trục Oy làm TCĐ.
BÀI TẬP :
Bài 1 : Tính các giới hạn sau
.
( 1)
x
y a
a
=
>
x
−∞
+∞
(0 1)
x
y a
a
=
< <
x
−∞
+∞
x
1

+∞
−∞
−∞
+∞
.
1.
3
0
1
lim
x
x
e
x
→
−

2 3
0
2. lim
5
x x
x
e e
x
→
−

2
0

6. lim
sin 2
x
x
x
→
+

1
7. lim ( . )
x
x
x e x
→+∞
−

sin 2 sin
0
8. lim
sin
x x
x
e e
x
→
−

1
1
9. lim

x
=

2 2
3. ln 1y x x= +

2
4. ( 2 3).
x
y x x e= − +

5.
x x
x x
e e
y
e e
−
−
−
=
+

3
6. 3 2
x x
y e= − +
Bài 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
( 1)lny x x= +

( ). ' 1
y
e x y− =
5. Cho a,b là 2 số thực thỏa
0 1a b< < <
. Chứng minh
2 2
ln ln ln lna b b a a b− > −
. (Cao Đẳng A- 2009)
Gợi ý: Bpt
2 2
ln ln
1 1
a b
a b
⇔ <
+ +
. Chứng minh hàm số
2
ln
( )
1
x
f x
x
=
+
đồng biến trên khoảng
(0;1)
.

Dựa vào đồ thị ta thấy :
 Nếu
0b
≤
thì phương trình (1) vô nghiệm
 Nếu
0b
>
thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất
log
a
x b=
II. Các phương pháp giải phương trình mũ
1. Phương pháp đưa về cùng cơ số.
2. Phương pháp đặt ẩn phụ.
3. Phương pháp lôgarit hóa.
4. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
5. Phương pháp đối lập.
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng :
( ) ( )f x g x
a a=
(1)
• Nếu cơ số a là một số dương khác 1 thì (1)
( ) ( )f x g x⇔ =

1
O
x