Bất đẳng thức , bất phơng trình ,cực trị đại số
- Bất đẳng thức
1. Kiến thức cần nhớ
a) Định nghĩa : Cho hai số a và b ta có a > b

a b > 0
b) Một số bất đẳng thức cơ bản :
01) Các bất đẳng thức về luỹ thừa và căn thức :

2
0
n
A n Ơ
với A là một biểu thức bất kỳ , dấu bằng xảy ra khi A = 0

2
0
n
A
;
0;A n Ơ
; dấu bằng xảy ra khi A = 0

A B A B+ +
Với
0; 0A B
dấu bằng xảy ra khi có ít nhất 1 trong hai số bằng không

A B A B
với
A B o

...
n
a a a= = =
- Bất đẳng thức Côsi cho hai số có thể phát biểu dới các dạng sau :

2
a b
ab
+

Với a và b là các số không âm

( )
2
4a b ab+ Với a và b là các số bất kỳ

( )
2
2 2
2
a b
a b
+
+
Với a và b là các số bất kỳ
Dấu bằng xảy ra khi a = b
04) Bất đẳng thức Bunhiacopsky (Còn gọi là bất đẳng thức Côsi Svac ) :
- Cho hai bộ các số thực:
1 2
, ,...,

i
, b
i
khác 0 và nếu
0
i
a =
thì
i
b
tơng ứng cũng
bằng 0
- Hoặc có một bộ trong hai bộ trên gồm toàn số không
- Bất đẳng thức Côsi Svac cho hai cặp số :

( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
ax by a b x y+ + +
Dấu bằng xảy ra khi ay = bx
05) Bất đẳng thức
1
2x
x
+
Với x > 0 ;
1
2x
x

Với mọi
n

Ơ

2 2
0
n n
a b a b <
Với mọi
n

Ơ
0 < a < 1
n m
a a <
Với n > m
a > 1
n m
a a >
Với n > m
2. Một số điểm cần l u ý :
- Khi thực hiện các phép biến đổi trong chứng minh bất đẳng thức , không đợc trừ hai
bất đẳng thức cùng chiều hoặc nhân chúng khi cha biết rõ dấu của hai vế . Chỉ đợc phép
nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một biểu thức khi ta biết rõ dấu của biểu thức đó
- Cho một số hữu hạn các số thực thì trong đó bao giờ ta cũng chọn ra đợc số lớn nhất
và số nhỏ nhất . Tính chất này đợc dùng để sắp thứ tự các ẩn trong việcchứng minh một
bất đẳng thức
3. Một số ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức :
3.1. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

x x
x x
+ +

+
( )
2 2 2 2
3 4 11 2 1 3 4 11 2 2 2x x x x x x x x + + + + + +

( )
2
2
6 9 0 3 0x x x + + + Đúng với mọi x
Dấu bằng xảy ra khi x = -3
Ví dụ 2 : Cho a, b
Ă
và a+b

0 . Chứng minh rằng
5 5
2 2
a b
a b
a b
+

+

Giải :
Ta có :

a b a b a ab b b a b a b a b b
= + + =
= + + + = + +

ữ ữ


Vì a+b

0 nên M=
( )
2
2
2
1 3
2 4
a b a b b +

ữ
(1 +
xy
)
2
Giải
Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có :

( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
(1 )(1 ) 1 1 1x y x y xy

+ + = + + +
ữ ữ

Cách 2 : Theo bất đẳng thức Cosi ta có:
( )
2
2
1 1
(1 )(1 )
1 1 1
2
1 1 (1 )(1 )
2 1 1
2 1 (1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1
(1 )(1 ) (1 )(1 )
xy
x y
x y

3 4 5
5
4
3 4
5
a b
a
a b
b

+ =
=





=

=



Cách 2 : Từ 3a +4b = 5 ta có a=
5 4
3
b
Vậy
2
2 2 2 2 2

Dấu bằng xảy ra khi sinx = cosx hay x = 45
0
b ) Vì tgx , cotgx >0 . áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số ta có ;
tgx + cotgx 2 .cot 2tgx gx = ( Vì tgx . cotgx = 1 )
Dấu bằng xảy ra khi tgx = cotgx hay x= 45
0
Ví dụ 7 : Cho 4a . Chứng minh rằng :
1 17
4
a
a
+
Giải :
Ta có :
1 1 15
16 16
a a
a
a a
+ = + +
áp dụng bất đẳng thức Cosicho hai số dơng
16
a
và
1
a
ta có :
1 1 1 1
2 . 2
16 16 16 2

x y xy x y
x x y y x xy y
x y x y
+ >
+ + + + +
+ +
Điều này đúng vì
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 0; 3 0; 0x y x y
và không đồng thời xảy ra (2x-1)
2
= (y-3)
2
= (x-y)
2
= 0
3.4. Ph ơng pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của ph ơng trình :
Ví dụ9 : Chứng minh rằng nếu phơng trình:
2x
2
+ (x + a)
2
+ (x + b)
2
= c
2
Có nghiệm thì 4c
2


1
1
>++
+
+
+
nnn
Giải
Ta có:
nnnn 2
11
1
1
=
+
>
+

1 1
2 2n n
>
+
+ .

1 1
2 1 2n n
>


2

< 1
Bài 2 : Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a)
2
2
7 15 12
3
1
x x
x x
+

+
Với mọi x
b ) Nếu a + b < 0 thì
( )
3 3
a b ab a b+ +
c ) Nếu x
3
+y
3
= -2 thì
2 0x y + <
d ) Nếu x
3
+y
3
= 16 thì 0 < x +y 4
Bài 3 : Chứng minh các bất đẳng thức sau :

4
2
1
x
x x
x
+ >


Bài 5: a ) Cho a > b > 0 . Chứng minh rằng
2
a b a b
a
+ +
>
b ) áp dụng so sánh
2007 2006
và
2006 2005
Hớng dẫn giải :
Bài 1 : Theo định lý Pitago ta có 1

= b
2
+ c
2
và 1> b; 1 > c
Vậy 1= b
2
+ c

+

( )
2
2
4 12 9 0 2 3 0x x x + ( Đúng )
Dấu bằng xảy ra khi x =
3
2
b ) Ta có :
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3 3 2 2
2
2 2
2 0 0
a b ab a b a b a ab b ab a b
a b a ab b a b a b
+ + + + +
+ + +
Đúng vì a +b < 0 và a+b
2
0
c) Ta có
( )
( )

x y xy x y x y x y
+ + + +
+ +
+ + + + +
Dấu bằng xảy ra khi x = y = -1
d) Tơng tự câu c
Bài 3 : a) áp dụng bất dẳng thức Bunhiacopxky ta có :
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 3 2 3 13
2 3 2 3
a b a b a b a b
a b a b a b a b
+ + + = + = +
+ + + +
Dấu bằng xảy ra khi a = 2 ; b = 3
b) Ta có :
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2
5 4 2 1 0
4 4 1 4 4 1 2 0

2
= t thì t > 0 và x(2-x) = -x
2
+2x = 1-(x-1)
2
= 1-t
Vì 0 < x < 2 nên 1-t > 0
áp dụng bất đẳng thức ở câu (a) cho hai số dơng t và 1-t ta đợc
( )
( )
2
1 1 1 1 4
4
2 1 1
1
x x t t t t
x
+ = + =
+

Mà 4 - x
2
< 4 do 0 < x < 2.
Vậy:
( )
( )
2
2
1 1
4

Max

- Nếu B b trong đó b là một giá trị của B
Thì b đợc gọi là giá trị nhỏ nhất của B (GTNN của B ),đợc ký hiệu là Min B hay
B
Min

- Các cách biến đổi thờng dùng để tìm GTLN và GTNN.
Cách 1: a) Tìm GTLN: f(x)

g(x) a
b) Tìm GTNN: f(x)

g(x) a
Cách 2: a) Tìm GTLN: f(x) = h(x) + g(x) (h(x)

0; g(x)

a)
b) Tìm GTNN: f(x) = h(x) + g(x) (h(x) 0; g(x) a)
Với biểu thức nhều biến có cách làm tơng tự
2. Một số diểm cần l u ý :
- Khi tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức . Nếu biến lấy giá trị trên toàn tập
Ă
thì vấn đề đã không đơn giản . Khi biến trong biểu thức chỉ lấy giá trị trong
, ,Ô Â Ơ
hoặc một khoảng giá trị nào đó thì vấn đề càng phức tạp và dễ mắc sai lầm .
- Một sai lầm thờng mắc phải đó là khi biến đổi các biểu thức theo cách 1 hoặc cách 2 .
Ta kết luận giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức là a nhng dấu bằng không xảy ra
đồng thời

1
2
Ta thấy lời giải này sai lầm ở chỗ dấu bằng không xảy ra đồng thời . Khi x =
1
2
thì (x-
1)
2
0
Lời giải 2 : Ta có
( )
2
2
2 2 2
1 17 1 17 17
2 3 3
4 4 2 4 4
P x xy y x x x y x

= + + + + + + = + + + +
ữ ữ

Vậy Min P =
17
4
Khi
1
0
2
1

2 . 2P a a
a a
= + =
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2
Lời giải này sai lầm ở chỗ
2 1P a
= =
không thoả mãn điều kiện a 2
Lời giải 2 : Ta có
1 1 3 1 3 3 7
2 . 2
4 4 4 4 4 2
a a
P a a a a
a a a
= + = + + + +
Vậy Min P =
7
2
khi a = 2
3. Bài tập ví dụ :
-Về bản chất bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức và bài toán
chứng minh bất đẳng thức có thể coi là tơng đơng nhau . Bài toán tìm giá trị lớn nhất
hoặc nhỏ nhất của biểu thức nếu ta phán đoán đợc kết quả thì bài toán trở thành chứng
minh bất đẳng thức
Ví dụ 3: Cho x, y, z

R thoả mãn x
2
+ y


Dấu = xảy ra khi:





=++
==
= >





=++
==
1
941
1
321
222
222
222
zyx
zyx
zyx
zyx






14
143
;
14
142
;
14
14
(1)
Hoặc (x, y, z) =
14 2 14 3 14
; ;
14 14 14
ữ
ữ

(2)
Vậy P
max
=
14
khi (x, y, z) =



a

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :
a) P = xy; b) Q = x + y
Giải:
a) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
2 1 4
ab a b
xy ab
xy x y
+ =
Vậy P
min
= 4ab khi
2
1
2
2
x a
a b
y b
x y
=

= =

=

b) Ta có:
( ) ( )

;
Ví dụ 5: Tìm GTLN của P =
2
)( ax
x
+
Giải
Điều kiện :
x a
Ta có: Với x = 0 => P = 0
Với x

0 ta có: P =
2
)( ax
x
+


x = P(x + a)
2
px
2
+ 2 apx + pa
2
= x




P P
2
4. Bài tập tự luyện :
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = x
2
- 6x +1
b) B = 10x
2
+5y
2
- 4x - 6y -12xy +2020
c) C =
2 1
2 1
x x
x x
+
+
+

d ) D = 3x
2
+5y
2
với
3 5 2x y= +
Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

2

; x > 0 (*). áp dụng bất dẳng thức Cosi cho hai số dơng ta có:

2 1 2 1
2 2
2 1 2 1
x x x x
C
x x x x
+ +
= + =
+ +
Vậy MinC = 2 khi
( )
2
2 2
1
2 1
2 1 3 4 1 0
1
2 1
3
x
x x
x x x x
x x
x
=


-(2y+1)
2
-(x-2y)
2
Nên MaxN = 2005 khi x = 1; y = -
1
2

c ) P = ( x+1 ) (2 - x )
2
1 2 9
2 4
x x+ +

=
ữ

( Bất đẳng thức Cosi )
Vậy MaxP =
9
4
khi x =
1
2
Bài 3: Ta có: P =
( )
2 2
2
3 1
1 3 1 3 1 0

10 1
3
+
MinP = -
10 1
2
+
khi x =
1 10
3

V.3. Bất ph ơng trình
1. Kiến thức cần nhớ :
- Bất phơng trình bậc nhất : ax +b = 0 ( 0a )
+ Nếu a > 0 bất phơng trình có nghiệm
b
x
a
>
+ Nếu a <0 bất phơng trình có nghiệm
b
x
a
<
Tơng tự cho bất phơng trình ax + b < 0
* Ta có thể nhớ cách lấy nghiệm của bất phơng trình bậc nhất theo qui tắc " Lớn cùng bé
khác " .
Nghĩa là nhị thức bậc nhất f(x) = ax +b (
0a




<



<



; A(x)B(x) < 0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
A x
B x
A x
B x
<



>




>







;
( ) ( )
2 2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
B x
A x B x
A x B x








- Bất phơng trình vô tỷ :
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
A x
A x B x B x
A x B x










;
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ( ))
A x
A x B x B x
A x B x








2. Bài tập ví dụ :
Ví dụ 1: Giải các bất phơng trình sau :
a) -3(x+2) +2(x-1) 4x -3
b)
( ) ( )
2

x
m

+
Ví dụ 2 : Giải các bất phơng trình :
a)
2
5 6 0x x +
b)
2
4 3 0x x +
Giải
a)Tacó :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
5 6 0 2 3 6 0 2 3 2 0 2 3 0x x x x x x x x x x + +
2 0 2
3 0 3
3
2
2 0 2
3 0 3
x x
x x
x
x
x x
x x



3 0 3
x x
x x
x x x
x x
x x





Chú ý : - Ta có thể kết hợp nghiệm trên trục số
- Ta có thể so sánh A(x) và B(x) trong bất phơng trình tích để giải nhanh hơn :
Ví dụ :
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 0 1 3 0x x x x
do x-1 > x-3
nên chỉ xảy ra

1 0
3 2 1
1 0
1
3 2 1
3 2 2 1
x x
x x
x
x
x x x
x
x
x x x
x x x x



+









x
x









>







Chú ý : Tránh biến đổi sai lầm nh sau :

( ) ( ) ( )
2
2
3 2 1 1 2 1 2 1x x x x x x x x +

2 1 1 0x x

Kết luận phơng trình vô nghiệm
b) Cách 1 :

2
1
1
1
3
1
3
0
3
3
5 16 0
5 16 0
16
5
x
x
x
x
x
x x
x x
x






3
x
là nghiệm của bất phơng trình đã cho
Xét 2x +1 < 0
1
2
x <
(3)
Bất phơng trình đã cho trở thành :
2 1 3 1 5 0 0x x x x

Không thoả mãn
(3)
Vậy bất phơng trình đã cho có nghiệm
1
3
x
3. Bài tập tự luyện :
Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau
Bµi 1 : a)
( ) ( ) ( )
2 3 1 3 2 5 1 2 4x x x− − − ≤ − +
b)
( ) ( ) ( )
2
2 1 4 3m x m x− + ≥ −
c)
2
6 7 2 0x x− + ≥
d )

x ≤
; b ) x
2
2
16 4
4
m m
m
− −
≥
+
; c)
1
1
5
x≤ ≤
; d)
1
1
3
x
x
≥



≤

Bµi 2: a)
( ) ( )


− ≤





− >

− ≥ − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤






>
>
 




 
− ≥ −






3 6 2 2 3 6 2 2 0 4 5 8 0
8
5
x
x x
x
x
x x x x x x
x
≥


≥ ≥
 
≥
  

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≥
  

− − + − + − ≥ − − ≥
 
 


≤


