Dạng 3.3: Luỹ thừa
A - Tìm số d :
Bài 3.3A.1:
a)Tìm số d khi chia 2006
10
cho 2000 .
b) Tìm số d trong phép chia A = 3
8
+ 3
6
+ 3
2004
cho 91.
Bài 3.3A.2: Tìm số d khi chia 2945
5
- 3 cho 9
Bài 3.3 A.3: Tìm số d khi chia (1997
1998
+1998
1999
+ 1999
2000
)
10
cho 111
Bài 3.3 A.4: Tìm số d khi chia 1532
5
- 1 cho 9
Bài 3.3 A.5: 1) Tìm số d khi chia 10! cho 11
2) Tìm số d khi chia 1776
2003


8(mod 41) , 2
4

16(mod 41) , 2
5

32(mod 41) , 2
6

23(mod 41) , 2
7

5(mod 41)

2
100
= 2
14.7+2
= (2
7
)
14
.2
2


(5)
14
.2


31(mod 41)
Nên: 2
100


(5)
14
.2
2
(mod 41)

31.2
2
(mod 41)

1(mod 41)
ABC

V
2
100
= 41q +1 (q

N)
Vậy:
100
2
51200
=51200



-1(mod5)

(2
2
)
48


1 (mod5)


(2
2
)
48
.2

1.2 (mod5)


2
97

2 (mod5)


2
97


32
16
(mod 41)
Mà: 32
16
= 2
80
= (2
40
)
2


1(mod 41)
Vậy:
100
2
51200


1(mod 41)
Bài 3.3 A.9: a) Viết quy trình tìm số d khi chia (5
15
+ 1) cho (2
12
+1)
b) Hãy tìm số d r .
Bài 3.3 A.10: Tính phần d của các số 7
0

7
3
7
4
7
5
7
6
7
7
7
8
7
9
7
10
7
11
Số d
Bài 3.3 A.11:
a) Tìm số d khi chia 1997
2008
cho 2003
b/ Tìm số d khi chia 1997
2001
cho 2003
c/ Tìm số d khi chia 2
100
cho 100
d/ Tìm số d khi chia 9

15
b/ Chứng minh rằng: 69
69
+19
19

44
Bài 3.3 B.3: a)Chứng minh rằng: 1890
1930
+ 1945
1975

7
b) 19
2007
+13
2004

5
Bài 3.3 B.4: Chứng minh rằng: 220
69
119
+ 119
220
69
+69
119
220

102

b) A = n
8
- n
6
- n
4
+ n
2
chia hết cho 5760 với n là số tự nhiên lẻ.
c) B = 9n
3
+ 9n
2
+ 3n - 16 không chia hết cho 343 với mọi số nguyên n.
B i 3.3 B.8: Chng minh rng: 2222
5555
+ 5555
2222


7
Giải: Ta có:2222

3(mod7) , 5555

4(mod7)
Mặt khác:2222
6



0(mod7)

đpcm
B i 3.3 B.9: Chng minh rng:

n

N
*
ta có:
a)
2 2
4 2 1 7
n n
+ +
b)
2
2 15 1 9
n
n+
Giải:a) Với n = 1 thì:
1 1
2 2 2 2
4 2 1 4 2 1 21 7
n n
+ + = + + =
Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k

N , k


Vậy:
1 1
2 2
4 2 1 7
k k+ +
+ +
với
*
k

đpcm
Bài 3.3 B.10: CMR:
a)
2 1
2
2
n+
+3

7 b)
10 1
2
2 19 23
n+
+
c)
6 2
2
2 21 37
n+


2
6n +2

4 (mod36)

2
6n +2
=36q +4 (q

N)
Nên:
6 2
2
2
n+
= 2
36q+ 4
=(2
36
)
q
.2
4


16 (mod 37)
Vậy:
6 4
2

+3
n
- 2
n


10
C - Số tận cùng:
Ta có:
4 3 2 1
.10 .10 .10 .10abcde a b c d e= + + + +
Cho nên:
- Tìm 1 chữ số tận cùng:Ta xét đồng d mod 10
1
- Tìm 2 chữ số tận cùng :Ta xét đồng d mod 10
2
- Tìm 3 chữ số tận cùng :Ta xét đồng d mod 10
3
- Tìm n chữ số tận cùng :Ta xét đồng d mod 10
n
Bài 3.3C. 1:
a/Tìm 1 chữ số tận cùng của số:9
9
9
b/Tìm 2 chữ số tận cùng của số: 14
14
14
c/Tìm 2 ,3,4,5 chữ số tận cùng của số: 5
21
Bài 3.3 C. 2: Tìm chữ số tận cùng của số:2

- 1.7.2 (mod 5.2)


14
14

- 14 (mod 10)

6 (mod 10)
Nên: 14
14
=10q +6 (q

N)
Vậy: 14
14
14
= 14
10q +6
= 14
(5q+3).2
= (14
5q +3
)
2
Vì : q

N nên 14
5q +3
luôn có chữ số hàng đơn vị là 4 hoặc 6

14
14
= 14
10q
+6 = (14
2
)
5q
.14
6


6. 14
6
(mod 10)


6. (14
2
)
3
(mod 10)


6. 6
3
(mod 10)


6

11
Giải: a) Vì 100 = 2
2
.5
2
nên:
(100)
1 1
100(1 )(1 ) 40
2 5
= =
Ta có: 9
40


1(mod 100)
Mặt khác: 9
2


1(mod 40)

⇒
(9
2
)
4

≡
1(mod 40)

9
(mod 100)
≡
89 (mod 100)
KL: Hai ch÷ sè tËn cïng cña 9
9
9
lµ:89
b) Ta cã: 9
9
9
≡
89 (mod 100) nªn 9
9
9
= 100k + 89 (k
∈
N)
⇒

9
9
9
11
= 11
100k + 89
= (11
100
)
k

≡
1(mod 100)
Nªn:
9
9
9
11

≡
11
89
(mod 100)
≡
11
40.2+9
(mod 100)
≡
(11
40
)
2
.11
9
(mod 100)

≡
11
9
(mod 100)


2010
70 2011
8 90
1 1
4 5
22 19A = +
Bµi 3.3 C.12: T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè:20072008
20072008
.
Bµi 3.3 C.13: T×m hai sè tËn cïng cña sè:
9
9 9
9 9
9 9+
Bµi 3.3 C.14: T×m hai sè tËn cïng cña sè:101
2
+ 102
3
+103
4
+104
5
.