giải toán bổ túc THPT trên Máy tính cầm tay
Quy ớc . Khi tính gần đúng, chỉ ghi kết quả đã làm tròn với 4 chữ số thập phân. Nếu
là số đo góc gần đúng tính theo độ, phút, giây thì lấy đến số nguyên giây.
1. Biểu thức số
Bài toán 1.1. Tính giá trị của các biểu thức sau:
A = cos75
0
cos15
0
; B =
2 4 8
cos cos cos
9 9 9

;
C =
0 0 0 0
0 0
1 1
tan9 tan 27 tan 63 tan81
sin18 sin 54
+ +
.
KQ: A =
1
4
; B = -
1
8
; C = 6.
Bài toán 1.2. Tính gần đúng giá trị của các biểu thức sau:

Bài toán 1.4. Cho góc nhọn thoả mãn hệ thức sin + 2cos =
4
3
. Tính gần đúng
giá trị của biểu thức S = 1 + sin + 2cos
2
+ 3sin
3
+ 4cos
4

KQ: S 4,9135.
2. Hàm số
Bài toán 2.1. Tính gần đúng giá trị của hàm số
f(
x
) =
2 2
2
2sin (3 3)sin cos ( 3 1)cos
5tan 2cot sin cos 2 1
2
x x x x
x
x x x
+ + +
+ + +
tại x = - 2;
6


3cos 4
x x
x
+
+
. KQ: max y 0,3466; min y -
2,0609.
3. Hệ ph ơng trình bậc nhất hai ẩn
Bài toán 3.1. Giải hệ phơng trình
2 5 8
3 7 25.
x y
x y
=


+ =

KQ:
181
29
26
29
x
y

=




x
y
=


=


2
2
503
501
x
y
=


=


3
3
503
501
x
y
=


=

x
y
=


=


7
7
253
249
x
y
=


=

8
8
253
249.
x
y
=


=


=

Bài toán 4.2. Tính giá trị của a, b, c nếu đờng tròn x
2
+ y
2
+ ax + by + c = 0 đi qua
ba điểm M(- 3; 4), N(- 5; 7) và P(4; 5). KQ: a =
1
23
; b = -
375
23
; c =
928
23
.
Bài toán 4.3. Tính giá trị của a, b, c, d nếu mặt phẳng ax + by + cz + 1 = 0 đi
qua ba điểm A(3; - 2; 6), B(4; 1; - 5), C(5; 8; 1). KQ: a = -
95
343
; b =
17
343
; c = -
4
343
.
Bài toán 4.4. Tính gần đúng giá trị của
, ,a b c

; c = -
21
4
; d =
1
6
.
Bài toán 5.2. Tính giá trị của a, b, c, d nếu mặt cầu x
2
+y
2
+z
2
+ax+by+cz+d=0 đi
qua bốn điểm A(7; 2; - 1), B(5; - 6; 4), C(5; 1; 0), D(1; 2; 8).
KQ: a = - 21; b = -
5
3
; c = -
47
3
; d =
242
3
.
6. Ph ơng trình bậc hai
Bài toán 6.1. Giải phơng trình 2x
2
+ 9x - 45 = 0. KQ: x
1

3
+ 5x
2
- 17x + 3 = 0.
KQ: x
1
1,7870; x
2
- 4,4746; x
3
0,1876.
Bài toán 7.3. Tính gần đúng góc nhọn (độ, phút, giây) nếu sin2+3cos2= 4tan.
KQ: 30
0
20 20.
8. Hệ ph ơng trình bậc hai hai ẩn
Bài toán 8.1. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đờng thẳng 3x - y - 1 = 0 và
elip
2 2
1
16 9
x y
+ =
.
KQ: x
1
1,2807; y
1
2,8421; x
2


=


KQ:
1
1
0,2011
3,8678
x
y






2
2
3,8678
0,2011.
x
y





Bài toán 8.4. Giải gần đúng hệ phơng trình
2

1,5616
x
y






3
3
3,3028
0,3028
x
y






4
4
0,3028
3,3028.
x
y




Tính gần đúng số trung bình và độ lệch chuẩn.
KQ:
x
69,3333; s 10,2456.
10. Ph ơng trình l ợng giác
Bài toán 10.1. Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình sinx =
2
3
.
KQ: x
1
0,7297 + k2; x
2
- 0,7297 + (2k + 1).
Bài toán 10.2. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phơng trình 2sinx -
4cosx = 3.
KQ: x
1
105
0
33 55 + k360
0
; x
2
201
0
18 16 + k360
0
.
Bài toán 10.3. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phơng trình 2sin

55 58 + k360
0
;
4
x
3
- 13
0
36 42 + k360
0
; x
4
193
0
36 42 + k360
0
.
Bài toán 10.5. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phơng trình sinxcosx -
3(sinx + cosx) = 1.
KQ: x
1
- 64
0
9 28 + k360
0
; x
2
154
0
9 28 + k360

5
200
C
C
0,0008.
Bài toán 12.2. Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng.
Chọn ngẫu nhiên hai viên bi từ hộp bi đó. Tính xác suất để chọn đợc hai viên bi
cùng mầu và xác suất để chọn đợc hai viên bi khác mầu.
Chọn ngẫu nhiên ba viên bi từ hộp bi đó. Tính xác suất để chọn đợc ba viên bi hoàn
toàn khác mầu.
KQ: P(hai bi cùng mầu) =
2 2 2
4 3 2
2
9
5
18
C C C
C
+ +
=
;
P(hai bi khác mầu) = 1 - P(hai bi cùng mầu) =
13
18
;
P(ba bi khác mầu) =
1 1 1
4 3 2
3

5
52
. .C C C
C
0,0087;
P (ít nhất một quân át) = 1 -
5
48
5
52
C
C
0,3412.
13. Dãy số và giới hạn của dãy số
Bài toán 13.1. Dãy số a
n
đợc xác định nh sau:
a
1
= 2, a
n + 1
=
1
2
(1 + a
n
) với mọi n nguyên dơng.
Tính giá trị của 10 số hạng đầu, tổng của 10 số hạng đầu và tìm giới hạn của dãy số
đó.
KQ: a

64
;
a
8
=
129
128
; a
9
=
257
256
; a
10
=
513
512
; S
10
=
6143
512
; lim a
n
= 1.
Bài toán 13.2. Dãy số
n
a
đợc xác định nh sau:
1

121
41
; a
6
=
365
121
;
a
7
=
1093
365
; a
8
=
3281
1093
; a
9
=
9841
3281
; a
10
=
29525
9841
; lim a
n

=
11
4
; a
5
=
21
8
; a
6
=
43
16
; a
7
=
85
32
;
a
8
=
171
64
; a
9
=
341
128
; a

- 3x
2
+ 5x - 6 = 0.
KQ: x
1
1,5193; x
2
- 2,4558.
Bài toán 14.4. Tính các nghiệm gần đúng của phơng trình: - 2x
3
+7x
2
+ 6x - 4 = 0.
KQ: x
1
4,1114; x
2
- 1,0672; x
3
0,4558.
15. Đạo hàm và giới hạn của hàm số
Bài toán 15.1. Tính f
2


ữ

và tính gần đúng f(- 2,3418) nếu
f(x) = sin 2x + 2x cos3x - 3x
2

lim
1
x
x x x
x

+ + +

. KQ:
1
6
.
Bài toán 15.4. Tìm
3
3 2 2
2
2
8 24 3 6
lim
3 2
x
x x x x
x x

+ + + +
+
. KQ:
1
24
.


=
. KQ: x =
1
3
.
Bài toán 17.2. Giải phơng trình
2
2 2
6 4
3
log 2 logx x
+ =
.KQ: x
1
= 4; x
2
=
3
1
2
.
Bài toán 17.3. Giải gần đúng phơng trình
2
2 2
8log 5log 7 0x x =
.
KQ: x
1
2,4601; x

Bài toán 18.2. Tính gần đúng các tích phân:
a)
1
2
3
0
2 3 1
1
x x
dx
x
+
+

; b)
2
2
6
cos2x xdx



; c)
2
0
sin
2 cos
x xdx
x


. KQ: a)
23 63
26
i+
; b)
29 47
25
i
.
Bài toán 19.2. Giải phơng trình x
2
- 6x + 58 = 0. KQ: x
1
= 3 + 7i ; x
2
= 3 -
7i.
Bài toán 19.3. Giải gần đúng phơng trình x
3
- x + 10 = 0.
KQ: x
1
- 2,3089; x
2
1,1545 + 1,7316i; x
3
1,1545 - 1,7316i.
Bài toán 19.4. Giải gần đúng phơng trình 2x
3
+ 3x

38 42.
c) S = 14,5.
Bài toán 20.2. Cho hai đờng thẳng d
1
: 2x - 3y + 6 = 0 và d
2
: 4x + 5y - 10 = 0.
a) Tính gần đúng góc (độ, phút, giây) giữa hai đờng thẳng đó.
b) Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm A(10; 2) và vuông góc với đờng thẳng d
2
.
KQ: a) 72
0
21 0; b) 5x - 4y - 42 = 0.
Bài toán 20.3. Cho hình tứ diện có các đỉnh A(1;- 2;3), B(-2; 4;-5), C(3; - 4;7), D(5; 9;-
2).
8
a) Tính tích vô hớng của hai vectơ
AB
uuur
và
AC
uuur
.
b) Tìm tích vectơ của hai vectơ
AB
uuur
và
AC
uuur

1 2
: 2 7
1 .
x t
d y t
z t
=


= +


= +

a) Tính gần đúng góc (độ, phút, giây) giữa hai đờng thẳng đó.
b) Tính gần đúng khoảng cách giữa hai đờng thẳng đó.
KQ: a) 69
0
32 0; b) 0,5334.
9
21. Toán thi 2007
Bài toán 21.1. Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phơng trình 4cos2x +
3sinx = 2.
KQ: x
1
46
0
10 43 + k360
0
; x

2
+ cx + d đi
qua các điểm A
1
0;
3

ữ

, B
3
1;
5

ữ

, C(2; 1), D(2,4; - 3,8).
KQ: a = -
937
252
; b =
1571
140
; c = -
4559
630
; d =
1
3
.


Bài toán 21.6. Tính giá trị của
a
và
b
nếu đờng thẳng
y ax b= +
đi qua điểm M(5;
- 4) và là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
3y x
x
= +
. KQ:
2
1
1
2
7
1
25
1 27
5
a
a
b
b

=


2
.
Bài toán 21.10. Tính gần đúng giá trị của
a
và
b
nếu đờng thẳng
y ax b= +
là tiếp
tuyến của elip
2 2
1
9 4
x y
+ =
tại giao điểm có các toạ độ dơng của elip đó và parabol
2
2y x=
.
KQ:
a
- 0,3849;
b
2,3094.
giải toán trên máy tính cầm tay
Quy ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 4 chữ số thập phân, riêng số đo góc
10
thì lấy đến số nguyên giây.
Bài 1. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phơng trình 4sin 4x + 5cos 4x = 6.
x

sin cos
2
2 2
3
x x
=
.
x
1


+ k 180
0
; x
2


+ k 180
0

Bài 6. Tìm giá trị của a và b nếu đờng thẳng y = ax + b đi qua điểm A(- 1; 3) và là
tiếp tuyến của hypebol
2 2
25 9
x y

= 1.
a
1
= ; b

x
y






3
3
x
y






4
4
x
y





.
Bài 8. Tính giá trị của a, b, c nếu đờng tròn x
2

0
; x
2
14
0
46 29 + k 90
0

Bài 2. Tính gần đúng diện tích tam giác ABC có cạnh AB = 6dm, = 113
0
31 28
và = 36
0
4016. S

13,7356 dm
2

Bài 3. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 3x + 5cos
5x trên đoạn [0; ].
max f(x) 12,5759; min f(x) - 3,1511
Bài 4. Tính gần đúng diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD biết rằng đáy ABCD
là hình chữ nhật có các cạnh AB = 8 dm, AD = 7 dm, cạnh bên SA vuông góc với đáy,
khoảng cách từ đỉnh S đến giao điểm của hai đờng chéo của đáy là SO = 15 dm.
S 280,4235 dm
2

Bài 5. Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phơng trình
2 2
sin cos

1
= 1; b
1
= 4; a
2
= -
3
4
; b
2
=
9
4

Bài 7. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phơng trình
2 2
8
2 5
x y xy
x y xy

+ + =

+ =


1
1
1,1058
3,2143



4
4
0,3978
3,0063
x
y





Bài 8. Tính giá trị của a, b, c nếu đờng tròn x
2
+ y
2
+ ax + by + c = 0 đi qua ba điểm
A(- 3; 4), B(6; - 5), C(5; 7).
a = -
61
11
; b = -
17
11
; c = -
390
11
Bài 9. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2sin x -
2cos x -